專題01二次根式（考題猜想，壓軸大題5個考點40題專練）二次根式的性質與化簡分母有理化二次根式的混合運算二次根式的化簡求值二次根式的應用一．二次根式的性質與化簡（共12小題）1．（2023?舟山一模）觀察下列各式：①，②；③，（1）請觀察規律，并寫出第④個等式：；（2）請用含的式子寫出你猜想的規律：；（3）請證明（2）中的結論．【分析】（1）認真觀察題中所給的式子，得出其規律并根據規律寫出第④個等式；（2）根據規律寫出含的式子即可；（3）結合二次根式的性質進行化簡求解驗證即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）．故答案為：（1）；（2）．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，解答本題的關鍵在于認真觀察題中所給的式子，得出其規律并根據規律進行求解即可．2．（2022春?蓬江區校級月考）數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點為點的“橫負縱變點”．例如：點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點的“橫負縱變點”為，，點的“橫負縱變點”為；（2）化簡：；（8）已知為常數，點，且，點是點的“橫負縱變點”，則點的坐標是．【分析】（1）根據“橫負縱變點”的定義解答；（2）根據材料一，模仿解答；（3）先化簡得到點的坐標，再根據點是點的“橫負縱變點”，求出點的坐標．【解答】解：（1），點的“橫負縱變點”為，；，點的“橫負縱變點”為，；故答案為：，；，．（2）；（3），，，．，，，，，．故答案為：，．【點評】本題考查了完全平方公式，二次根式的化簡，考核學生的計算能力，計算時注意負數的絕對值等于它的相反數．3．（2021春?安徽期末）閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數、，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．【解答】解：（1），；（2），．【點評】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確應用完全平方公式是解題關鍵．4．（2021春?朝陽區校級期中）數學教育家波利亞曾說：“對一個數學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發現有價值的東西，這是數學解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點為點的“橫負縱變點”．例如：點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：（1）點的“橫負縱變點”為，，點的“橫負縱變點”為；（2）化簡：；（3）已知為常數，點，且，點是點的“橫負縱變點”，則點的坐標是．【分析】（1）根據“橫負縱變點”的定義解答；（2）根據材料一，模仿解答；（3）先化簡得到點的坐標，再根據點是點的“橫負縱變點”，求出點的坐標．【解答】解：（1），點的“橫負縱變點”為，；，點的“橫負縱變點”為，；故答案為：，；，．（2）；（3），，，．，，，，，．故答案為：，．【點評】本題考查了完全平方公式，二次根式的化簡，考核學生的計算能力，計算時注意負數的絕對值等于它的相反數．5．（2022秋?吉安縣期末）先閱讀下列的解答過程，然后作答：形如的化簡，只要我們找到兩個數、使，，這樣，，那么便有例如：化簡解：首先把化為，這里，；由于，，即，，由上述例題的方法化簡：（1）；（2）；（3）．【分析】先把各題中的無理式變成的形式，再根據范例分別求出各題中的、，即可求解．【解答】解：（1）；（2）；（3）．【點評】主要考查二次根式根號內含有根號的式子化簡．根據二次根式的乘除法法則進行二次根式根號內含有根號的式子化簡．二次根式根號內含有根號的式子化簡主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根號內含有根號的式子化簡是符合完全平方公式的特點的式子．6．（2022秋?市中區期末）觀察下列各式：請你根據上面三個等式提供的信息，猜想：（1）（2）請你按照上面每個等式反映的規律，寫出用為正整數）表示的等式：；（3）利用上述規律計算：（仿照上式寫出過程）【分析】（1）根據提供的信息，即可解答；（2）根據規律，寫出等式；（3）根據（2）的規律，即可解答．【解答】解：（1）；故答案為：；（2）；故答案為：；（3）．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，解決本題的關鍵是關鍵信息，找到規律．7．（2023春?蕪湖期末）觀察下列各式：；；，請你根據以上三個等式提供的信息解答下列問題①猜想：；②歸納：根據你的觀察，猜想，請寫出一個用為正整數）表示的等式：；③應用：計算．