專題07分式的運算（18種題型解讀）【分式的相關概念】分式的概念：如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子ABQUOTEAB叫做分式，A為分子，B為分母.對于分式AB來說：②當A=0且B≠0這兩個條件同時滿足時，分式值為0.③當A=B時，分式的值為1.當A+B=0時，分式的值為-1.④若AB>0，則A、B同號;若AB<0，則A、約分的定義：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.通分的定義：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.最簡公分母的定義：通常取各分母系數的最小公倍數與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．確定最簡公分母的方法：類型方法步驟分母為單項式1）取單項式中所有系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數;2）取單項式中每個字母出現的最高次數作為最簡公分母中該字母的次數.分母為多項式1）對每個分母因式分解;2）找出每個出現的因式的最高次冪,它們的積為最簡公分母;3)若有系數,求各分母系數的最小公倍數作為最簡公分母的系數.【分式的運算】【考點題型一】分式的判斷1．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）在代數式x?yx，x2，2x+3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】仔細觀察，確定分母中有字母，與系數，指數無關，本題考查了分式的定義，分母中含有字母是判斷的關鍵．【詳解】根據題意，得是分式的是x?yx故選B．2．（23-24八年級下·江蘇鹽城·階段練習）在代數式12、x2+12、xyπ、3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了分式的定義，熟記定義是解題關鍵．根據分式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：3x?y、b+12、x2+1則分式的個數有2個，故選：B．3．（23-24八年級上·全國·課堂例題）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？?3x，xy，x+y3π，23x2y，?7xy2，?18x【答案】整式：?3x，x+y3π，23x2y，?7xy2，?18x，x?y【分析】本題考查分式的定義：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子AB【詳解】解：整式有：?3x，x+y3π，23x2y，?7xy2分式有：xy，35+y，a?1a【考點題型二】根據分式方程有/無意義的條件求未知數的值或取值范圍4．（23-24八年級下·山西大同·階段練習）若代數式1x?2在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（

A．x>0 B．x≠2 C．x>2 D．x≥2【答案】C【分析】本題考查二次根式及分式有意義的條件，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．根據二次根式和分式有意義的條件即可求得答案．【詳解】解：由題意可得x?2>0，解得x>2，故選：C．5．（23-24八年級下·全國·課后作業）若代數式x?2x?3有意義，則xA．x>2且x≠3 B．x≥2C．x≠3 D．x≥2且x≠3【答案】D【分析】本題主要考查了分式和二次根式有意義的條件，根據分式分母不能為零，二次根式被開方數需大于等于零列出不等式，求解即可．【詳解】解：由題意得x?2≥0且x?3≠0，解得：x≥2且x≠3，故選：D．6．（23-24八年級上·河北邯鄲·期末）已知x=2時，分式1□無意義，則□所表示的代數式是（

