照利

五年考情?探規律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

考點01等差數列與古建筑2022年新課標國卷：古建筑與等差數列

關于數列的考

2020年新高考1卷：兩等差數列相同項；查，命題比較

2021年新高考1卷：分段數列中的等差數列；靈活.隨著整

考點02等差數列的前n項和2023年新高考1卷：與充要條件交匯；兩個數列關系卷題量的減

條件下；少，更趨于綜

2024年新高考II卷：等差數列基本量的計算合化，難度有

考點03等差數列中的最值2021年新高考II卷：根據前n項和與第n項的關系求增大趨勢.應

問題n的最值注意以下幾個

方面的問題：

2020年新高考II卷：多選題、簡單數列求和

考點04等比數列前n項和1.等差數列、

2021年新高考II卷：求通項、求和

等比數列基本

考點05等比數列前n項和及量的計算；

2023年新高考II卷：和的性質應用

其性質2.數列的求和

考點06“錯位相減法”的實問題；

2021年新高考1卷：民間剪紙為背景

際應用3.數列的應

考點07等比數列的通項與用、數列與其

2020年新高考1卷：

特殊數列的求和它知識的交匯

考點08等差數列、等比數列2022年新高考II卷：根據兩數列中項的關系，求集合問題；

的綜合問題中符合條件的元素個數.4.數列與不等

2022年新高考1卷：等差數列與“裂項相消法”；式的證明；

考點09數列求和與數列不

2023年新高考II卷：分段數列、分組求和、證明兩數5.數列的新定

等式證明

列和的不等關系.義問題.

考點10數列與概率的交匯

2023年新課標回卷：求概率、構造等比數列求期望

問題

第1頁共21頁

考點11數列與解析幾何的2024年新課標回卷：以雙曲線上點列為載體，證明等比

交匯問題數列、證明三角形面積數列特征.

考點12數列的新定義問題2024年新課標1卷

分考點?精準練

考點01等差數列與古建筑

1.（2022年新高考全國II卷數學真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，AAIB.CC',。。'是桁，相鄰

桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。是舉，

ODi，DG，CB“BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為照=05*=%瞿=&，普=勺.已知《,&，心

C￡>jn/lj

成公差為o.l的等差數列，且直線的斜率為0.725,則%=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【分析】設。2=。6=（?與=網=1,則可得關于質的方程，求出其解后可得正確的選項.

【詳解】^ODl=DCi=CBl=BAl=l,則CG=K，Bg=右,胡=%，

DDX+CC[+BB1+AAj

依題意，有23—S2=匕,左3—0.1=攵2，且=0.725,

OD[+DC[+CB]+BAi

所以0.5+31-0.3-Oxs,故％=0.9,

故選：D

考點02等差數列的前n項和

2.（2023年新課標全國回卷數學真題）記S”為數列｛4｝的前〃項和，設甲：｛見｝為等差數列；乙：｛顯｝為等

n

第2頁共21頁

差數列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義，再結合數列前n項和與第〃項的關系推理判

斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛%｝為等差數列，設其首項為4,公差為d,

cn(n-l).Sn-1.ddS,d_

貝ni(lJS—H------------d,—n=%H-------d=—n+a,,〃+1

n2n2212n+1n2

q

因止匕｛1｝為等差數列，則甲是乙的充分條件;

n

cSS2加-5+1)5〃叫田一s,

反之，乙：戶｝為等差數列，即-一2=為常數,設為f,

n〃+1n〃("+1)〃("+1)

即朱J』，則5“=叫=仆+1)，有>=(—力(〃-1),心2,

兩式相減得：%=-(幾―—2勿，即%+]-〃〃=2%,對幾=1也成立，

因此｛4｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，c正確.