【分析】①直接利用利用已知條件才想得出答案；②直接利用已知條件規律用為正整數）表示的等式即可；③利用發現的規律將原式變形得出答案．【解答】解：①猜想：；故答案為：，；②歸納：根據你的觀察，猜想，寫出一個用為正整數）表示的等式：；③應用：．【點評】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確發現數字變化規律是解題關鍵．8．（2023春?太原期中）觀察下列各式并按規律填空：；；（1），．（2）按此規律第個式子可以表示為．（3）并說明上面式子成立的理由．（請寫出推導過程）【分析】（1）利用已知數據之間變化規律得出根號下與根號外數據的變化規律進而得出答案；（2）利用已知數據之間變化規律得出根號下與根號外數據的變化規律進而得出答案；（3）利用二次根式的性質化簡求出即可．【解答】解：（1）；；，；故答案為：，；（2）由（1）得按此規律第個式子可以表示為：；故答案為：；（3）．【點評】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確得出數字之間變化規律是解題關鍵．9．（2022春?杭錦后旗期中）像，這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：．再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：（1）化簡：；（2）化簡：；（3）若，且，，為正整數，求的值．【分析】（1）把變形為，然后利用二次根式的化簡即可；（2）先把變形為，然后把被開方數變形為，然后利用二次根式的化簡即可；（3）利用完全平方公式把展開，則，，再利用有理數的整除性確定、值，然后計算對應的的值．【解答】解：（1）；（2）；（3），，，，又、、為正整數，，，或者，，當，時，；當，時，，即的值為46或14．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡：熟練掌握二次根式的性質和完全平方公式是解決問題的關鍵．10．（2021秋?沿河縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數和，使且，則可變為，即變成，從而使得．化簡：．．．請你仿照上例將下列各式化簡：（1）；（2）．【分析】（1）利用完全平方公式把化為，然后利用二次根式的性質化簡即可．（2）利用完全平方公式把化為然后利用二次根式的性質化簡即可．【解答】解：（1），；（2）．【點評】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟記掌握完全平方公式．11．（2023秋?渠縣校級期中）觀察下列各式及驗證過程：，驗證；，驗證，驗證（1）按照上述三個等式及其驗證過程中的基本思想，猜想的變形結果并進行驗證．（2）針對上述各式反映的規律，寫出用為任意的自然數，且表示的等式，并給出證明．【分析】（1）通過觀察，不難發現：等式的變形過程利用了二次根式的性質，把根號內的移到根號外；（2）根據上述變形過程的規律，即可推廣到一般．表示左邊的式子時，觀察根號外的和根號內的分子、分母之間的關系可得：．【解答】解：（1）驗證：；（2）．驗證：．【點評】本題主要考查了二次根式的性質．此題是一個找規律的題目，觀察時，既要注意觀察等式的左右兩邊的聯系，還要注意右邊必須是一種特殊形式．12．（2023春?前郭縣期中）觀察下面的運算，完成下列各題的解答．①判斷下列各式是否成立：②根據①判斷的結果，你能發現什么規律？請用含有自然數的式子將你發現的規律表示出來，并注明的取值范圍．③請說明你所發現式子的正確性．【分析】（1）計算等式左右兩邊是否相等，然后做出判斷．（2）由，，，故根據上述規律可知，（3）把兩式平方，證明左邊和右邊相等．【解答】解：①；；；故答案為；；；．②由，，，故根據上述規律可知，③等式成立，理由：，故結論成立．【點評】本題主要考查二次根式的化簡的知識點，找出等式規律很重要．二．分母有理化（共7小題）13．（2021秋?射洪市校級月考）小芳在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，請你根據小芳的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．①求的值；②求的值．【分析】（1）原式各項分母有理化，計算即可求出值；（2）各式變形后，將的值代入計算即可求出值．【解答】解：（1）原式；（2）①，原式；②，原式．【點評】此題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．14．（2021春?淮北期末）已知，，求：（1）的值；（2）的值．【分析】（1）先求出與與的值，再代入計算即可；（2）將變形為，得到原式，再把，代入計算即可求解．【解答】解：（1），，，，；（2），，．