第1章數(shù)列1.1

數(shù)列的概念第1課時(shí)數(shù)列的概念湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法;2.掌握數(shù)列的分類;3.理解數(shù)列的函數(shù)特征;4.掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的概念及其應(yīng)用,能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列及其概念(1)數(shù)列:按照一定順序排成的一列數(shù)叫作數(shù)列.(2)項(xiàng):數(shù)列中的

叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),排在第一位的數(shù)叫作數(shù)列的首項(xiàng)或叫作數(shù)列的第1項(xiàng),排在第二位的數(shù)叫作數(shù)列的

,…,排在第n位的數(shù)叫作數(shù)列的

.

(3)數(shù)列的一般形式:數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)之間用“,”隔開

每一個(gè)數(shù)

第2項(xiàng)第n項(xiàng)

名師點(diǎn)睛數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì):(1)確定性:一個(gè)數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項(xiàng)是確定的,集合中的元素也具有確定性;(2)可重復(fù)性:數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù),而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)(即互異性);(3)有序性:一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān),而且與這些數(shù)的排列順序有關(guān),而集合中的元素沒有順序(即無序性).過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)1,2,3,4與4,3,2,1是同一數(shù)列.(

)(2)一組數(shù)1,1,1,1不是數(shù)列.(

)(3)若兩個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)均相同,則這兩個(gè)數(shù)列相同.(

)2.{an}與an所表示的含義相同嗎?××√提示不相同.{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

的數(shù)列

無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

的數(shù)列

名師點(diǎn)睛從數(shù)列的分類來說,一個(gè)數(shù)列只有“有窮數(shù)列”與“無窮數(shù)列”兩種形式.有限

無限過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)若一個(gè)數(shù)列有n(n∈N+)項(xiàng),則該數(shù)列是無窮數(shù)列.(

)×2.數(shù)π分別精確到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值(四舍五入)依次排列得到一個(gè)數(shù)列,試寫出它的前7項(xiàng),并判斷此數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列.解

數(shù)列的前7項(xiàng)為3,3.1,3.14,3.142,3.141

6,3.141

59,3.141

593,其為無窮數(shù)列.知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的表示以及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系1.通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an可以用關(guān)于n的一個(gè)公式表示,那么這個(gè)

就稱為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

就是數(shù)列的解析表達(dá)式

公式

2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的觀點(diǎn)看,數(shù)列可以看作特殊的函數(shù),關(guān)系如下表:定義域特殊

定義域正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})解析式數(shù)列的_____________值域自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值表示方法(1)__________(解析法);(2)

法;(3)

法

列表圖象通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式2.通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an可以用關(guān)于n的一個(gè)公式表示,那么這個(gè)________

就稱為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

就是數(shù)列的解析表達(dá)式

公式名師點(diǎn)睛1.列表法表示數(shù)列的優(yōu)點(diǎn)在于表示出了數(shù)列的項(xiàng)的序號(hào)與項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系,而圖象法則是直觀地體現(xiàn)了項(xiàng)的變化趨勢,通項(xiàng)公式則是清晰地反映對應(yīng)關(guān)系.2.數(shù)列所對應(yīng)的圖象是一系列孤立的點(diǎn).3.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式不是唯一的,如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos

nπ等.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)根據(jù)通項(xiàng)公式可以求出數(shù)列的任意一項(xiàng).(

)(2)根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫出的通項(xiàng)公式唯一.(

)(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式必須適合數(shù)列中的任何一項(xiàng).(

)√×√2.所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式嗎?3.從函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列,若一個(gè)數(shù)列是“有窮數(shù)列”,則該數(shù)列的定義域有何特征?提示不是.提示從函數(shù)觀點(diǎn)看數(shù)列,若一個(gè)數(shù)列是“有窮數(shù)列”,則它的定義域是正整數(shù)集N+的有限子集{1,2,3,…,n}.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)求通項(xiàng)公式【例1】

