陜西省學(xué)林2024屆高考全真模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題

學(xué)校:..姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.已知R為實(shí)數(shù)集，集合4=［才g<11,B=p1<21<41,則圖中陰影部分表示的集

合為（）

A.{x|-l<x<3}B.{尤［2<尤43}

C.1x|l<x<2}D.{尤|-1<無(wú)<2}

2.已知復(fù)數(shù)Z=a+i,z2=l-a\,aeR,^zt-z2=2,則在復(fù)平面內(nèi)向?qū)?yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中，記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的辦

法.如圖，已知圓錐的高與底面半徑均為2,過(guò)軸。。的截面為平面平行于平面

的平面a與圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分.若雙曲線C的兩條漸近線分別平行于

OA,OB,則建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，雙曲線C的方程可以為（）

22

A.=1B.匕-爐=1

44

2

C.y2-x2=lD.--x2=l

2

4.若（21+1）"=4+卬:+生/+…+為/的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則

幺+$++2=（）

2222〃

A.32B.31C.16D.15

,「兀兀）什3（兀、sin2a/、

5.已知二￡一不一;，若tan2a=—/ana+:，貝12cos+------=（）

<24J214yztana

A182廠2「18

A.——B.——C.-D.—

5555

2x-y+2>0

6.若點(diǎn)P（x,y）在平面區(qū)域，x-2y+lW。上，則Y+產(chǎn)一2x+2的最小值是（）

x+y-2<Q

49

A.—B.—C.1D.2

55

7.在平行六面體ABC。-AAGA中，已知A3=AD=A4=1,

ZA.AB=ZA.AD=ZBAD=60°,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）

A.直線AC與8。所成的角為90。

B.線段4c的長(zhǎng)度為0

C.直線AC與B為所成的角為90。

D.直線AC與平面A3。所成角的正弦值為逅

3

8.今年兩會(huì)期間，“新質(zhì)生產(chǎn)力”被列為了2024年政府工作十大任務(wù)之首.某中學(xué)為了讓高

三同學(xué)對(duì)“新質(zhì)生產(chǎn)力”有更多的了解，利用周五下午課外活動(dòng)時(shí)間同時(shí)開(kāi)設(shè)了四場(chǎng)有關(guān)“新

質(zhì)生產(chǎn)力''方面的公益講座.己知甲、乙、丙、丁四位同學(xué)從中一共選擇兩場(chǎng)去學(xué)習(xí)，則甲、

乙兩人不參加同一個(gè)講座的不同方法共有()

A.48種B.84種C.24種D.12種

9.在，ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為c,c(sinA-sinC)=(tz-Z?)(sinA+sinB),

若，ABC的面積為小，周長(zhǎng)為外，則AC邊上的高為()

4

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

A."B.走C.V3D.273

32

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線丁=百（％-2）過(guò)拋物線Uy?=2px（p>0）的焦點(diǎn)，且與。交

于A1,N兩點(diǎn)，/為。的準(zhǔn)線，則（）

A.p=2B.\MN\=^-

C.0MN的面積為蛆叵D.以MN為直徑的圓與/有兩個(gè)交點(diǎn)

3

11.將一個(gè)體積為36兀的鐵球切割成一個(gè)正三棱錐的機(jī)床零件,則該零件體積的最大值為（

A.8應(yīng)B.8gC.4A/2D.4G

12.已矢口函數(shù)/（%）=2"+2一"+cos%+f,若a=/（51n4,，b=f^41n5n^,c=/（51n;i4）,

則（）

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、填空題

13.如圖是某人設(shè)計(jì)的正八邊形八角窗，若。是正八邊形ABCDEFGH的中心，,@=1,

則AC。.

14.圓（》-4+（廣2“-3）2=9上總存在兩個(gè)點(diǎn)到（2,3）的距離為1,貝U°的取值范圍是.

15.己知函數(shù)/（x）=sin（2s+[（。>0）在區(qū)間（0㈤上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則。的

取值范圍是.

16.已知函數(shù)/（尤）=1。8.尤一（&『-1。8"2（。>1）僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為.