A．x?2 B．x+2 C．x D．2x【答案】A【分析】本題主要考查分式無意義的條件，根據分母為零分式無意義可得結論．【詳解】解：∵x=2，∴x?2=0，∵當x=2時，分式1□∴x?2=0，故選：A．7．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·階段練習）對于分式x?bx+a，當x=?1時，其值為0，當x=1時，此分式沒有意義，那么A．?1,?1 B．1，1 C．1,?1 D．?1,1【答案】A【分析】本題考查了分式沒有意義的條件以及分式值為0的條件，解題的關鍵是由題意正確得到?1?b=0，1+a=0，求解即可。【詳解】解：由題意可得：當x=?1時，其值為0，則?1?b=0當x=1時，此分式沒有意義，則1+a=0，解得a=?1，故選：A【考點題型三】分式值為0的條件8．（23-24八年級上·河北滄州·階段練習）若分式x2?4x+2的值為0，則xA．x=?2 B．x=2 C．x≠?2 D．x≠±2【答案】B【分析】本題考查了分式的值為0的條件，用分式的分母不等于0時分式有意義及分式值為0則分子為0即可得出答案．【詳解】解：∵分式x2∴x解得：x=2，故選：B．9．（21-22八年級上·貴州銅仁·期末）下列關于分式的判斷，正確的是（

）A．當x=2時，x+1x?2B．當x≠3時，x?3xC．無論x為何值，3x+1D．無論x為何值，1x【答案】D【分析】本題考查分式有無意義的條件，分式值為0的條件，平方的非負性．掌握分式的分母不能為0是解題關鍵．根據當x=2時，分式x+1x?2無意義可判斷A；根據當x=0時，分式x?3x無意義可判斷B；根據當x=2時，分式3x+1=1可判斷C；根據平方的非負性可知x2【詳解】解：A．當x=2時，分式x+1x?2B．當x=0時，分式x?3xC．當x=2時，分式3x+1D．因為無論x為何值x2+1≥1，即所以分式1x故選D．10．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）如果分式5a?ba+b的值是零，則下列正確的是（

A．a≠?b B．a≠0 C．b=5a D．b=5a，且a≠0【答案】D【分析】本題考查了分式值為0的條件．要使分式的值為0，分式必須分子的值為0并且分母的值不為0．【詳解】解：∵分式5a?ba+b∴5a?b=0，且a+b≠0，∴b=5a，且a≠0，故選：D．【考點題型四】分式求值11．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）已知x2?x?6=0，則2xxA．13 B．12 C．2【答案】B【分析】本題考查了分式的值，解題的關鍵是先把已知條件變形為x2?x=6，再將原式變形為【詳解】解：∵x2∴x2∴2x====故選：B．12．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）已知x>y>0，x2+y2=A．3 B．?3 C．±3 D．9【答案】A【分析】本題考查了求分式的值、利用完全平方公式進行計算，先求出x+y=92xy，x?y=12【詳解】解：∵x∴x+y2=∴x+y2x?y∵x>y>0，∴x+y>0，x?y>0，∴x+y故選：A．13．（23-24八年級上·福建福州·期末）若2a?2b=ab，則1aA．12 B．2 C．?12【答案】C【分析】本題考查的是分式的求值，分式的加減運算，掌握整體代入法求解分式的值是解本題的關鍵；把1a?1【詳解】解：∵2a?2b=ab，∴1a故選C14．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）已知xx2+1A．18 B．8 C．16【答案】A【分析】本題主要考查了已知式子的值，求代數式的值等知識點，靈活對代數式進行變形是解題的關鍵．由xx2+1=13可得【詳解】解：∵xx∴xx2+12=∴x2故選A．【考點題型五】求分式值為正/負數時未知數的取值范圍15．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）若分式2x+1x2的值為正，則x的取值范圍是(A．x>0 B．x>?12 C．x≠?12 【答案】D【分析】本題考查不等式的解法和分式值的正負條件．解不等式時當未知數的系數是負數時，兩邊同除以未知數的系數需改變不等號的方向，當未知數的系數是正數時，兩邊同除以未知數的系數不需改變不等號的方向．根據題意，因為任何實數的平方都是非負數，分母不能為0，所以分母是正數，主要分子的值是正數則可，從而列出不等式求解即可．【詳解】解：由題意得，x2>0，且∵分式2x+1x∴2x+1>0，∴x>?1∴x>?12且故選：D．16．（23-24八年級上·山東威海·期末）若分式2x?5x2+4的值為負數，則xA．x≠52 B．x≤?52 C．【答案】D【分析】本題考查了分式值的正負條件及解一元一次不等式．