方法2,甲：｛4｝為等差數列，設數列｛%｝的首項4,公差為"，即吟]4,

則2=+因此｛2｝為等差數列，即甲是乙的充分條件；

n222n

反之，乙：｛j｝為等差數列，即--"=￡>,==岳+5-1)0,

nn+1nn

即S?=nSx+n｛n-\)D,5?_,=(M-1)^+(M-1)(M-2)0,

當時，上兩式相減得：S“-Si=H+25-1)。，當”=1時，上式成立，

于是a“=日+2("-1)。,又an+1-an=%+2nD-+2(九-1)D]=2D為常數，

因此｛q｝為等差數列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

3.(2020年新高考全國卷回數學試題)將數列｛2"-1｝與｛3"-2｝的公共項從小到大排列得到數列3｝,則3｝的

前n項和為.

【答案]3a2—2n

第3頁共21頁

【分析】首先判斷出數列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新數列的首項以及

公差，利用等差數列的求和公式求得結果.

【詳解】因為數列｛2〃-1｝是以1為首項，以2為公差的等差數列，

數列｛3九-2｝是以1首項，以3為公差的等差數列，

所以這兩個數列的公共項所構成的新數列｛4｝是以1為首項，以6為公差的等差數列，

所以｛見｝的前〃項和為小1+若

故答案為：3n2-2n.

4.（2024年新課標全國回卷數學真題）記S“為等差數列｛%｝的前。項和，若生+g=7,3a2+a5=5,則

Sio=

【答案】95

【分析】利用等差數列通項公式得到方程組，解出生,4，再利用等差數列的求和公式節即可得到答案.

q+2d+q+3d—7q=-4

【詳解】因為數列冊為等差數列，則由題意得,解得

3(q+d)+%+4d=5d=3

10x9

則510=10%+d=10x(—4)+45x3=95

故答案為：95.

a+1,”為奇數,

5.（2021年全國新高考I卷數學試題）已知數列｛%｝滿足q=1,n

a.+2,〃為偶數

（1）記"=%,，寫出4，%，并求數列出｝的通項公式;

（2）求｛%｝的前20項和.

【答案】（1）仿=2,8=5,勿=3〃-1；（2）300.

【分析】（1）方法一：由題意結合遞推關系式確定數列｛2｝的特征，然后求和其通項公式即可;

（2）方法二：分組求和，結合等差數列前"項和公式即可求得數列的前20項和.

【詳解】解：（1）［方法一］【最優解】：

顯然2n為偶數，則a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2?+1+1,

所以%,+2=%“+3,即％］=d+3,且4=%=%+1=2,

所以｛2｝是以2為首項，3為公差的等差數列，

于是4=2也=5,2=3是-1.

［方法二］:奇偶分類討論

由題息知4=1,%=2,%=4,所以61=%=2，b?=%=%+1=5.

由。用-%=1（〃為奇數）及4+1-。“=2（"為偶數）可知，

第4頁共21頁

數列從第一項起，

若"為奇數，則其后一項減去該項的差為1,

若“為偶數，則其后一項減去該項的差為2.

所以4+2一=3(〃eN*),貝I］。=偽+(〃-l)x3=3〃一l.

［方法三］:累加法

由題意知數列｛。“｝滿足4=1,=g+：+號("eN*).

所以4=%=%+/—~~=1+1=2,

3(-1)33(-1)2

Z?2=g=〃3~"I——=%+］=%+5-1bl—電+2+1=2+3=5,

貝Ub〃—a2n~(%”一“2〃-i)+(“2〃-i—a2n-2)++(%—%)+%=1+2+1+2++2+1+%—nx1+2(〃-1)+1—3n—1.

所以仿=2也=5,數列也｝的通項公式，=3〃-1.

(2)［方法一］:奇偶分類討論

$20=+〃2+。3++〃20=(〃1+〃3+〃5+〃i9)+Q+〃4+〃6++40)

—(b［—l+a一l+4一1++—1)+4+a+4++b1o

=2x(VVxio_lo=3OO

2

［方法二］:分組求和

由題意知數列｛4｝滿足％=1，的“=%.T+1，a2n+1=a2n+2,

aa

所以2n+l="2"+2=2n-l+3.

