《三角函數》

【知識網絡】

應用

一、任意角的概念與弧度制

1、將沿X軸正向的射線，圍繞原點旋轉所形成的圖形稱作角.

逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角，不旋轉為零角

2、同終邊的角可表示為{/a=尸+左?360°}(左eZ)

x軸上角：同a=%」80}(keZ)

y軸上角：{a[a=90+匕180}(kwZ)

3、第一象限角：回°+匕360°<。<90+晨360°}伏eZ)

第二象限角：{回90+晨360°<a<180+k?360°}(kwZ)

第三象限角：{a|180+晨360°<a<270+h360°}(keZ)

第四象限角：{a|270+A>360°<a<360+入360°}伏eZ)

4、區分第一象限角、銳角以及小于90的角

第一象限角：回0+匕360°<。<90+匕360°}(丘Z)

銳角：回0<。<9()}小于90的角：{a[a<90}

oc

5、若a為第二象限角，那么一為第幾象限角？

2

717i.a7i

——I-2左〃<a<7i+lk7i——\-K7l<——<——K771

2422

K—0,—＜。V—,K—1,—0a4—,

4242

所以竺OL在第一、三象限

2

6、弧度制：弧長等于半徑時，所對的圓心角為1弧度的圓心角，記作1"L

7,角度與弧度的轉化：1°=—?0.017451=—?57.30°=57°18,

1807i

8、角度與弧度對應表:

角度0°30°45°60°90120°135°150°180°360°

717171712〃3兀5〃

弧度0712萬

~6~4~2~T~6~

9、弧長與面積計算公式

11

弧長：l=axR；面積：S-lxR-axR92,注意：這里的a均為弧度制.

22

二、任意角的三角函數

1、正弦：sinar=-；余弦cosa=二；正切tana=』

rrx

其中(x,y)為角a終邊上任意點坐標，r=Jx2+丁.

2、三角函數值對應表:

度030456090120135150180270°360

717171712萬3兀5713?

弧度712%

0~6~4T~2TT~6~1

￡也6￡

sina0顯1叵010

222T22

V3j__V2_V[

cosa1顯0-101

~T22~2V

tana01A/3無—A/3-10無0

3

3、三角函數在各象限中的符號

口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.(簡記為“全stC”)

smatanacosa

第一象限:.x>0,y>0sina>0,cosa>0,tana>0,

第二象限:.%<0,y>0since>0,cosa<0,tana<0,

第三象限:.x<0,y<0sina<0,cosa<0,tana>0,

第四象限:.%>0,y<0sina<0,cosa>0,tana<0,

4、三角函數線

設任意角a的頂點在原點。，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與P(x,y),

過尸作無軸的垂線，垂足為過點A(l,0)作單位圓的切線，它與角c的終邊或其反向

延長線交于點T.

當角a的終邊不在坐標軸上時,有向線段==于是有

sma=—=—=y=MP,cosa=-=—=x=OM

r1r1

yMPAT「

tana=-===AT.

xOMOA

我們就分別稱有向線段“ROM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

5、同角三角函數基本關系式

si.n2a+cos2a-\1

sma1

tana--------=>tana?cota=l

cosa

（sincr+coscif）2=l+2sinacosa

（sina-cosc）2=l-2sinacosa

（sinc+cosa,sina—cos。，sina?cos。，三式之間可以互相表示）

6、誘導公式

n兀

-----1-n

口訣：奇變偶不變，符號看象限（所謂奇偶指的是2中整數〃的奇偶性，把a看作銳角）

n

.心、（-l/sina,〃為偶數,nn、（T/cosa,〃為偶數

sm（—+a）=<cos（-----Fcr）=<

n-l

（-1）2cosG〃為奇數（-1）2sin/〃為奇數

①.公式（一）：a與a+2k兀,[keZ、

sin（a+2左》）=sina；cos0+2左萬）=cosor；tan（or+2k兀）-tana

②.公式（二）：。與一a

sin（-cif）=-sincr；cos（一。）=cosa；tan（一。）=一tana

③.公式（三）：a與萬+a

sin（乃+a）=-sina；cos（4+a）=—cosa；tan（7r+a）=tana

④.公式（四）：。與萬一a

sin（乃一a）=sina；cos（1-a）=-cosa；tan（萬一a）=-tana

rr

⑤.公式（五）：。與一+a

2

sin—+a=cosa；cos一+a=-sinor；

12）U）

jr

⑥.公式（六）：。與---a

2

sinB+J=-cos?；cosf^+?Ksin?;