由于分式2x?5x2+4的值為負數，而分母x【詳解】解：∵分式2x?5x2+4∴2x?5<0，解得x<5故選：D．17．（23-24八年級上·全國·課后作業）（1）當x取什么值時，分式x+13x?2（2）當x取什么值時，分式?1（3）當y取什么值時，分式?y（4）當x取什么值時，分式x2?1【答案】（1）x≠23；（2）x<5；（3）y≠0【分析】（1）根據分式有意義的條件可得3x?2≠0，即可求解．（2）根據分式的性質，可得5?x>0，解不等式即可求解；（3）根據分式的性質，可得1+y2>0（4）根據分式的值為0的條件以及分式有意義的條件即可求解．【詳解】解：（1）∵分式x+13x?2∴3x?2≠0，解得：x≠2（2）∵分式?1∴5?x>0，∴x<5；（3）∵分式?y∴1+y2>0且∴y≠0；（4）∵分式x2?1x+1∴x2?1=0且解得：x=1【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，分式有意義的條件，分式的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【考點題型六】求使分式值為整數時未知數的整數值18．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）如圖，若x為正整數，則表示分式x2A．線①處 B．線②處 C．線③處 D．線④處【答案】B【分析】逆用同分母分式的加減法法則，把分式進行化簡，判斷分式的值的取值范圍，計算即可，本題考查了同分母分數加減法法則的應用，不等式的基本性質，熟練掌握法則是解題的關鍵．【詳解】∵x==x+1?1∵x為正整數，∴x+1≥2，1?∴1x+1∴?1∴1?1∴12故選B．19．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）若分式6m+1的值是整數，則滿足條件的所有正整數mA．9 B．8 C．7 D．5【答案】B【分析】本題考查了分式的值，根據分式6m+1的值是整數得m+1=1或2或3或6，求得m的值即可求解，根據題意得m+1=1【詳解】解：∵分式6m+1∴m+1是6的約數，即m+1=1或2或3或6，解得：m=0（舍去）或1或2或5，則滿足條件的所有正整數m的和為1+2+5=8．故選：B．20．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）閱讀下列材料：通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可化為帶分數，如：83我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，x?1x+1，x+1x?2，x2再如：3x+1類似的，假分式也可以化為帶分式(即：整式與真分式的和的形式)．如：x?1x+1=x+1再如：x2解決下列問題：(1)分式2x是分式(填“真”或“假”)(2)先將假分式2x?1x+1化為帶分式，再當2x?1x+1的值為整數，求x的整數值．((3)將假分式?x4?6x2【答案】(1)真(2)2?2x+3，x的值為0或?2或2或(3)最小值為8【分析】（1）根據定義即可求出答案；（2）根據分式的性質進行化簡，然后根據2x?1x+1（3）先化為帶分式，然后根據題意求解即可．本題考查分式和新定義問題，解題的關鍵是正確理解新定義以及分式的運算，本題屬于中等題型．【詳解】（1）由題意可得，分式2x故答案為：真；（2）∵2x?1∵2x?1x+1的值為整數，且∴x+1的值為1或?1或3或?3，∴x的值為0或?2或2或?4；（3）∵==x∴當x=0時，這兩個式子的和有最小值．最小值為8，則?x4?621．（23-24八年級下·重慶萬州·階段練習）已知x為整數，且3x+4+3【答案】28【分析】本題考查了分式的混合運算，先把3x+4【詳解】解：3=====∵x為整數，6x?4∴x?4=1則所對應的x=55+6+7+10=28故所有符合條件的x值的和為28．【考點題型七】分式的規律型問題22．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）觀察下列關于x的分式，探究其規律：2x,5x3【答案】3n?1【分析】本題主要考查了分式規律探索，正確確定分子和分母的變化規律是解題關鍵．根據題意可得，第n個分式的分子為3n?1，分母為x2n?1【詳解】解：根據分式的分子和分母的規律可得，第n個分式是3n?1x故答案為：3n?1x23．