三、解答題

17.已知數(shù)歹U｛In4｝是等差數(shù)列，記S"為｛%｝的前兀項(xiàng)和，｛S.+4｝是等比數(shù)列，%=1.

⑴求。"；

⑵記2ulogMi+log?%"，求數(shù)列｛(T)"/；｝的前10項(xiàng)和.

18.體育運(yùn)動(dòng)是強(qiáng)身健體的重要途徑，隨著“中國(guó)兒童青少年體育健康促進(jìn)行動(dòng)方案

(2020-2030)”的發(fā)布，體育運(yùn)動(dòng)受到各地中小學(xué)的高度重視，眾多青少年的體質(zhì)健康得到

很大的改善.我們把每周體育鍛煉時(shí)間超過(guò)8小時(shí)的學(xué)生稱為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，為了了解“運(yùn)動(dòng)達(dá)

人”與性別是否有關(guān)系，我們對(duì)隨機(jī)抽取的80名學(xué)生的性別進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中女生與男生的

人數(shù)之比為1:3,男生中“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”占白，女生中“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”占

24

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”與性別

有關(guān)？

女生男生合計(jì)

運(yùn)動(dòng)達(dá)人

非運(yùn)動(dòng)達(dá)人

合計(jì)

(2)現(xiàn)從抽取的“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”中，按性別采用分層抽樣抽取3人參加體育知識(shí)闖關(guān)比賽，已知其

中男、女生獨(dú)立闖關(guān)成功的概率分別為=與彳，在恰有兩人闖關(guān)成功的條件下，求有女生闖

43

關(guān)成功的概率.

,n(ad-be}

附：K=-------——--------------------,n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(o+c)(b+d)

P(^K2>k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

19.如圖，在五面體48cDE中，已知AC1BC,ED//AC,^.AC=BC=AE=2ED=2,

DC=DB=6

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

(1)求證：平面3co_L平面ABC；

(2)線段8c上是否存在點(diǎn)兒使得二面角3-AE-產(chǎn)的余弦值為逆，若存在，求CE的長(zhǎng)

3

度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)￡(-石,0),且與圓月：。-6)2+3；2=16內(nèi)切.

⑴求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；

(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)42,點(diǎn)尸為軌跡C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線

P8交直線x=4于點(diǎn)T,連接AT交軌跡C于點(diǎn)。；直線AP,A。的斜率分別為L(zhǎng)，

(i)求證：左AP&Q為定值;

(ii)設(shè)直線42：%="+〃，證明：直線PQ過(guò)定點(diǎn).

21.已知函數(shù)/(%)=〃lnx-%+l(tzeR),g(x)=sinx-x.

⑴討論函數(shù)〃%)的單調(diào)性；

⑵證明：g(+]]<°(〃wN*);

(3)證明：ln2>sin^—+sin^—+sin^—++sin—(〃wN*).

n+1n+2n+32n

[x=cos/

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為,；(7為參數(shù))，曲線C2的

[y=1+smy

1-5

X=-----

參數(shù)方程為(S為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，龍軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

2s

=

Iyl~+S

IT

已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(1，力，直線/：。=上(peR).

4

⑴求曲線G的極坐標(biāo)方程以及曲線C。的普通方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A且平行于/的直線機(jī)與C|交于/、N兩點(diǎn)，求|肱V|的直

23.已知函數(shù)/(x)=|2x+a+2|+2|x-6|(a>0,b>0).

(1)當(dāng)。=4,6=1時(shí)，解不等式/(x)<10；

⑵若Ax)的最小值為6,求崖+從的最小值.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】圖中陰影部分表示B4A，根據(jù)分式不等式求出A的解集，利用指數(shù)不等式求出8

的解集，進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】圖中陰影部分表示8々A,

由---得x<l或%>3,所以々A={Rl?%?3},

由;<2"<4,解得—lvxv2,所以5={乂—l<x<2},

故5c4A={1W%<2},

故選：C.

2.A

【分析】由Z/Z2=2,利用復(fù)數(shù)的乘法和復(fù)數(shù)的相等求出。的值得復(fù)數(shù)4,可知在復(fù)平面內(nèi)

4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.