【點評】考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解答問題的關鍵．15．（2021秋?高州市校級月考）閱讀下面問題：；；．試求：（1）為正整數）．（2）利用上面所揭示的規律計算：．【分析】（1）分子分母同時乘，求解即可，（2）先化簡，再找出規律求解即可．【解答】解：（1）為正整數）．故答案為：．（2），．【點評】本題主要考查了分母有理化，解題的關鍵是找出式子的規律．16．（2021春?饒平縣校級期末）先觀察下列的計算，再完成習題：；請你直接寫出下面的結果：（1）；；（2）根據你的猜想、歸納，運用規律計算：．【分析】（1）仿照已知等式將各式分母有理化即可；（2）根據得出的規律將原式化簡即可得到結果．【解答】解：（1）原式；原式；故答案為：；；（2）原式．【點評】此題考查了分母有理化，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．17．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：；；．（1）求的值；（2）計算：．【分析】（1）原式根據閱讀材料中的方法變形即可得到結果；（2）原式各項變形后，抵消合并即可得到結果．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【點評】此題考查了分母有理化，弄清分母有理化的方法是解本題的關鍵．18．（2021春?裕華區校級期末）【知識鏈接】（1）有理化因式：兩個含有根式的非零代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；的有理化因式是．（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去．指的是如果代數式中分母有根號，那么通常將分子、分母同乘分母的有理化因式，達到化去分母中根號的目的．如：，．【知識理解】（1）填空：的有理化因式是；（2）直接寫出下列各式分母有理化的結果：①；②．【啟發運用】（3）計算：．【分析】（1）由，即可找出的有理化因式；（2）①分式中分子、分母同時，即可得出結論；②分式中分子、分母同時，即可得出結論；（3）利用分母有理化將原式變形為，合并同類項即可得出結論．【解答】解：（1），的有理化因式是．故答案為：．（2）①；②．故答案為：①；②．（3）原式，，．【點評】本題考查了分母有理化，解題的關鍵是：（1）由，找出的有理化因式；（2）根據平方差公式，將各式分母有理化；（3）利用分母有理化將原式變形為．19．（2021秋?安仁縣校級期末）閱讀下列材料，然后回答問題：在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：；．以上這種化簡過程叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：．（1）請用其中一種方法化簡；（2）化簡：．【分析】（1）運用第二種方法求解，（2）先把每一個加數進行分母有理化，再找出規律后面的第二項和前面的第一項抵消，得出答案，【解答】解：（1）原式；（2）原式【點評】本題主要考查了分母有理化，解題的關鍵是找準有理化因式．三．二次根式的混合運算（共7小題）20．（2020春?興縣期末）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進行了以下探索：設（其中、、、均為整數），則有．，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當、、、均為正整數時，若，用含、的式子分別表示、，得，；（2）試著把化成一個完全平方式．（3）若是216的立方根，是16的平方根，試計算：．【分析】（1）根據完全平方公式展開，再得出即可；（2）根據完全平方公式得出即可；（3）先求出、的值，再代入求出即可．【解答】解：（1），，，，故答案為：；；（2）；（3）是216的立方根，是16的平方根，，，．【點評】本題考查了平方根、立方根、完全平方公式、算術平方根等知識點，能靈活運用完全平方公式進行變形是解此題的關鍵．21．（2023秋?惠來縣期中）一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．設（其中、、、均為正整數），則有，，．這樣可以把部分．的式子化為平方式的方法．請你仿照上述的方法探索并解決下列問題：（1）當、、、均為正整數時，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）找一組正整數、、、填空：；（3）化簡．【分析】（1）將用完全平方公式展開，與原等式左邊比較，即可得答案；（2）設，則，比較完全平方式右邊的值與，可將和用和表示出來，再給和取特殊值，即可得答案；（3）利用題中描述的方法，將要化簡的雙重根號，先化為一重根號，再利用分母有理化化簡，再合并同類二次根式和同類項即可．