I2JI2）

37r

⑧.公式（八）：。與二—a

2

三、三角函數的圖像與性質

1、將函數y=sinx的圖象上所有的點，向左（右）平移|同個單位長度，得到函數丁=5也@+。）的圖象；再將函

數丁=5也（％+9）的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的工倍（縱坐標不變），得到函數丁=5垣（5+9）

CD

的圖象；再將函數丁=$近（5+0）的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標不變），得到函數

y=Asin（s+9）的圖象。

2、函數y=Asin3x+0）（A>O0>O）的性質：

①振幅：A；②周期：T=—；③頻率：f——=—；④相位：cox+（p；⑤初相：（po

3T2n

3、周期函數：一般地，對于函數/（%）,如果存在一個非零常數T,使得定義域內的每一個x值，都滿足

y（^+r）=/（%）,那么函數/（%）就叫做周期函數，T叫做該函數的周期.

7E

K71H----(D

兀QT

4、(Dy=Asin(@;+0)對稱軸：令3x+(p=k冗?——，得％=----------

2co

對稱中心：Cox+（p=k7i:,得x=k%一0,（以二S,o）（keZ）；

CDG）

k兀一

（2）y=ACOS@Y+G）對稱軸：令處:+夕=左萬，得冗=----

（D

兀k^+~-(Pk7i+--(p

對稱中心：a)x+(p=kji-\——,得九=----------，(-----------,0)(^eZ)；

2CDCD

⑶周期公式：

27r

①函數y=Asin(ox+9)及y=Acos(0x+°)的周期T=「■(A、w0為常數，且AHO）.

②函數y=Atan(@x+°)的周期T=￡（A、3、。為常數，且AWO）.

5、三角函數的圖像與性質表格

定

7兀1r

義RR<久?x手k7i+—,ksZ>

2

域

值

[T』[T』R

域

?JT

當%-2k7i+—（左wZ）時，

當尤=2左〃■（左wZ）時，

Xnax=1；

最

>max=l；當X=2k兀+兀既無最大值也無最小值

值

當X=2kji一三（左wZ）時，

（keZ）時，ymin=-1.

Xnin=T?

周

期2萬2萬71

性

奇

偶奇函數偶函數奇函數

性

在--+2k7i,—+2kjt

22_

在［-7T+2k1,2左萬］（左￡Z）

（,717[\

單（上是增函數；左1K71---，左7刀■H——

上是增函數；122J

調

性在［2左刀■,2左刀■十句（左￡Z）

在—+2^,—+2^（,ceZ）上是增函數.

_22_

上是減函數.

（上是減函數.

對稱中心

對對稱中心（左肛0）（左eZ）f^+—,0j（A:eZ）對稱中心（—,（）］（左eZ）

稱

JT

性對稱軸%=左"十萬（左GZ）

無對稱軸

對稱軸x=k7i{kGZ）

TT577

6.五點法作丁=45111（如+0）的簡圖，設f=+取0、―,萬、—,2"來求相應x的值以及對應的y值

再描點作圖。

7.y=Asin（cox+（p）的的圖像

第一種變換：圖象向左(O>0)或

y=smx向右@<0)平移|勿個單位y=sin(x+0)

1

橫坐標伸長(0<⑶<1)或縮短(G>1)到原來的3倍./、

----"v=sm(6ir+(p)

縱坐標不變

縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<l)到原來的A倍

y=Asin(tur+夕)

橫坐標不變

第二種變換；1

橫坐標伸長)或縮短(G>1)到原來的3倍my

y=smx.y—OLLICLCV

縱坐標不變

圖象向左(夕>0)或

y=sin(爾+0)