【詳解】因?yàn)?=〃+為z2=l-ai,

所以4/2=(a+i)，(l-〃i)=2a+(l-a2)i=2,

_[2a=2

則有i八，解得。=1，

[1—Q2=0

所以Z]=l+i,復(fù)平面內(nèi)Z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),在第一象限.

故選：A.

3.C

—2—0a

【分析】建立坐標(biāo)系，由自B=$^=T得出/=1，進(jìn)而作出判斷.

2-0b

22

【詳解】設(shè)雙曲線OC的方程為與-==1,(穌0,6>0).

將題設(shè)中雙曲線C的一部分平移到平面OA8內(nèi)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的坐

標(biāo)系：

_o_n

因?yàn)閳A錐的高與底面半徑均為2,所以3(2,-2),則自B=W^=T.

即漸近線。8的方程為〉=一%，即￡=1,故。=6.

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

選項(xiàng)ABCD中滿足a=Z?的只有選項(xiàng)C.

故選：C

【分析】令1=1根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和求出〃，再利用賦值法計(jì)算可得.

n

【詳解】因?yàn)?2%+1)〃=%+〃1%+々2X2++anx,

令x=l可得4+4+。2++〃〃=(2+1)〃=243,解得〃=5,

令x=0可得%=1,

令X=g可得g+凈爭(zhēng)++/=[2X]1]=32,

所以1+$++墨=31.

故選：B

5.C

【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到tana=-3,化簡(jiǎn)得到

2cos2a+4112。=4cos2a,齊次化代入求值.

tana

71

tana+tan—

2tan。4

【詳解】tanla=——tan即

21-tan2a兀

21I-tantan—

4

2tana_3tana+l

所以(l一tana)(l+tana)2I-tana'

因?yàn)閉￡(一，一：)，所以tanaw(—o,—I),

匚匚…2tana3(tana+l)

所以-------=-----------

I+tana2

故3tan2e+l0tana+3=0,解得tan(z=-3或tana=-；(舍去),

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

c2sin2。八22sinacosa

2cosa+--------=2cosa+------；---------=44cos2a

tanasma

cosa

4cos2a_4_4_2

sin2cr+cos2atan2a+19+15

故選：C

6.B

【分析】做出可行域，后將,+〉2-2》+2轉(zhuǎn)化為距離模型求解即可.

【詳解】如圖，做出可行域，AB,C圍成的陰影部分(含邊界).

2222222

z=x+y-2x+2=(x-l)+y+l=(7(x-l)+(y-0))+1;

而7(x-i)2+(y-0)2表示P(x，y)與M(1，。)之間的距離.

2_竽，則

由圖可以知道,MP的最小距離為M(l,0)到直線x-2y+l=0的距離d=

故選：B.

7.D

【分析】在平行六面體ABC。-AAGA中，^LAB=a,AD=b,AA[=c,利用空間向量的線

性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】在平行六面體A5C。-43cl，中，令A(yù)B=〃，AD=b,AA,=c,

由=AD=朋=1,=ZA.AD=ZBAD=60°,

得|a|=|Z?|=|c|=l,a-b=b-c=a-c

對(duì)于A,顯然AC=a+b-c，BD=—a+z?,

則40&0=(4+萬(wàn)一右＞(—&+萬(wàn))=—笛+62+4.￡:—兒￡:=0,即4C_L8￡),

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

因此直線AC與8。所成的角為90。，A正確；

對(duì)于B,|AC『=(a+6-c)2=a2+Z?+e2—處.右=2,即,。卜0,B正確；

對(duì)于C,={a+b-c)-c=a-c+b-c—c2,即ACLBg,

因此直線AC與B片所成的角為90。，C正確；

對(duì)于D,在平行六面體ABC。-中，四邊形ABC。是菱形，即AC13O,

又AC上BD,ACcAC=C,ACACu平面AC4,于是平面&CA,

又RDu平面A3CD,則平面ACA_L平面ABC。,

連接AC交于點(diǎn)。，在平面4＜黑內(nèi)過(guò)點(diǎn)4作A?，AC于點(diǎn)E,如圖,

由平面ACA一平面ABCD=AC,因此AE，平面ABC。，即直線A。與平面ABC。所成角

為幺C4,

AC=a+b，則,丁=卜+6|2=6+62+2。/=3,即|AC|=G,

1_73

由A4.//B4及選項(xiàng)C知,/A4c=90°,貝!]sin/ACA=D錯(cuò)誤.