【解答】解：（1），，，，故答案為：，．（2）設．則．，，若令，，則，．故答案為：21，4，1，2．（3）．【點評】本題考查了利用分母有理化和利用完全平方公式對二次根式化簡，以及對這種方法的拓展應用，本題具有一定的計算難度．22．（2022春?大理市校級期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值；（2）計算．【分析】（1）根據分母有理化可以解答本題；（2）根據分母有理化可以解答本題；（3）根據（2）中的結果可以解答本題．【解答】解：（1），；（2），；（3）．【點評】本題考查二次根式的化簡求值、分母有理化，解答本題的關鍵是明確二次根式化簡求值的方法．23．（2022春?開州區期中）我們知道平方運算和開方運算是互逆運算，如：，那么，那么如何將雙重二次根式，，化簡呢？如能找到兩個數，，使得即，且使即，那么，雙重二次根式得以化簡；例如化簡：；且，由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到，使得，且，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：；；（2）化簡：①②（3）計算：．【分析】（1）把被開方數利用完全平方公式變形為完全平方式，然后利用二次根式的性質化簡；（2）利用二次根式的性質變形得到；，然后與（1）的方法一樣化簡即可；（3）先變形得到，然后與（1）的方法一樣化簡即可．【解答】解：（1）填空：；；（2）①；②；（3）．故答案為；．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．24．（2022秋?晉安區期末）我們已經學過完全平方公式，知道所有的非負數都可以看作是一個數的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：例：求的算術平方根．解：，．你看明白了嗎？請根據上面的方法化簡：（1）（2）（3）．【分析】（1）將3分成，利用完全平方公式即可求出結論；（2）結合（1）將原式變形為，將18分成，利用完全平方公式即可求出結論；（3）將3分成、5分成、7分成、9分成、11分成，利用完全平方公式結合二次根式的加、減法，即可求出結論．【解答】解：（1）；（2）；（3）原式，，，，．【點評】本題考查了二次根式的混合運算以及完全平方公式，讀懂題意，將整數分成兩個合適的整數相加是解題的關鍵．25．（2023?舟山二模）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：設（其中、、、均為整數），則有．，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當、、、均為正整數時，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）利用所探索的結論，找一組正整數、、、填空：；（3）若，且、、均為正整數，求的值．【分析】（1）利用完全平方公式展開得到，從而可用、表示、；（2）先取，，則計算對應的、的值，然后填空即可；（3）利用，和、、均為正整數可先確定、的值，然后計算對應的的值．【解答】解：（1），，；（2），，則，，，（3），，、、均為正整數，，或，，當，時，，當，時，，的值為12或28．故答案為，；7，4，2，1．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．26．（2023春?宜豐縣校級月考）已知，，且．試求正整數．【分析】首先化簡與，可得：，，所以，；將所得結果看作整體代入方程，化簡即可求得．【解答】解：化簡與得：，，，，將代入方程，化簡得：，，．，解得．【點評】此題考查了二次根式的分母有理化．解題的關鍵是整體代入思想的應用．四．二次根式的化簡求值（共9小題）27．（2023春?東莞市校級期中）已知，，求下列各式的值：（1）；（2）．【分析】（1）先利用完全平方公式因式分解；（2）利用平方差公式因式分解；再進一步代入求得數值即可．【解答】解：（1）；（2）．．【點評】此題考查二次根式的混合運算，注意先利用完全平方公式和平方差公式因式分解，再代入計算．28．（2023春?麒麟區校級期中）閱讀下面的問題：；；；（1）求與的值．（2）已知是正整數，求與的值；（3）計算．【分析】（1）根據分母有理化可以解答本題；（2）根據分母有理化可以解答本題；（3）根據（2）中的結果可以解答本題．【解答】解：（1），；（2），；（3）．【點評】本題考查二次根式的化簡求值、分母有理化，解答本題的關鍵是明確二次根式化簡求值的方法．29．（2021春?環翠區校級期中）已知：，，求的值．【分析】根據二次根式的性質把原式變形，代入計算即可．【解答】解：，，，，，當，時，原式．