根據(jù)以下數(shù)列的前若干項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.分析

觀察、分析項(xiàng)的特征,尋找數(shù)列的每一項(xiàng)與其所在項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系.解

數(shù)列的項(xiàng)有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察,(2)1,-3,5,-7,9,…;解

數(shù)列各項(xiàng)的絕對值分別為1,3,5,7,9,…,是連續(xù)的正奇數(shù),其通項(xiàng)公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).解

這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n·.(4)4,0,4,0,4,0,….解

由于該數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)全部都是4,偶數(shù)項(xiàng)全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項(xiàng)公式,即an=又因?yàn)閿?shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項(xiàng)公式又可表示為an=2+2×(-1)n+1.變式探究(1)將本例題中的(1)改為,…,試寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.分子滿足:3=1+2,4=2+2,5=3+2,6=4+2,…,分母滿足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…,(2)將本例題中的(3)改為,…,試寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.解

由于所給數(shù)列的部分項(xiàng)均是分式且分子均為1,分母均是兩因數(shù)的積,第一個(gè)因數(shù)是項(xiàng)數(shù)加上1,第二個(gè)因數(shù)比第一個(gè)因數(shù)大2,因此它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.規(guī)律方法

1.根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式的方法:(1)先統(tǒng)一項(xiàng)的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號(hào)間的解析表達(dá)式.(3)對于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)n或(-1)n+1處理符號(hào).(4)對于具有周期性的數(shù)列,可考慮拆成幾個(gè)簡單數(shù)列的形式,或者利用周期函數(shù),如三角函數(shù)等.2.常見數(shù)列的通項(xiàng)公式如下:(1)數(shù)列-1,1,-1,1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n.(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n.(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2n-1.(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n2.探究點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用分析首先根據(jù)數(shù)列的前3項(xiàng)以及數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用待定系數(shù)法求出d,b,c,得到通項(xiàng)公式,然后根據(jù)通項(xiàng)公式求解.規(guī)律方法

利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的項(xiàng)或項(xiàng)數(shù)的方法

類型方法求數(shù)列的項(xiàng)用序號(hào)代替公式中的n判斷是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)令通項(xiàng)公式等于該數(shù),解方程,注意n∈N+變式訓(xùn)練已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng);(2)判斷-49是不是該數(shù)列中的項(xiàng);(3)該數(shù)列{an}中有多少個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)?

解

(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(2)由3n2-28n=-49,得n=7或n=

(舍去),因此-49是該數(shù)列的第7項(xiàng).(3)由an=3n2-28n=n(3n-28)<0,得0<n<.又因?yàn)閚∈N+,所以n=1,2,3,4,5,6,7,8,9.故數(shù)列{an}中共有9個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)數(shù)列及其概念:項(xiàng)、項(xiàng)數(shù);(2)數(shù)列的分類:有窮數(shù)列、無窮數(shù)列;(3)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系、數(shù)列的表示方法、數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.方法歸納:觀察歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,代數(shù)法或解方程法求數(shù)列的項(xiàng)或項(xiàng)數(shù).3.注意事項(xiàng):數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的特殊的函數(shù),根據(jù)通項(xiàng)公式判斷是否為數(shù)列的項(xiàng),n∈N+.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識(shí)基礎(chǔ)練123456789101112131415161718A.第12項(xiàng) B.第13項(xiàng)C.第14項(xiàng) D.第25項(xiàng)A解析

由題意得數(shù)列的通項(xiàng)公式為

時(shí),解得n=12,所以5是這個(gè)數(shù)列中的第12項(xiàng),故選A.1234567891011121314151617182.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(n+1),則a1+a2+a3+…+a10等于(

)A.-55 B.-5 C.5 D.55C解析

a1+a2+a3+…+a10=-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=5.1234567891011121314151617183.[2024甘肅金昌高二階段練習(xí)]數(shù)列-4,7,-10,13,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為(