1耳一石

故選：D

8.C

【分析】先排甲、乙兩人，再排丙、丁，根據(jù)題意結(jié)合分步乘法計(jì)算原理分析求解.

【詳解】由題意可知：先排甲、乙兩人，因?yàn)橥瑫r(shí)開(kāi)設(shè)了四場(chǎng)講座，所以四場(chǎng)講座是看作是

相同的，

則有C=6種;

再排丙、丁，每人均有2個(gè)選擇，則有2x2=4種;

所以共有6x4=24.

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

故選：c.

9.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理及三角形面積公式求解即得.

【詳解】在ABC中，由正弦定理及c(sinA-sinC)=(〃一，)(sinA+sin5),

得c(“-c)=(a-6)(a+6),a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB="一+-=_L,

2ac2

則sinB=^^,由ABC的面積為史得'csinB=g~ac=^~,解得〃c=l,

24244

由a?+，一〃=雙，得(〃+c)2-〃=3〃c,又a+c=2Z?,因此Z?=l,

令A(yù)C邊上的高為M則!必=正，所以力=3.

242

故選：B

10.C

【分析】對(duì)于A,求出直線MN與x軸的交點(diǎn)，可得拋物線的焦點(diǎn)，從而可求出乙對(duì)于B,

將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得,對(duì)于C,

先求出點(diǎn)。到直線的距離，然后結(jié)合可求出OMN的面積，對(duì)于D,設(shè)線段MN的

中點(diǎn)為Q,求出點(diǎn)。到直線/的距離進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)y=0時(shí)，尤=2,所以拋物線的焦點(diǎn)為(2,0),所以]=2,得p=4,所

以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由選項(xiàng)A可知y2=8x,設(shè)”(占,%)小(%2，%)，

y2=8x

得3/_20彳+12=0,

y=6(x-2)

所以％+%——，

of)

所以|腦V|=%+X2+P=T+4=],所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,點(diǎn)0到直線的距離為1=^^=占，由選項(xiàng)B可知pvw|=￥，

V3+13

所以O(shè)MN的面積為L(zhǎng)x%x^=叵8,所以C正確，

233

對(duì)于D,拋物線的準(zhǔn)線為了=-2,設(shè)線段的中點(diǎn)為Q,則q=T，

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

則點(diǎn)Q到準(zhǔn)線/的距離為Xe+^=y+2=y=!|AW|,

所以以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線/相切，所以以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線/只有一個(gè)交點(diǎn)，所以D

錯(cuò)誤，

故選：C

11.B

【分析】設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為"球半徑為R,由球體積求得球半徑R=3,根

據(jù)邊長(zhǎng)、高、外接球半徑關(guān)系及棱錐體積公式得到零件體積關(guān)于%的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求體積

最大值.

【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為“，高為〃，球半徑為R,

4,

由球的體積為36兀，則§西=36兀，解得R=3,

(/7-3)2=9,Bp|fl2+/z2-6/?=0,故/=_3/+18/7(0<//<6),

/a

二"'=臺(tái)(一9"+36/7)，

由丫'>0得：0<〃<4,此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞增，

由丫'<0得：4ch<6,此時(shí)函數(shù)V單調(diào)遞減，

.??當(dāng)％=4時(shí)，Y取得最大值，且最大值為*(-3x43+18x42)=8宕.

故選：B

12.D

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷人無(wú))的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)g(?=也，利用導(dǎo)數(shù)判斷得

X

Sinn4>5^4">41n5\從而得解.