【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握完全平方公式、二次根式的性質是解題的關鍵．30．（2021春?黃岡期中）已知，，試求代數式的值．【分析】根據已經條件求出、，再利用整體代入的思想解決問題即可．【解答】解：，，，，．解法二：由題意，，，．【點評】本題考查二次根式的化簡求值、完全平方公式、平方差公式等知識，解題的關鍵是靈活運用公式解決問題，學會用整體代入的思想解決問題，屬于中考常考題型．31．（2023春?新會區校級期末）小明在解決問題：已知，求的值．他是這樣分析與解的：，，，，，．請你根據小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡．（2）若．求：①求的值．②直接寫出代數式的值2；．【分析】（1）將原式分母有理化后，得到規律，利用規律求解；（2）將分母有理化得，移項并平方得到，對①，②的式子進行變形后代入求值．【解答】解：（1）原式；（2）①，，，，；②，，原式；，，原式．故答案為：0，2．【點評】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代數式的變形，解題的關鍵是變形各式后利用來求解．32．（2023春?東莞市校級期中）已知，，求下列各式的值．（1）（2）．【分析】（1）所求式子利用平方差公式分解后，將與的值代入計算即可求出值；（2）求出與的值，所求式子利用完全平方公式變形后，將各自的值代入計算即可求出值．【解答】解：（1），，；（2），，，，則．【點評】此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解本題的關鍵．33．（2022秋?城關區期末）先化簡，后求值：，其中．【分析】求出的值，根據平方差公式得出，推出，把的值代入求出即可．【解答】解：，，，，，．【點評】本題考查了平方差公式和二次根式的化簡求值的應用，關鍵是根據性質進行化簡，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目．34．（2020秋?惠濟區校級月考）閱讀下面的文字后，回答問題．小明和小芳解答題目“先化簡下式，再求值：，其中”時，得到了不同的答案．小明的解答是：原式；小芳的解答是：原式；（1）小明的解答是錯誤的．（2）錯誤的解答錯在未能正確運用二次根式的性質：．【分析】根據二次根式的性質，可得答案．【解答】解：原式；（1）小明的解答是錯誤的．（2）錯誤的解答錯在未能正確運用二次根式的性質：，故答案為：小明，．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，熟記二次根式的性質是解題關鍵．35．（2023秋?天府新區期中）已知，．求：（1）的值；（2）的值．【分析】先將和進行化簡，然后代入各式中進行求解即可．【解答】解：（1），，．（2）．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵在于將和進行化簡，然后代入各式中進行求解．五．二次根式的應用（共5小題）36．（2023春?湯陰縣期中）已知線段，，，且線段，滿足．（1）求，的值；（2）若，，是某直角三角形的三條邊的長度，求的值．【分析】（1）根據非負數性質可得、的值；（2）根據勾股定理逆定理可解答．【解答】解：（1）因為線段，滿足．所以，；（2）因為，，是某直角三角形的三條邊的長度，所以或．【點評】本題主要考查二次根式的應用，根據非負數性質和勾股定理逆定理得出相應算式是關鍵，二次根式的化簡與運算是根本技能．37．（2022春?東莞市校級期中）細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題．，；，；，；（1）請用含有為正整數）的等式表示上述變化規律：，．（2）若一個三角形的面積是，計算說明它是第幾個三角形？（3）求出的值．【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面積求解；（2）利用（1）的規律代入求出即可；（3）算出第一到第九個三角形的面積后求和即可．【解答】解：（1）因為每一個三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：，，，所以．故：答案為與（2）當時，有：，解之得：即：說明它是第32個三角形．（3）即：的值為11.25．【點評】本題考查了勾股定理以及二次根式的應用，解題的關鍵是看清楚相鄰兩個三角形的各個邊之間的關系．38．（2022春?岳麓區校級期中）已知，均為正整數．我們把滿足的點稱為幸福點．（1）下列四個點中為幸福點的是；；；；（2）若點是一個幸福點，求的值；（3）已知點，是一個幸福點，則存在正整數，滿足，試問是否存在實數的值使得點和點，到軸的距離相等，且到軸的距離也相等？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1