（21-22八年級上·貴州銅仁·期末）按一定規律排列的一列分式依次為：?2a，5a4，?10a7，17a10【答案】?1【分析】本題考查分式的規律性問題，根據前四個分式總結出規律是解題關鍵．根據題意寫出前四個分式的變形分別為?11×12+1a3×1?2，?1【詳解】解：第1個數為?2第2個數為5a第3個數為?10第4個數為17a……，∴第n個數為?1n故答案為：?1n24．（23-24八年級下·全國·課后作業）觀察下面一列分式：x3y,(1)根據上述分式的規律寫出第6個分式；(2)根據你發現的規律，試寫出第n（n為正整數）個分式，并簡單說明理由．【答案】(1)x(2)x2n+1【分析】此題主要考查了分式的規律性問題以及數字規律的探索問題，得出分子與分母的變化規律即可解題．（1）根據已知分式的分子與分母的次數與系數關系進而得出答案；（2）利用（1）中數據變化規律，進而得出答案．【詳解】（1）解：觀察各分式的規律可得第5個分式為：x11第6個分式為x13（2）由已知可得第n(n為正整數)個分式為∶x2n+1理由如下：∵分母的底數為y，次數是連續的正整數，分子的底數是x，次數是連續的奇數，∴第n(n為正整數)個分式為x2n+1【考點題型八】約分與通分25．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·開學考試）將分式6a4c【答案】2【分析】本題考查了分式的約分，找出分子和分母的最大公因式，再根據分式的性質進行計算即可．找出分式分子和分母的最大公因式是解題的關鍵．【詳解】解：6a故答案為：226．（22-23八年級下·全國·假期作業）當2x?1xy=2M3【答案】3【解析】略27．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）計算．(1)約分：a2(2)通分：ba2?ab【答案】(1)a+2b(2)b(a+b)a(a+b)(a?b)，【分析】本題主要考查了分式的約分和通分，熟知約分和通分的計算法則是解題的關鍵．（1）分別把分子和分母分解因式，然后約去公因式即可得到答案；（2）先把兩個分式的分母分解因式，再找到兩個分式的公分母，再進行通分即可．【詳解】（1）a==a+2b（2）∵ba∴ba?ba28．（23-24八年級下·全國·課后作業）通分：(1)x?y，2y(2)aa2?(3)29?3a，a?1a2【答案】(1)x2?(2)2a2a(3)2a?3a+3?3a?3【分析】本題考查了通分，找出最簡公分母是解此題的關鍵．（1）先找出所有分式的最簡公分母，再利用分式的性質把所有分式化為同分母的分式即可；（2）先找出所有分式的最簡公分母，再利用分式的性質把所有分式化為同分母的分式即可；（3）先找出所有分式的最簡公分母，再利用分式的性質把所有分式化為同分母的分式即可．【詳解】（1）解：（1）最簡公分母是x+y，x?y=x?y2y（2）解：最簡公分母是2a+baab2b?2a（3）解：最簡公分母是?3a?329?3aa?1a9a【考點題型九】判斷最簡公式或最簡公分母29．（21-22八年級下·陜西咸陽·階段練習）下列各選項中，所求的最簡公分母錯誤的是（

）A．12x與13xB．12a2bC．1x2?4與D．m3m?3n與nm?n【答案】B【分析】本題考查最簡公分母，根據找數字的最小公倍數，字母找最高指數即可得到答案；【詳解】解：12x與13x的最簡公分母是12a2b與1x2?4與1m3m?3n與nm?n的最簡公分母是故選：B．30．（23-24八年級上·山東東營·階段練習）將分式1a2?9和【答案】?3【分析】本題考查了分式的通分；先對分式的分母進行因式分解，然后即可確定它們的最簡公分母．【詳解】解：∵a2?9=a+3∴最簡公分母是?3a+3故答案為：?3a+331．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）下列分式12b2c【答案】1【分析】本題考查了最簡分式的定義；最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分，據此判斷即可．【詳解】解：12b2c4a=3ba2故答案為：1．32．（22-23八年級上·山東淄博·階段練習）下列各式中，最簡分式有個．①11?x；②4y+22x；③x3π；④10+4a5+2a【答案】2【分析】此題考查了最簡分式的定義，根據最簡分式的定義，只要判斷出分子分母是否有公因式即可，掌握最簡分式的概念是解題的關鍵．