【詳解】=2%+2-x4-cosx+x2,

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

所以尸（X）=（2x-2-x）ln2+（2尤-sinx）,

^-/z（x）=2x-sinx,貝!]"（x）=2-cosx>0恒成立，

所以當(dāng)尤>0時(shí)，/z（x）>/z（O）=O,HP2x—sinx>0,

又y=2,-2T在（0,+巧上單調(diào)遞增,所以y=2'-2T>2°-2°=0,

所以/'（無(wú)）>0在（0,+“）上恒成立，則fM在（0,+e）上單調(diào)遞增，

構(gòu)造函數(shù)gQ）=g,則8'（無(wú)）=匕蝮，

XX

令g'O）>。，得0<x<e,令g'（x）<。，得x>e,

所以g（x）在（O,e）上單調(diào)遞增，在（e,+8）上單調(diào)遞減，

所以g（兀）>g（4）>g（5）,

即],可得41n7i>7rln4,51n4>41n5,

7145

所以In7t4>in4",5兀ln4>4兀ln5,

所以5如兀4>5比4",51n4">41n5",

即51n/>51114n>4in5"

4II,t

所以，f（51n7i）>/（51n4）>/（41n5）,

即.

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先利用導(dǎo)數(shù)判斷〃元）的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)g（?=.，利用導(dǎo)數(shù)判斷

X

得51n兀4>51n4*>41n5Z是解決本題的關(guān)鍵.

13.受

2

【分析】利用向量的加法結(jié)合數(shù)量積的定義求解.

【詳解】ACCD=^AB+BC^-CD=ABCD+BCCD=0+lxlxcos45=弓.

故答案為：變.

2

【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的位置關(guān)系，通過(guò)圓心距與半徑和與差的關(guān)系列出不等式求解即

可.

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

【詳解】圓(尤-a『+(y-2a-3)2=9上總存在兩個(gè)點(diǎn)至I](2,3)的距離為1,

轉(zhuǎn)化為：以(2,3)為圓心1為半徑的圓與已知圓相交，

可得3-1<，(2-可+(3-2?-3)<3+1,即15/-4.-12<0'

解得一g<a<0或。<a<2,即a的取值范圍是[一|,。][g2].

故答案為

<13191

【分析】由x的取值范圍求出2s+：的取值范圍，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)〃x)=sin(2s+T在

區(qū)間2s+me1,2如+：]上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)樨！?0㈤且口〉0,

所以2cox+Icon+,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=si"2s+5)在區(qū)間(0㈤上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，

足~、"口。71(5717兀](1319

所以￥兩足2G兀+可￡彳，7,即?！瓴?不,

故答案為：

16.白正

X

【分析】令/=；,則r>0,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=bgj與y=。'在(。,+功上有1個(gè)交點(diǎn)，

且交點(diǎn)在y=f上，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出y=log.r與y=儲(chǔ)相切時(shí)的a的值.

2

【詳解】/(x)=logax-[\[a^-loga2=loga^-a,令t=；則7>0,

,

y=\ogat-a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=log“x-(，j)-loga2(a>l)僅有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)y=log/與y=a'(a>l)在(0,+s)上有1個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)閥=log/與y=儲(chǔ)(。>1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線>=/對(duì)稱,

所以函數(shù)y=log.f與y="的交點(diǎn)在直線y=r上,

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

所以當(dāng)直線y=t與，=1。8/和)=。'(“>1)相切時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)切點(diǎn)為(見(jiàn)加)，y'=(logat)'=-^―,y=(")'=3lna(a>l)，

所以“In。-"lna-1,解得機(jī)=?,|；

log。m-dn

所以當(dāng)〃一/時(shí)，、=1。8/與'=儲(chǔ)在(°，+00)上有1個(gè)交點(diǎn)，

SPSlk/(x)=logax-(5/ay-log?2(a>l)僅有一個(gè)零點(diǎn).