所以數列｛%｝的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列；

2=%+|+1=

同理，由的“+；%!+3知數列｛%｝的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列.

從而數列｛。“｝的前20項和為：

10x910x9

§20=(4+。3+。5++。19)+(。2+〃4+〃6+~*~^20)—10x1H----——x3+10x2d----——X3=300.

2

6.(2023年新課標全國團卷數學真題)設等差數列｛為｝的公差為d,且d>l.令b“二匚巴,記5“工分別

an

為數列｛q｝,｛2｝的前"項和.

⑴若3a2=36+”3,53+4=21,求｛%｝的通項公式；

(2)若也｝為等差數列，且S99=99,求d.

【答案】⑴a,=3〃

⑵1="

50

第5頁共21頁

【分析】（1）根據等差數列的通項公式建立方程求解即可;

（2）由｛4｝為等差數列得出4=d或4=2",再由等差數列的性質可得%）-4=1,分類討論即可得解.

【詳解】(1)-32=3%+a3,3d=a1+2d,解得q=d,

S3=3g—3(%+d)=6d,

又7；=偽+8+&=2+幺+絲=2,

3123d2d3dd

9

S3+4=6dH—=21,

d

即2d2—74+3=0,解得d=3或d(舍去),

2

/.an=q+(〃-1)?d=3〃.

（2）｛"｝為等差數列,

12212

2b2=bx+b3,即一=—?,

II,6d1ccAT

6(------)=----=—,即一3ad+2/=0,解得q=d或。］=2d,

d>2^3^3^^2^^3

d>1,。，

又S99—q=99,由等差數列性質知，99a50-99b50=99f即%）-4。=1，

255019

。50=l,即%0-〃50-2550=0,解得。50=5l或。50=—5。(舍去)

〃50

當q=2d時，%o=%+49d=51d=51,解得d=l,與d>l矛盾，無解;

當％=d時，a50=%+49d=50d=51,解得d=.

綜上，“磊

考點03等差數列中的最值問題

7.（2021年全國新高考II卷數學試題）記S,是公差不為0的等差數列｛。,｝的前“項和，若%=S5,%%=S4.

（1）求數列｛鬼｝的通項公式為；

（2）求使S,>4成立的"的最小值.

【答案】（14=2"-6；⑵7.

【分析】⑴由題意首先求得的的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式；

（2）首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

第6頁共21頁

【詳解】⑴由等差數列的性質可得：S5=5a3,貝卜%=5%，，%=。，

設等差數列的公差為d,從而有：a2a4=（%-〃）3+4）=-笛，

S4=%+自+/+%=（%—2d）+（%—d）+%+（/+d）=-2d,

從而：-d2=-2d,由于公差不為零，故：d—2,

數列的通項公式為：%=%+（〃-3）d=2〃-6.

⑵由數列的通項公式可得：a,=2-6=-4,則：5“=”（一4）+"；-1）><2=/一5〃,

則不等式S.>4,即：n2-5n>2n-6,整理可得：（〃—1）（〃-6）>。，

解得：“<1或〃>6,又“為正整數，故兀的最小值為7.

考點04等比數列前n項和

8.（多選）（2021年全國新高考II卷數學試題）設正整數〃=%?2°+%?2++ak_x-2一+%?2*,其中qe｛0,1｝,

記0（“）=4+4++ak.貝!!（）

A.0（2〃）=0（〃）B.?a（2〃+3）=0（〃）+1

C.（y（8/7+5）=to（4n+3）D,〃

【答案】ACD

【分析】利用。（"）的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.

k+1

【詳解】對于A選項，=6z0+6Zj++ak,2〃=a。?21+%■2~++ak_x-2+ak-2*,

所以，（y（2n）=<a0+a1++ak=a>（n）,A選項正確；

對于B選項，取"=2,2n+3=7=l-2（,+l.21+l-22,.1.to（7）=3,

而2=0?2°+l-21貝|。（2）=1,即。（7）wo（2）+l,B選項錯誤；

34w234k+3

對于C選項，8M+5=a0-2+a1-2++2+5=1-2°+1.2+a0-2+^?2+■+ak-2.,

所以，o（8”+5）=2+a。+q++為，

232123M

4n+3=a0-2+a1-2+--2*++3=1-20+1-2+a0-24-a,-2+-+ak-2,

所以，（w（4"+3）=2+4+q++ak,因此，0（8〃+5）=（y（4"+3）,C選項正確；

對于D選項，2"-1=2°+2、+2f故0（2"-1）=〃，D選項正確.