【詳解】解：①11?x，③x②4y+22x的分子、分母中含有公因式2④10+4a5+2a的分子、分母中含有公因式5+2a⑤4y2+10y綜上，最簡分式有2個，故答案為：2．【分式的基本性質】分式的基本性質：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.即：AB=A?CB?C（C≠0）或AB=分式符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即：AB【考點題型十】利用分式的基本性質進行變形33．（23-24八年級下·江蘇連云港·階段練習）下列各式一定成立的是（

）A．ab=a?1b?1 B．ba=【答案】C【分析】本題考查的是分式的基本性質，做題的根據是看是否符合分式的基本性質，特別要注意同乘或同除的數或整式是否為0．根據分式的基本性質：分式的分子和分母同時乘以或除以一個不為0的數或整式，分式的值不變，即可得出答案．【詳解】A、D．是分子、分母同加或同減，不符合分式的基本性質，故選項A、D錯誤；B．是分式的分母乘以b，分子沒有乘b，且b有可能為0，故選項B錯誤；C．分式的分子和分母同乘a2+1，且故選：C．34．（23-24八年級下·全國·課后作業）下列各式：①b?aa+b；②?b?aa?b；③b?a?a?b；④A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【答案】D【分析】本題考查了分式的性質等知識，根據分式的性質逐個對四個分式化簡即可求解．【詳解】解：①b?aa+b②?b?a③b?a?a?b④?a?b故選：D35．（22-23八年級上·山東淄博·階段練習）下列各式從左到右的變形正確的是（

）A．x?12yC．x+1x?y=x?1【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．根據分式的基本性質逐項判斷即可．【詳解】A、x?1B、0.2a+ba+0.2bC、x+1x?yD、a+ba?b故選：A．36．（23-24八年級上·河北滄州·階段練習）下列等式中：①ba=b2a2；②baA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質，根據分式的基本性質逐一判斷即可；熟知分式的基本性質是關鍵．【詳解】解：①ba②ba③ba④ba故選：A．【考點題型十一】利用分式的基本性質判斷分式值的變化37．（23-24八年級下·江蘇連云港·階段練習）將分式m?3nmn中的m、n同時擴大為原來的3倍，分式的值將（

A．擴大3倍 B．不變 C．縮小為原來的13 D．縮小為原來的【答案】C【分析】本題考查分式的基本性質，分式的分子、分母同乘（或除以）一個不為0的整式，分式的值不變；熟練掌握分式的基本性質是解題關鍵．把m、n都擴大3倍，代入原式，根據分式的性質化簡后與原式比較即可得答案．【詳解】解：∵將分式m?3nmn中的m、n∴3m?9nm×3×n×3∴分式的值將為原來的13故選：C．38．（23-24八年級下·全國·課后作業）下列各式與分式abA．?ab B．??ab C．a【答案】B【分析】本題主要考查了分式的基本性質，根據分式的基本性質進行變形然后一一判斷即可得到答案．【詳解】解：A．∵?ab∴?abB．∵?∴abC．a∴a?bD．??a∴?a故選：B．39．（23-24八年級上·山東聊城·階段練習）如果將分式x+yx2中x，y都擴大到原來的A．擴大到原來的2倍 B．擴大到原來的4倍 C．縮小到原來的12 【答案】C【分析】本題考查了分式的基本性質，把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論，解題的關鍵是掌握分式的基本性質．【詳解】解：當x，y都擴大到原來的原式===1則分式縮小到原來的12故選：C．40．（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）如果把分式2xx+y中的x和y都擴大5倍，那么分式的值為?2，則原分式的值為【答案】?2【分析】本題考查了分式的性質，用5x、5y代替分式中的x、y即可運算求解，掌握分式的性質是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，2×5x5x+5y∴2×5x5∴2x5x+y即原分式的值為?2，故答案為：?2．【考點題型十二】將分式的分子分母各項系數化為整數41．