因式分解的常用方法

數(shù)學(xué)教研組

一、提公因式法.：a+b+c=m(a+b+c)

二、運用公式法.

,在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向運

用，即為因式分解中常用的公式，例如：

(1)(a+b)(a-b)=a2-b2--------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2--------a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3-----a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

補充兩個常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例1.已知〃，b,。是AABC的三邊，且〃+〃+〃=仍+/+四，貝

AABC的形態(tài)是（）

A.直角三角形B等腰三角形

C等邊三角形D等腰直角三角形

解：a2+b2+c2—ab+be+ca^2a1+2b2+2cl—2ab+2bc+2ca

三、分組分解法.

（一）分組后能干脆提公因式

例1、分解因式：am+an+bm+bn

分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不

能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有

后兩項都含有b,因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一

組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。

解：原式二(。加+4幾)+()加+〃九)___A

=a(m+n)+b(m+n)每組之間有公因式！

例2、分解因式：2ax-10紗+5by-bx

解法一：

第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；

第三、四項為一組。其次、三項為一組。

解：原式二(2分-10〃y)+(5by-bx)原式二(2公—bx)+(―lOaj+5by)

(二)分組后能干脆運用公式

例3、分解因式：%2-y?+ax+

分析：若將第一、三項分為一組，其次、四項分為一組，雖然可以

提公因式，但提完后就能接著分解，所以只能另外分組。

解：原式=(/-/)+(“%+?)

例4、分解因式：a2—2ab+b2—c1

解：原式-2ab+b2)-c2

四、十字相乘法.

(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式

干脆利用公式—一+(p+q)x+pq={x+p)(x+q)進行分解。

特點：(1)二次項系數(shù)是1;

(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；

(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。

思索：十字相乘有什么基本規(guī)律？

例.已知0V.W5,且.為整數(shù)，

若2f+3%+，能用十字相乘法分解因式，求符合條件的

解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax?+bx+c,

都要求A=〃-4改＞0而且是一個完全平方數(shù)。

于是A=9-8〃為完全平方數(shù)，a=l

例5、分解因式：.X2+5X+6

分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和等于5。

由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),

從中可以發(fā)覺只有2X3的分解適合，

即2+3=5o

1^X^2

解：X2+5X+6=X2+(2+3)X+2X3^^^13

=(x+2)(x+3)1X2+1X3=5

露蠢盆藉舞黑篇鬣分解成兩個因數(shù)的積，且這兩

例6、分解因式：％2_7%+6

解：原式二,+[(-1)+(-6)]元+(-1)(-6)

,_，-6

(U)+(-6)=-7

(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式——依2+bx+c

條件：(1)a=

(2)。=。1。2

C2

(3)b=2G

b=aj+a2cl

分解結(jié)果：依2+bx+C-{axx+cx)(a2x+c2)

例7、分解因式：3x2-llx+10

分析：1-2

3-5

(-6)+(-5)=-11

解：3x2-llx+10=(x-2)(3x-5)

(三)二次項系數(shù)為1的齊次多項式

例8、分解因式：a?—Sdb—128Z?2

分析：將人看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于。的

二次三項式，利用十字相乘法進行分解。

K-8b

1-16b

8b+(-16b)=-8b

解：a1-8。〃-128〃2=[2+[8。+(—16份]a+80x(—160)

(四)二次項系數(shù)不為1的齊次多項式

例9、2x2-7xy+6y2例10、/y2_3xy+2

把孫看作一個整體1、一」

(■3y)+(-4y)=-7y(4)+(-2)=-3

解：原式二(X-2y)(2x-3y)解：原式=(W-1)(醐-2)

五、換元法。

型如+e的多項式，

分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。

例13、因式分解（一+7x+6）（x2+5x+6）+x2.

解：設(shè)x2+5x+6=A,貝［|X?+7x+6=A+2光

貝!1原式=（A+2x）A+，=人2+2Ax+x2

六、多項式除以多項式法

先找這個多項式所對應(yīng)方程的特別根，然后利用多項式除以多項式

進行因式分解。（過程具體講解）

例14、分解因式2%4_爐_6%2_%+2

七、添項、拆項、配方法。

例15、分解因式（1）/-3/+4

解法1——拆項。解法2——添項。

原式=兀^+1—3%2+3原式=光3—3x^—4x+4x+4

（2）x9+x6+x3—3

解：原式二（%'一1）+（%，一1）+（%，一1）

八、待定系數(shù)法。

例16、分解因式x2+xy-6y2+x+13y-6

分析：原式的前3項—+盯-6步可以分為(%+3y)a—2y),

則原多項式必定可分為(x+3j+m)(x-2j+n)

解：設(shè)x2+xy-6y?+%+13y-6=(%+3y+m)(x-2y+ri)

貝(%+3y+m)(x—2y+n)-x2+xy-6y2+(m+n)x+(3n-2m)y-mn

m+n=l

=—2