故選:ACD.

9.（2020年新高考全國卷回數學試題）已知公比大于1的等比數列｛%｝滿足%+%=20,%=8.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）求—%%+…+（―1）"

第7頁共21頁

or\2.n+5

【答案】(1)。〃=2"；(2)-

55

【分析】(1)由題意得到關于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數列的通項公

式；

(2)首先求得數列｛(-I)"見。用｝的通項公式，然后結合等比數列前n項和公式求解其前n項和即可.

【詳解】⑴設等比數列｛%｝的公比為q(q>l),則卜=20,

[a3=%q=8

整理可得：2/-5q+2=0,

q>1,4=2嗎=2,

數列的通項公式為：。“=2,2"1=2".

⑵由于：(一1)"一%%=(T)MX2"X2向=(一1廣22叫故：

—Q2a3+???+(_1)〃1〃+]

=23-25+27-29+...+(―l)i?22n+1

考點05等比數列前n項和及其性質

10.(2023年新課標全國回卷數學真題)記S“為等比數列｛4｝的前"項和，若邑=-5,弟=21s②，則"=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根據等比數列的前"項和公式求出公比，再根據S4,醺的關系即可解出；

方法二：根據等比數列的前0項和的性質求解.

【詳解】方法一：設等比數列｛%｝的公比為4,首項為的,

若g=T,貝恪=。片-5,與題意不符，所以q~l；

若4=1,則$6=6%=3x2%=3s2w0,與題意不符，所以

由S,=-5,$6=2電可得，±——―—―=-5，—~------——21x——--------(X)，

1-q1-q1-q

由①可得，1+d+/=21,解得：d=4,

所以&」(j8)「(j4)X(1+^4)=-5X(1+16)=-85.

故選：C.

方法二：設等比數列｛%｝的公比為q,

第8頁共21頁

因為$4=-5,S6=21S2,所以4--1,否則邑=。，

從而，52,54—52,56-邑，58—56成等比數歹人

,5

所以有，(一5—5)一=昆(21星+5),解得：Sz=-1或邑=］，

當邑=—1時，S2,S4—S2,S6—S4,Ss—S6,即為—1,—4,—16,Sg+21,

易知,58+21=-64,即以=-85；

(6+%乂1+q~)=(i+q~)s.

當邑=一時，S4—+a2+a3+a4—>0,

與$4=-5矛盾，舍去.

故選：c.

考點06“錯位相減法”的實際應用

11.（2021年全國新高考I卷數學試題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對

稱軸把紙對折，規格為20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規格

的圖形，它們的面積之和Si=240dm2,對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規

格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2,以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為；

如果對折“次，那么￡&=dm2.

k=\

.MG、八15（3+n）

【答案】5720--

2"-4

【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據規律可得S“，再根據錯位相減法得結果.

【詳解】（1）由對折2次共可以得到5dmxl2dm,1Odmx6dm,20dmx3dm三種規格的圖形，所以對著三

53

次的結果有：-xl2,5x6,10x3；20x-,共4種不同規格（單位dm?）；

故對折4次可得到如下規格：45x12,54x6,5x3,10x3=,20x3=,共5種不同規格；

4224

（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規格如何，其面積成

公比為3的等比數列，首項為120（出一）,第n次對折后的圖形面積為120x[gj對于第n此對折后的圖形

的規格形狀種數，根據（1）的過程和結論，猜想為〃+1種（證明從略），故得猜想S“=坦譬且，

、幾c120x2120x3120x4T120(n+l)

120x2120x3120〃120(”+1)

嗚S=——.—十———+H------7-+

2'1

兩式作差得:

第9頁共21頁

2

120120（n+l）120（〃+3）

=JOU----：------------=JOU------------，

2"~'2"2"

l,“240（〃+3）15（〃+3）

因止匕，S=720-----——L=[20——

2"2K"4

故答案為：5；720一*：3）.