（23-24八年級上·全國·課堂例題）不改變分式的值，把分式12a?0.7b0.3a+b【答案】5a?7b【分析】12【詳解】解：1將分子、分母同時擴大10倍，不改變分式的值10×故答案為：5a?7b【點睛】本題考查將分式的分子與分母的各項系數化為整數．合理利用分式的性質是解題關鍵．42．（23-24八年級上·全國·課時練習）不改變分式的值，使得分式的分子和分母的各項系數都是整數．（1）0.2x?0.5y0.7x+0.3y=；（2）12a?2【答案】2x?5y7x+3y3a?4b6a【分析】（1）利用分式的基本性質解答，即可求解；（2）利用分式的基本性質解答，即可求解；（3）利用分式的基本性質解答，即可求解．【詳解】解：（1）0.2x?0.5y0.7x+0.3y故答案為：2x?5y（2）12故答案為：3a?4b（3）x+故答案為：30x+10y【點睛】本題主要考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．43．（23-24八年級上·全國·課堂例題）不改變分式的值，把下列各分式的分子與分母中各項系數都化為整數：(1)0.5x?1(2)54【答案】(1)30x?20y(2)15x+12y【分析】此題主要考查了分式的基本性質，關鍵是掌握分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變；（1）分子分母都乘以60即可；（2）分子分母同時乘以12即可；【詳解】（1）根據分式的基本性質，將0.5x?1得0.5x?1（2）解：根據分式的基本性質，將54得54【考點題型十三】已知分式的恒等式確定分子或分母44．（2020·河北·模擬預測）已知4x2?1A．P=2,Q=?2 B．P=?2,Q=2 C．P=Q=2 D．P=Q=?2【答案】B【分析】首先利用分式的加減運算法則，求得Px+1+Q【詳解】解：∵4x∴P+Qx+∴P+Q=0Q?P=4，解之得：P=?2故選：B．【點睛】此題考查了分式的加減運算、二元一次方程的解法以及整式相等的性質，解題的關鍵是掌握分式的加減運算法則．45．（22-23七年級上·上海黃浦·期中）已如3x2?7x+2x?1x+1【答案】a=?1【分析】先把分式恒等式去分母可得3x【詳解】解：3x∴去分母可得：3x∴3x由恒等式可得：a+b=?7a?b?3=2解得：a=?1b=?6【點睛】本題考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含義”是解本題的關鍵．【分式的運算】【考點題型十四】分式的混合運算46．（23-24八年級下·江蘇鎮江·階段練習）計算(1)2a+3(2)a(3)25?(4)x?3【答案】(1)1(2)?(3)?(4)1【分析】本題主要考查分式的混合運算，掌握乘法公式，分式混合運算法則是解題的關鍵．（1）根據同分母分式減法則計算，即可求出答案；（2）根據分式乘法法則，該約分的要約分，即可求出答案；（3）先用完全平方公式和平方差公式分解分子分母，將除法轉化為乘法，根據分式乘法法則，該約分的要約分，即可求出答案；（4）先計算括號內異分母分式減法，再將除法轉化為乘法，根據分式乘法法則，該約分的要約分，即可求出答案．【詳解】（1）解：原式====1；（2）解：原式=?=?ac（3）解：原式===?a+1（4）解：原式======147．（23-24八年級下·全國·課后作業）計算：(1)a2(2)x2(3)a2【答案】(1)1(2)x?1(3)2a?4【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的運算法則是解答本題的關鍵．（1）把除法轉化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡；（2）把除法轉化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡；（3）把除法轉化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡．【詳解】（1）原式=a+2（2）原式=x+1（3）原式=a+448．（23-24八年級上·山東菏澤·期末）計算：(1)1x+1(2)m+2+【答案】(1)?(2)1【分析】本題考查分式混合運算，涉及因式分解、分式加減乘除、通分和約分等知識，熟練掌握分式混合運算法則是解決問題的關鍵．