向右(9<0)平移則個單位

CD

縱坐標伸長(A>1)或縮短(OVAVI)到原來的A倍［,=4sin(&r+Q)

橫坐標不變

8.函數的變換：

(1)函數的平移變換

①y=/(x)-y=/(x±〃)(〃>0)將丁=/(x)圖像沿九軸向左(右)平移〃個單位

(左加右減)

②y=/(%)-y=/(%)土，3>°)將丁=/(%)圖像沿y軸向上(下)平移人個單位

(上加下減)

(2)函數的伸縮變換：

①y=y=/O%)O>0)將y=/(x)圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的,倍(w>1縮短，

W

0<川<1伸長)

②y=/(x)fy=AAx)(A>0)將y=/(x)圖像橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的A倍(a>i伸長，

0<A<l縮短)

(3)函數的對稱變換：

①y=/(x)^y=/(-%))將y=/(x)圖像繞y軸翻折180。(整體翻折)

(對三角函數來說：圖像關于x軸對稱)

②y=/(x)fy=—f(x)將y=/(x)圖像繞x軸翻折180。(整體翻折)

(對三角函數來說：圖像關于y軸對稱)

③y=/(幻->y=/(N)將y=/(x)圖像在y軸右側保留，并把右側圖像繞y軸翻折到左側(偶函數局部

翻折)

④y=y=|/(刈保留y=/(x)在X軸上方圖像，X軸下方圖像繞龍軸翻折上去(局部翻動)

四、三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:

(1)sin(a+/?)=sinacos#+sinacos月

(2)sin(a-￡)=sinocos/J-sinocosA

(3)cos0+』)=cosacos夕一sinasin/

(4)cos@-0=cosacos/?+sinasin/?

/、zc、tana+tanB

(5)tan(a+，)=..........-tana+tan/?=tan(畿+夕)(1-tanatan/?)

1-tanatan0

/、c、tana-tanB

(6)tan(zo—4)=-----------=>tana—tan,=tan(a—⑶(1+tanatan

1+tanatanB

⑺asincif+Z?cosor=Jo2+/sin(a+o)(其中，輔助角o所在象限由點(a,b)所在的象限決

bab

定，sin/=/_,cos(p=T----,tan。二一,該法也叫合一變形).

yJa2+b2y/a2+b2〃

小\1+tan0歷八、1-tan/兀八、

(8)-------二tan(一+夕)-------=tan(——0)

1—tan。41+tanS4

2.二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa

(2)cos2a=cos2a—sin2a=l—2sin2a=2cos2a—1

八2tana

tan2a=-----5―

(3)1-tana

3.降塞公式:

l+cos2al-cos2a

cos2a=(2)sin2a=

(1)22

4.升塞公式

a

(1)1+COS6Z=2cos2一(2)l-cos6if=2sin2—

22

(3)1±sintz=(sin—±cos-)(4)l=sin26Z+cos2^z

(“5)、si?na=2csi?n—二cos—a

22

5.半角公式(符號的選擇由匕所在的象限確定)

2

l-cosa

sin—=±

(1)22

a,1-cosasin。_1-cosa

tan一=±J-------

2V1+cosa1+cosasin。

6.萬能公式:

car2a

2tan一I-tan—

⑴sina=-------⑵cosa=--------

a4a

I1+tan2—l+tan2

22

2tan—

⑶tancr=-------

I-tan—

2

7.三角變換：

三角變換是運算化簡過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創設條件，靈活運用三角公式，掌握運算、

化簡的方法技能。

(I)角的變換：角之間的和差、倍半、互補、互余等關系對角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形

(2)函數名稱變換：三角變形中常常需要變函數名稱為同名函數。采用公式：

asin3+bcosd=y/a2+/...+夕)其中〃,irp_廠^=sinx+V3cosx

J"+/J/+/,比如：

________Ic

=m+(6)2(=sinx+,=cosx)

#+(V3)2#+(V3)2

、c/?n.冗、c-7冗、

si.nx+-A/^3-cosx)=2(sinxcos—+cosxsin—)=2sin(x+—)

(3)注意“湊角”運用：a