故答案為：/

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵

是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=1。8/與〉=儲(chǔ)在(。,+°°)上有1個(gè)交點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為直線y=f與

丫=1。8?1和了="(。>1)相切，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

17.⑴%=2"T

(2)760

【分析】(1)利用｛山為｝是等差數(shù)列和｛S“+%｝是等比數(shù)列列方程組解出出的值，由對(duì)數(shù)的

運(yùn)算性質(zhì)可得｛%｝等比，進(jìn)而即可得｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)由⑴得1=4〃-3,令&=(-1)'如，則G“T+C2“=4(J+D(〃eN*),則數(shù)列｛Q｝

的前10項(xiàng)和北等于4倍數(shù)列｛2｝的前10項(xiàng)和.

【詳解】(1)由題意得21n%=ln6+ln〃3,

所以。2?二〃口3①，

又｛s“+%｝是等比數(shù)列，

所以(邑+4)=(S]+q)(5+4),

因?yàn)?=1,所以(%+2『=2(2+/+%)②，

又a.>0,故由①②聯(lián)立解得。2=2,

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

又｛In4｝是等差數(shù)列，所以In風(fēng)-In%7=In」/522)為定值，即&(〃22)為定值，

an-\an-\

故｛%｝為等比數(shù)列，首項(xiàng)卬=1,公比夕=?=2,

所以｛4｝的通項(xiàng)公式為。"=2"一.

(2)由(1)得%=2"\

2-1-12-1

所以a=log2+logo電"=logo2"+log22"=2n-2+2n-l=4n-3,

即｛〃｝是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，

令Q=(-1)"我，則C2?_x+。2“=一或t+或=?+%.1)(怎-%)=4?+%)(〃eN*),

記｛C｝的前〃項(xiàng)和為北,

所以4=(￡+02)+.+G+。)=4(。+/+…+%)=4x0+3?xl0=760,

數(shù)列仍小的前10項(xiàng)和為760.

18.(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有90%的把握認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”和性別有關(guān)；

【分析】(1)完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算K?的觀測(cè)值并作答.

(2)利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出概率，再利用條件概率公式計(jì)算即得.

【詳解】(1)抽取的80人中，女生與男生的人數(shù)比為1:3,則女生有20人，男生有60人,

男生中“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”占?女生中“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”占:‘則得如下2x2列聯(lián)表:

女生男生合計(jì)

運(yùn)動(dòng)達(dá)人153045

非運(yùn)動(dòng)達(dá)人53035

合計(jì)206080

顯然…與"

3.810>2.706，

所以有90%的把握認(rèn)為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”和性別有關(guān).

(2)由分層抽樣，得抽取的男生人數(shù)為2,女生人數(shù)為1,

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

記“恰有兩人闖關(guān)成功”為事件A,“有女生闖關(guān)成功”為事件B,

3233273321

貝IJ尸(4)=(^)2/(1—1)+2*(1—工)><1']=?，P(AB)=2x(l--)x-x-=-,

1

P(明二4二4

于是尸（B|A）=

P(A)

16

4

所以恰有兩人闖關(guān)成功的條件下，有女生闖關(guān)成功的概率為

19.（1）證明見(jiàn)解析

（2）存在，CF=|

【分析】（1）證面面垂直，先證其中一個(gè)平面內(nèi)的直線AC垂直另一個(gè)平面8C。；

（2）由第一問(wèn)結(jié)論，建立合適的坐標(biāo)系，用空間向量求解即可.

【詳解】（1）取AC中點(diǎn)G,連接EG,因?yàn)镋Z）〃AC,CG=^AC=ED,

所以EG《CD,所以四邊形即CG為平行四邊形，所以EG=OC=百，

又因?yàn)锳G=：AC=1,AE=2,所以AG2+EG2=AE2,所以AGLEG,

又因?yàn)镃D〃EG,所以ACLCD.

因?yàn)锳C/3C,BC,CD是平面8C。內(nèi)的兩條相交直線，所以AC，平面BCD,

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以平面ABC」平面BCD

（2）解法一：

在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作8C的垂線/,因?yàn)锳C,平面BC。，

所以/、CA,CB兩兩相互垂直，故以C為坐標(biāo)原點(diǎn).