（1）先將分子分母因式分解，再通分，利用分式減法運算求解后，約分即可得到答案；（2）先將分子分母因式分解，再通分，將除法轉化為乘法，利用分式乘法運算約分后，利用整式乘法求解即可得到答案．【詳解】（1）解：1====?=?1（2）解：m+2+=========1【考點題型十五】分式化簡求值49．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）老師在黑板上書寫了一個代數式的正確演算結果，隨后用手掌捂住了一部分，形式如下：(?x(1)求所捂部分化簡后的結果；(2)若x2【答案】(1)x(2)1【分析】（1）根據被除數=除數乘以商，列式計算即可；（2）根據x2?x?1=0，變形得本題考查了分式化簡混合計算，求分式的值，熟練掌握化簡的基本方法，整體代入求值是解題的關鍵．【詳解】（1）根據題意，得所捂部分為：x===x（2）根據x2變形得x2故x250．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）先化簡a2a+2?a+2÷4a【答案】a?2a，當x=1時，原式=?1；當x=?1時，原式【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內的式子通分化簡，然后計算分式除法化簡，再根據分式有意義的條件選擇符合題意的x的值代值計算即可．【詳解】解：a===a?2∵分式要有意義，∴a+2a?2∴a≠±2且a≠0，∵?6<x<6∴當x=1時，原式=1?21=?1；當x=?151．（23-24八年級下·湖南長沙·階段練習）先化簡：x?1?3x+1÷x2+4x+4x+1【答案】x?2x+2，當x=0時，原式=?1（或當x=1時，原式=?【分析】本題考查分式的化簡求值，先利用分式的運算法則化簡，再根據分式有意義的條件從?2，?1，0，1中選擇一個適合的數化入求值．【詳解】解：原式====x?2由題意知，x+1≠0，x+22∴x≠?1，x≠?2，∴x可以取0或1，當x=0時，原式=0?2或當x=1時，原式=1?252．（23-24八年級下·全國·課后作業）先化簡，再求值：16a2?4+a+2【答案】8a?2【分析】本題考查分式的化簡求值，求不等式組的整數解，先進行分式的運算，求出不等式組的整數解，再將a的值代入分式的化簡結果中，進行計算即可．【詳解】解：原式=======8∵x?1≥3?x①由①，得：x≥2；由②，得：x<4，∴2≤x<4，∴a=3，∴原式=8【考點題型十六】判斷分式混合運算的錯誤步驟53．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習）下面是小穎同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應任務：x?1=x?1=x?1=x?1=x=2=2任務一：填空：①以上化簡步驟中，第______步是進行分式的通分，其依據是______；第______步開始出現錯誤，出現錯誤的具體原因是_____．②任務二：請寫出完整的解答過程．【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變）；四；括號前面是“?”去掉括號后，括號里面的第二項和第三項沒有變號；②?4【分析】本題主要考查了分式的混合計算：①根據分式通分的步驟和去括號法則解答即可；②按照分式的化簡步驟重新計算即可．【詳解】解：①觀察解題過程可知，第三步是進行分式的通分，依據是分式的分子分母都乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變），第四步開始出現錯誤，出現錯誤的原因是括號前面是“?”去掉括號后，括號里面的第二項和第三項沒有變號；故答案為：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變）；四；括號前面是“?”去掉括號后，括號里面的第二項和第三項沒有變號；②x?1======?454．（23-24八年級下·山西臨汾·階段練習）下面是小王同學進行分式化簡的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．m=m?22=m?22=m?22=m?22=m?22任務一：填空：（1）以上化簡步驟中，第______步是進行分式的約分，約分的依據是______；（2）從第______步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是______；任務二：請寫出正確的化簡過程；任務三：請你從0,1,2中選擇一個合適的數作為m的值代入求值．