)A.an=(-1)n(3n+4)B.an=(-1)n(3n+1)C.an=(-1)n+1(3n+4)D.an=(-1)n+1(3n+1)B解析

由符號(hào)來看,奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以通項(xiàng)公式中應(yīng)該是(-1)n,數(shù)值4,7,10,13,…滿足3n+1,所以通項(xiàng)公式可以是an=(-1)n(3n+1).故選B.1234567891011121314151617184.(多選題)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,則3可以是(

)A.數(shù)列{an}中的第1項(xiàng)B.數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)C.數(shù)列{an}中的第4項(xiàng)D.數(shù)列{an}中的第6項(xiàng)BD解析

根據(jù)題意,數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,令an=n2-8n+15=3,解得n=2或n=6,即3是數(shù)列的第2項(xiàng)或第6項(xiàng),故選BD.123456789101112131415161718D123456789101112131415161718an=

,a10=

.

1234567891011121314151617187.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的數(shù)列{an},①無窮數(shù)列;②數(shù)列中的項(xiàng)依次減小;③每一項(xiàng)都是正數(shù),則an=

.

1234567891011121314151617188.在數(shù)列{an}中,an=-2n2+9n+3.(1)-107是不是該數(shù)列中的某一項(xiàng)?若是,是第幾項(xiàng)?(2)求數(shù)列中的最大項(xiàng).解

(1)令-107=an=-2n2+9n+3,解得n=10(n=舍去).故-107是該數(shù)列中的項(xiàng),并且是第10項(xiàng).123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練9.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=則a2a3等于(

)A.70 B.28

C.20

D.8C解析

根據(jù)題意,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=則a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,則a2a3=20,故選C.12345678910111213141516171810.[2024甘肅白銀高二期末]已知數(shù)列0,lg3,lg5,lg7,…,根據(jù)該數(shù)列的規(guī)律,該數(shù)列中小于2的項(xiàng)有(

)A.50項(xiàng)

B.51項(xiàng)C.100項(xiàng) D.101項(xiàng)A解析

令該數(shù)列為{an},則a1=lg

1=lg(2×1-1),a2=lg

3=lg(2×2-1),a3=lg

5=lg(2×3-1)……由此可歸納得an=lg(2n-1).又n∈N+,所以a1<…<a50=lg

99<2,a51=lg

101>2,故數(shù)列中小于2的項(xiàng)有50項(xiàng).故選A.12345678910111213141516171811.(多選題)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=9-2n,則下列各數(shù)是{an}中的項(xiàng)的是(

)A.7 B.0

C.3

D.5ACD

解析

令an=9-2n=7,得n=1,故A正確.令an=9-2n=0,∵n∈N+,∴無解,故B錯(cuò)誤.令an=9-2n=3,得n=3,故C正確.令an=9-2n=5,得n=2,故D正確.故選ACD.12345678910111213141516171812.[2024甘肅酒泉敦煌中學(xué)高二期中]已知數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n·2n+a,且a3=-5,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.1 B.3C.-1 D.-3B解析

因?yàn)閍n=(-1)n·2n+a,a3=-5,所以-23+a=-5,解得a=3.故選B.12345678910111213141516171813.下列數(shù)列中,156是其中一項(xiàng)的是(

)A.{n2+1} B.{n2-1}C.{n2+n} D.{n2+n-1}C解析

若數(shù)列為{n2+1},則有n2+1=156,無正整數(shù)解,不符合題意;若數(shù)列為{n2-1},則有n2-1=156,無正整數(shù)解,不符合題意;若數(shù)列為{n2+n},則有n2+n=156,解得n=12或-13(舍),有正整數(shù)解n=12,符合題意;若數(shù)列為{n2+n-1},則有n2+n-1=156,無正整數(shù)解,不符合題意.故選C.12345678910111213141516171814.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)