考點07等比數列的通項與特殊數列的求和

12.（2020年新高考全國卷回數學試題）已知公比大于1的等比數列｛%｝滿足%+%=20,%=8.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）記勿為｛%,｝在區間（0,詡（meN*）中的項的個數，求數列｛粼｝的前100項和九。.

【答案】⑴。，=2"；（2）S.。=480.

【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉化為％應的形式，求解出％,4,由此求得數列｛%｝的通項

公式.

（2）方法一：通過分析數列也J的規律，由此求得數列也,｝的前100項和工

【詳解】（1）由于數列｛%｝是公比大于1的等比數列，設首項為生,公比為q,依題意有=2°,

a｛q=8

解得解得％=2,q=2,或4=32,q=；（舍），

所以q=2"，所以數列｛??｝的通項公式為??=2".

（2）[方法一]:規律探索

由于＞=2,2?=42=8,2"=16,25=32,26=64,27=128,所以

4對應的區間為（0,1,則4=0;

也對應的區間分別為（0,2],（。,刃,則％=4=1,即有2個1；

”也也，打對應的區間分別為（0,4],（0,5],（0,6],（0,7],則仇=么="=4=2,即有22個2；

々也，…,砥對應的區間分別為（0,8],（0,9],…,（0,15],則&=%=?=砥=3,即有23個3；

九也，，%對應的區間分別為Q16],（0,17],…,（0,31],則％=%=…=%=4,即有24個4；

4島，…也3對應的區間分別為（。，32],Q33],,（0,63],則%=%=L=%=5,即有2,個5；

3也5,L,61co對應的區間分別為（0,64],（0,65],-.,（0,100],Ijl!]bM=b6S=L=bl00=6,即有37個6.

第10頁共21頁

=1x2+2x22+3x23+4x24+5x25+6x37=480.

［方法二］【最優解】：

由題意，2"<m,BPn<log2m,當機=1時，bx=0.

當相￡[2%,29一1)時，bjk.ksN*,貝U

S100=4+(〃2+4)+(〃4+4++》7)+(A2+A3++》63)+064+45++^1(X))

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6x37=480.

[方法三]:

由題意知2"=人,〃?。幺川)，因此，當機=1時，々=0；me[2,4)時，么“=1；帆e[4,8)時，bm=2；me[8,16)

時，4=3；相€[16,32)時，bm=4;7〃w[32,64)時，￡=5；me[64,128)時，bm=6.

所以Hoo=bi+b2+b3+b^++blw

=0+(1+1)+(2+2+2)++(6+6++6)

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x32+6x37=480.

所以數列他,｝的前100項和5100=480.

考點08等差數列、等比數列的綜合問題

13.(2022年新高考全國II卷數學真題)已知｛%｝為等差數列，物,｝是公比為2的等比數列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)證明：4=偽；

⑵求集合任期=勺+q,1<根<500｝中元素個數.

【答案】⑴證明見解析；

(2)9.

【分析】(1)設數列｛%｝的公差為d,根據題意列出方程組即可證出；

(2)根據題意化簡可得加=2皿，即可解出.

【詳解】⑴設數歹m｝的公差為,所以，跖-(q+3〉),即可解得，伉=%=5,所以原

命題得證.

(2)由(1)知，4=q=g,所以&=禽+q。偽><21=q+(m-l)d+4,即2k~l=2m,亦即me[1,500],

解得2W上W10,所以滿足等式的解A=2,3,4,,10,故集合｛段耳=(+4，1(機V500｝中的元素個數為

10-2+1=9.