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2,0,0）,3（0,2,0）,￡＞（0,1,72）,E（1,1,A/2）,

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)尸(0/0)(0<t<2),使二面角B-AE-F的余弦值為當(dāng),

貝|JAE=(-LL應(yīng))，AB=(-2,2,0),AF=(-2,t,0)

設(shè)平面AEF的法向量%=(%%,zj.

則「2：宵°，不妨令…，所以

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為=(x2,y2,z2)f

AE?n2=-x2+%+V2Z2-0gp<-x2+y2+yflz2=0

AB-n=

2—2X2+2y2=0—2X2+2%=0

不妨令工2=1，%=1，Z2=。,所以%=(1,1,0)

戶相二卜+Z2A/2

所以t2~T~

V2?4L+22+izL

化簡(jiǎn)得：15產(chǎn)-68f+60=0,解得或當(dāng)(舍去)，故打0,■!，()],所以CF=?.

53I5J5

所以存在點(diǎn)凡當(dāng)CP=5時(shí)，二面角3-鉆-F的余弦值為逑.

53

解法二：

取BC、AB的中點(diǎn)。、//,連接?！?,OH,

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

因?yàn)閞>8=￡>C,。是BC中點(diǎn)，所以DO_L8C,

又因?yàn)镺Ou平面BCD,平面ABC，平面BCD且交于BC,所以CO_L平面ABC,

因?yàn)椤肥茿2中點(diǎn)，即明〃AC,所以

故￡>0,OH,8c兩兩互相垂直，

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH，OB，OD為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,—l,0),5(0,1,0),D(0,0,V2),￡(1,0,萬(wàn)).

設(shè)在線段8c上存在點(diǎn)尸(0,大,0)(-1<t<1),使二面角3—他—尸的余弦值為半，

則45=卜1,1,0)，AB=(-2,2,0),AF=(-2,/+l,0).

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為4=a，%,zj,

AE?〃1=()

則不妨令％=2,則%=1+1,1正(-D,所以

AF-^=0艮—:2

%=1+1,2,

又因?yàn)榧础↙AC,OH//-AC,所以所以四邊形。EH。為平行四邊形,

=2=2=

即EH少。，因?yàn)槠矫鍭BC,所以即，平面4BC,

因?yàn)镃Hu平面ABC,所以又因?yàn)锳C=BC,H是A8中點(diǎn)，

所以CF/LAB,因?yàn)镋X,42為平面ABE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面ABE,

故C8是平面ABE的一個(gè)法向量，因?yàn)镃"=(1,1,0),

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

IcosJCH1除叫-「卜+1+2|_20

所以I\'"\4\CH\F—23-

化簡(jiǎn)得：15/—38+7=0,解得r=g或1（舍去），故尸］。，:，0）,所以C歹=1+:=（,

所以存在點(diǎn)憶當(dāng)CP=g時(shí)，二面角B-AE-尸的余弦值為磋.

53

解法三：

取BC、A8的中點(diǎn)O、H,連接。￡>,0H,

因?yàn)椤?gt;3=￡>C,所以￡>O_LBC,又因?yàn)镈Ou平面BCD,

平面ABC1平面BCD且交于BC,

所以O(shè)O_L平面48c.

因?yàn)镋O〃』AC,OH//-AC,所以。H”>E,所以四邊形DE”。為平行四邊形，

=2=2=

即EH”>。,因?yàn)?，平面ABC,所以EHL平面ABC,

因?yàn)镃Hu平面ABC,所以EHLCH,又因?yàn)锳C=BC,H是AB中點(diǎn)，

所以CHLAB,因?yàn)镋H,AB為平面ABE內(nèi)的兩條相交直線，所以CH，平面ABE,

假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)F,使二面角3—AE—尸的余弦值為逋，

3

過(guò)尸作于點(diǎn)M,則平面ABE,

過(guò)M作MN_LAE于點(diǎn)N,連接NF,

則ZRVM為二面角3-AE-尸的平面角.