【答案】任務一：（1）五，分式的基本性質；（2）一，加括號時，括號前面是負號，括號里第二項沒有變號任務二：見解析；任務三：當m=0時，值為1．【分析】本題考查分式的混合運算：任務一：（1）根據分式的基本性質，進行作答即可；（2）第一步加括號時，括號里第二項沒有變號；任務二：根據分式的混合運算法則，進行計算即可；任務三：選一個使分式有意義的值，代入計算即可．【詳解】解：任務一：（1）以上化簡步驟中，第五步是進行分式的約分，約分的依據是分式的基本性質；故答案為：五，分式的基本性質；（2）從第一步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是加括號時，括號前面是負號，括號里第二項沒有變號；故答案為：一，加括號時，括號前面是負號，括號里第二項沒有變號任務二：m====?任務三：∵m?1≠0，m?2≠0，∴m≠1，2，當m=0時，?55．（23-24八年級上·河北邢臺·期中）嘉淇在計算a?1a+1原式=a?1a+1=a?1a+1=a?1a=2a2a=1．

第五步已知嘉淇的解法是錯誤的．(1)她開始出現錯誤的步驟是第_____________步．(2)請給出正確的解答過程．【答案】(1)四(2)見解析【分析】（1）找出錯誤的步驟即可；（2）根據分式的運算法則，寫出正確的解法即可．【詳解】（1）從解答中可以看出，她開始出現錯誤的步驟是第四步，應當是=2a故答案為：四；（2）原式=a?1=a?1==2a=2．【點睛】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【考點題型十七】比較分式的大小56．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）已知A=m+12，(1)當m>0時，比較A?B與0的大小，并說明理由；(2)設y=2①當y=4時，求m的值；

②若m為整數，求正整數y的值．【答案】(1)A?B≥0，理由見解析(2)①m=1；②m=1或m=0或m=?3．【分析】本題考查了分式的運算，不等式的基本性質，分式方程的解法等知識，熟練運用分式的運算法則是解題的關鍵．（1）首先得到A?B=m+1（2）①根據題意列出分式方程即可求出m的值．②首先得到y=2+2m+1，然后根據m為整數，y是正整數得到m+1=2或m+1=1或【詳解】（1）解：當m>0時，AB?≥0．理由：由題意，得：A?B====∵m>0，∴m+1>0，∴2m+1又m?12∴m?12∴A?B≥0．（2）∵y=2∴y=∵y=4，∴2m+4m+12m+4=3m+3，解得m=1，檢驗：當m=1時，m+1=2≠0，∴m=1是方程的解．∴m的值為1；②y=∵m為整數，y是正整數，∴m+1=2或m+1=1或m+1=?2，解得m=1或m=0或m=?3．57．（23-24八年級上·福建福州·期末）已知分式A=2a+3a+2，整式(1)若A=1，求a的值；(2)當a取哪些整數時，分式A的值為整數；(3)試判斷A與B的大小關系，并說明理由．【答案】(1)a=?1(2)?1或?3(3)當a<?2，B<A，a>?2且a≠?1時，B>A，當a=?1時，B=A．【分析】本題考查的是分式方程的解法，分式的值，分式的值的大小比較，掌握運算法則是解本題的關鍵；（1）把A=1代入A=2a+3（2）把A化為2?1a+2，再根據A為整數，（3）先計算B?A，可得B?A=a+1【詳解】（1）解：把A=1代入A=2a+32a+3a+2∴2a+3=a+2，解得：a=?1，經檢驗符合題意；（2）∵A=2a+3a+2=2a+2∴a+2=1或a+2=?1，解得：a=?1，a=?3，（3）B?A===a+1當a+2<0，即a<?2，∴B?A<0，則B<A，當a+2>0，即a>?2，∴a>?2且a≠?1時，B?A>0，即B>A，當a=?1時，B?A=0，即B=A．58．（23-24八年級上·全國·課堂例題）已知M=x+12，(1)當x>0時，判斷M?N與0的大小關系，并說明理由；(2)設y=2M+N，若x【答案】(1)當x>0時，M?N≥0．理由見解析；(2)4或3或1．【分析】（1）通分化簡M?N結合有理數乘除法法則求解即可得到答案；（2）將M，N代入y=2M+N【詳解】（1）解：∵M=x+12，∴M?N=x+1∵x>0，∴x+1>0，(x?2)2∴M?N≥0；（2）解：∵M=x+12，∴y=2當x=0時