考點09數列求和與數列不等式證明

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14.(2022年新高考全國I卷數學真題)記4為數列｛氏｝的前"項和，已知是公差為;的等差數

列.

⑴求｛4｝的通項公式;

111c

(2)證明：一+—+-+—<2.

■.、n(n+i)

【答案】⑴。“=號」

(2)見解析

【分析】(1)利用等差數列的通項公式求得*=1+；5-1)=手，得至監=("+2)%,利用和與項的關

系得到當“22時，g=斗-Si=8+2同-小皿且，進而得：&=空，利用累乘法求得％=迎±?,

33an-ln12

檢驗對于n=1也成立，得至U｛%｝的通項公式a,=及了；

(2)由(1)的結論，利用裂項求和法得到,+'++—=2^1二j,進而證得.

axa2an<n+1J

S,1

【詳解】(1)回G=1,051=?1=1,0—=1,

又回是公差為;的等差數列，

S/I/1、〃+2(〃+2)〃”

團乙n=)=亍閏凡=3，

團當“22時，S=5+1)%,

13

r5+2)。“(〃+1)4一1

團=s”~s“一i-3-3

整理得：(〃T)4=5+1)%」

n+1

即j=

an-l

。2。3an-\an

^\an=a^x-x—x...%—x——

a\%an-2an-\

34nn+1+

=l4x—X—X...X------X------=--------

12n-2n-12

顯然對于〃=1也成立，

回｛%｝的通項公式4=當3；

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(2)

1=21六

團——十1_J_<2

axnn+1

〃-6,“為奇數（）

15.（2023年新課標全國回卷數學真題）已知｛4｝為等差數列，么=2小為偶數,記…分別為數列悶,

{2}的前〃項和,邑=32,1=16.

⑴求｛4｝的通項公式;

（2）證明：當〃>5時，Tn>S?.

【答案】（1）%=2"+3；

⑵證明見解析.

【分析】（1）設等差數列｛4｝的公差為d,用4〃表示3及T“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結論求出S“，bn,再分奇偶結合分組求和法求出1,并與S“作差比較作答；方

法2,利用（1）的結論求出b?,再分奇偶借助等差數列前"項和公式求出T.，并與S"作差比較作答.

%-6,“=21皿*,

【詳解】（1）設等差數列｛g｝的公差為d,而我=

2c1n,n=2k

則bx=ax-6,b2=2a2=2al+2d,&=q—6=%+2d—6,

S4=4-a,+6d=32

于是『44+4/12=16'解得…"=2,*—+3,

所以數列｛。“｝的通項公式是=2/7+3.

(2)方法1：由(1)矢口，s,J5+j+3)=/+4%>=2—

4〃+6,〃=2左

當〃為偶數時，bn-\+2=2(n-l)-3+4n+6=6n+l,

13+(6n+l)n_327

22-2n2n，

371

當〃〉5時，7^-5?—(―/+—n)—(n2+4n)=—n(n—1)>0,因此J>,

327325

當〃為奇數時，?；=7；+1-^+1=-(n+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-n-5,

32521

當〃〉5時，7；-Sn=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此

所以當幾〉5時，Tn>Sn.

....,廠n(5+2n+3)/2n—3,n=2k—1*

方法2：由(z1x)知，S=---------=n-2+4n,bz=，女EN,

nn4〃+6,〃=2左

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、[,、r/rnuz/rmzii,,,,,,,—1+2(〃-1)—3n14+4n+6ri327

當"為偶數時，Tn=(b}+b3++6,T)+(4+&++bn)=--------------+-----------=~n-+-

乙乙乙乙乙乙

371

22

當〃〉5時，7^—Sn=(—n+—n)—(n+4n)=—n(n—l)>0,因此J>S〃,

—1+2〃—3n+\14+4(〃—1)+6n—1

當幾為奇數時，若〃23,則1=（4+4++")+(%+“++%)=22~+22-

3535

=|H2+-H-5,顯然7；=4=-1滿足上式，因此當幾為奇數時，7；=-n2+|n-5,

351

當〃〉5時，北一S〃=（萬幾2+5〃-5）—（/+4幾）=5（〃+2）（〃-5）>0,因此北>S〃，

所以當〃〉5時，Tn>Sn.