設(shè)FB=2x（O<，Wl）,貝ljFM=BM=0x，AM=2近-應(yīng)X，所以M/=2—X,

在用FMN中'NF=y/NM2+FM2=yJ?>x1-4x+4-

MN2-x2A/2

所以cosNFW=——-y—

NF瘍―4x+43

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

化簡(jiǎn)得15尤2+4尤一4=0,解得x=|或一（舍去），即=所以Cb=2-=

所以存在點(diǎn)凡當(dāng)CP=5時(shí)，二面角3-AE-尸的余弦值為逑

53

20.⑴工+）?=［；

4

（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出軌跡C的方程.

（2）（i）設(shè)出點(diǎn)P,Q,T的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算即得；（ii）聯(lián)立直線PQ與軌跡C

的方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合（i）的結(jié)論計(jì)算即得.

【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為廣，圓巴：（x-6y+y2=16的圓心鳥（6,0）,半徑尺=4,

顯然點(diǎn)￡（-百,0）在圓F之內(nèi)，則|班|=R—r=4-|町|,

于是|崢|+慳閭=4>24=閨局,

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以耳，弱為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,

長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，=2,半焦距c=g,則短半軸長(zhǎng)人而二？=1，

所以軌跡C的方程為工+尸=1.

4

8(2,0),

m2%

3,則根=

%-2'

即才=；（4一才），

L，為定值.

所以%AP，^AQ

3(x；-4)12

x=ty+n

(ii)由消去工得。2+4)y2+2tny+n2-4=0,

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

2

A=4?〃2-4(5+4)(/-4)=16(產(chǎn)+4-n)>0,

由⑴得M+%=一尋彳，必為=￡：，又心/>,心2=一白，

IIT-Z'十41乙

劇人.3^=________弊________=_____________緡____________7

'%+2X2+2(7+〃+2乂%+〃+2)產(chǎn)%%+"〃+2)(必+%)+(〃+2y

“2-4

產(chǎn)+4n2-41

解得九=1,滿足A>0,

“2-42產(chǎn)〃(“+2)4^7+16^+16_-12

+(”+2y

產(chǎn)+4d+4

因此直線PQ的方程為x=9+l,

所以直線尸。過(guò)定點(diǎn)(1,0).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：

①“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性

證明；

②“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲

線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)

的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

③求證直線過(guò)定點(diǎn)(%％),常利用直線的點(diǎn)斜式方程y-%=耳左-不)或截距式y(tǒng)=履+萬(wàn)來(lái)

證明.

21.(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

⑶證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)尸(無(wú))=，-l=E^,后按照aVO,。>0分類討論即可；

(2)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；

(3)由(1)的結(jié)論可以得到ln(x+l)2*.令x=：,得到ln[+l]>止!"，

即二，結(jié)合數(shù)列累加法，可得^^,工+―二+—二++，-.

由(2)知，sinx<x,每項(xiàng)進(jìn)行放縮即可證明.

【詳解】⑴函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?0,+孫/(無(wú))=11=二^,

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

①當(dāng)a40時(shí)，/''（HvO恒成立,

所以函數(shù)/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+力）；

②當(dāng)口>0時(shí)，由/''(%)=0,得x=a,

當(dāng)x?0,a)時(shí)，/,(%)>0；當(dāng)尤e(<7,+8)時(shí)，/,(x)<0.

所以函數(shù)/（尤）的單調(diào)遞增區(qū)間為（。,4）,單調(diào)遞減區(qū)間為（。,+8）.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,+力）；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/'（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（O,a）,單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)g(x)=sinx-x,.,.g'(x)=cosx-lW0恒成立,

二g(x)在R上單調(diào)遞減,又〃eN*,,0<［1"g''

(3)由(1)知，當(dāng)a=l時(shí)，f(x)<0,即lnx<x-l,In—<--1,

XX

1V—1x

lnx>l——=-----,.\ln(x+l)>------(當(dāng)x=0時(shí)“=”成立).

xxx+1

人1z*、,|1.?1in+11

令1=一(neN),?*-In—+1>-----,即13rlIn------>------,

n\nJn+1nn+1

1

>~n+l，從而In（九+2）—+

11

ln(n+3)-ln(n+2)>----ln(2n)—ln(2n—1)>——

〃+32n

累力口可得［n(2〃)一