高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔東南州2023-2024學年高二下學期期末教學質量檢測數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一、二、三冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列滿足，，則（）A.3 B.2 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因為數列滿足，，所以，，，，故是周期為2的數列，所以.故選：D2.學校計劃派甲、乙、丙、丁4名學生參加周六、周日的公益活動，每名學生選擇一天參加公益活動，若甲、乙不在同一天參加公益活動，則不同的參加公益活動的方法共有（）A.4種 B.6種 C.8種 D.16種〖答案〗C〖解析〗由題意可知甲、乙不在同一天參加公益活動，則有種方法，然后丙、丁的安排方法有種，所以由分步乘法原理可得共有種不同方法.故選：C.3.已知雙曲線的實軸長為1，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知雙曲線的實軸長為，則，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為．故選：A.4.已知變量和的統計數據如下表：123450.91.31.82.43.1若，線性相關，經驗回歸方程為，據此可以預測當時，（）A.5.75 B.7.5 C.7.55 D.8〖答案〗A〖解析〗，，所以，即，令，解得.故選：A.5.某班舉辦知識競賽，已知題庫中有兩種類型的試題，類試題的數量是類試題數量的兩倍，且甲答對類試題的概率為，答對類試題的概率為，從題庫中任選一題作答，甲答對題目的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設“選出類試題”為事件，“選出類試題”為事件，“甲答對題目”為事件，則，所以.故選：C.6.向如圖放置的空容器中注水，直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的體積V與水的高度h的函數關系的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在注水的過程中，容器橫截面面積越大，水的體積增長越快，所以隨著水的高度的增長，體積先緩慢增長，再劇烈增長，再緩慢增長.故選：A.7.被9除的余數為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗.因為被9整除，所以被9除的余數為.故選：B8.在正四棱錐中，，則正四棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗過頂點P向平面ABCD作垂線，垂足為O，則PO為正四棱錐的高，設為h.設底面邊長為x，則，則，則.所以正四棱錐的體積為：，則.當時，；當時，.即在上單調遞增，在上單調遞減，則.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.隨機變量，隨機變量服從兩點分布，且，設，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因為，所以，且，又，所以A正確，B錯誤；，故，故C正確；，，故D錯誤.故選：AC10.在數列中，已知，，則（）A. B.是等差數列C. D.是等比數列〖答案〗BCD〖解析〗，則，因為，所以是以1為首項，為公差的等差數列，則，則，所以，，所以，所以是首項為3，公比為1的等比數列，所以A錯誤，B，C，D均正確.故選：BCD11.已知橢圓的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為是橢圓上異于的一點，且（為坐標原點），記的斜率分別為，設為的內心，記的面積分別為，，則（）A. B.的離心率為C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因為，所以為正三角形，且點在以為直徑的圓上，所以，即，故A正確．不妨設，則的離心率為，故B錯誤．，故C正確．設的內切圓半徑為，則，，，所以，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若點在圓上，則的半徑_______.〖答案〗〖解析〗由題可知的圓心坐標為，因為點在圓上，所以圓的半徑.故〖答案〗為：13.已知隨機變是，則__________.〖答案〗2〖解析〗因為，所以，則.故〖答案〗為：2.14.已知函數有3個零點，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗，令，得，令，得或，所以在上遞增，在上遞減，所以的極大值為，的極小值為.因為有3個零點，且當時，，當時，，所以a>0-32+a<0，解得，即的取值范圍為.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，且，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，.因為，分別為的中點，所以，，則，，，設平面的法向量為，則，即，令，則有，，即，因為，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知，，，所以與平面所成角的正弦值為.16.不透明的袋子中裝有編號為1，2，3，4的4張卡片，這4張卡片除編號外，其余完全相同.現從袋子中不放回地抽取1張卡片，若這張卡片的編號為偶數，則結束抽取；若這張卡片的編號為奇數，則再從袋子中不放回地抽取1張卡片，直至抽出編號為偶數的卡片，結束抽取.（1）求恰好抽取2張卡片后結束抽取的概率；（2）若抽出編號為奇數的卡片得1分，抽出編號為偶數的卡片得2分，記抽取結束后的總得分為，求的分布列與期望.解：（1）由題可知，要恰好抽取2張卡片后結束抽取，則需第一張被抽出的卡片的編號為奇數，且第二張被抽出的卡片的編號為偶數，故所求的概率為.（2）由題意可得的可能取值為2，3，4，若第一張被抽出的卡片的編號為偶數，抽取結束，則.若第一張被抽出的卡片的編號為奇數，且第二張被抽出的卡片的編號為偶數，抽取結束，則由（1）可知.若前兩張被抽出的卡片的編號均為奇數，則第三張被抽出的卡片的編號必是偶數，抽取結束，則.的分布列為234故.17.已知數列滿足，其中表示從個元素中任選個元素的組合數.（1）求的通項公式；（2）求的前項和.解：（1）因為，所以，則，所以，則.（2）因為，所以，則，所以，則，所以.18.已知是拋物線的焦點，是拋物線的準線與軸的交點，是拋物線上一點，且．（1）求拋物線的方程．（2）設過點的直線交拋物線于兩點，直線與直線分別交于點．（ⅰ）證明：直線與的斜率之和為0．（ⅱ）求面積的最大值．解：（1）因為點在拋物線上，所以，因為，所以，聯立，解得，所以拋物線方程為；（2）（ⅰ）設直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，不妨設點在第一象限，，由得，所以，所以，所以，故直線與的斜率之和為；（ⅱ）由得，同理可得，直線與軸交于點，則的面積，因為，所以，所以，則，即面積的最大值為12，當且僅當時等號成立.19.已知函數，．（1）討論的單調性；（2）當恒成立時，判斷的零點個數．解：（1）由知當時，對有，所以在上遞增；當時，對有，對有，所以在上遞增，在上遞減.綜上，當時，在上遞增；當時，在上遞增