考點10數列與概率的交匯問題

16.（2023年新課標全國回卷數學真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人

繼續投籃，若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃

的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

⑴求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機變量X,服從兩點分布，且尸（X,=1）=1-尸（X,.=（））=%i=l,2,…”貝=.記

Vi=l）i=l

前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的次數為丫，求E（y）.

【答案】（1）0.6

⑵Jx2

0514

⑶砂)=[1-2n

+—

lo3

【分析】（1）根據全概率公式即可求出；

（2）設P（4）=口，由題意可得。卬=。.4「,+。.2,根據數列知識，構造等比數列即可解出;

（3）先求出兩點分布的期望，再根據題中的結論以及等比數列的求和公式即可求出.

【詳解】（1）記"第i次投籃的人是甲"為事件4,"第i次投籃的人是乙〃為事件用，

所以，尸（以）=尸（4人）+尸（旦一）=尸（4）尸（以IA）+尸（4）尸（以14）

=0.5X（1—0.6）+0.5X0.8=0.6.

（2）設P（A）=p,依題可知，P（B）=1-P”貝IJ

P（AM）=P（AA+J+P（4AM）=P（A）P（AMA）+P（4）P（A"4），

即Pi+i=0.6p,+（1-0.8）x（1-）=0.4pt+0.2,

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構造等比數列｛2+%｝,

設R+i+aM_llPi+4），解得丸=一；，則Pi+1=_；]，

又-所以是首項為9,公比為|■的等比數歹!J,

236[3J65

日n11(2T112

即口工’R=$

514-

（3）因為口=gx2

I+1,i=l,2,--,n,

1

所以當/wN*時,E(Y^=p1+p2++Pv,=H--，

"6—X-,2H3-=1-8-3

5

故E(y)=[1-2n

+—

lo3

考點11數列與解析幾何的交匯問題

17.（2024年新課標全國回卷數學真題）已知雙曲線C:f一丁2=祖（加>0）,點或（5,4）在C上，左為常數，

Q<k<l.按照如下方式依次構造點2（"=2,3,...）：過作斜率為左的直線與C的左支交于點令尸”為

Q.T關于>軸的對稱點，記Pn的坐標為（x“,yn）.

⑴若4=求工2，y2；

（2）證明：數歹!J｛七-％｝是公比為皆|的等比數列；

⑶設S“為22+出,+2的面積，證明：對任意正整數〃，S?=s?+i.

【答案】⑴%=3,%=。

（2）證明見解析

⑶證明見解析

【分析】（1）直接根據題目中的構造方式計算出8的坐標即可；

（2）根據等比數列的定義即可驗證結論；

（3）思路一：使用平面向量數量積和等比數列工具，證明S”的取值為與〃無關的定值即可.思路二：使用等

差數列工具，證明S”的取值為與〃無關的定值即可.

【詳解】（1）

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由已知有〃7=52-4。=9,故C的方程為d-y2=9.

當A=g時，過片（5,4）且斜率為3的直線為丫=與，與/-V=9聯立得到/一

解得x=-3或x=5,所以該直線與C的不同于片的交點為。（-3,0）,該點顯然在C的左支上.

故2(3,0),從而％=3,y2=0.

（2）由于過月（七,%）且斜率為左的直線為>=耳左-%）+%,與f-V=9聯立，得到方程

片）2=9.

展開即得（1一/卜2一2人（％一心卜一（工一2）2一9=0,由于匕（%,"）已經是直線>=%"一七）+%和

尤2一>2=9的公共點，故方程必有一根%=%.

從而根據韋達定理，另一根x=21（"）2ky「x.；/x",相應的

\-k2"\-k2

y=（7,）+%=>"+："2".