5.1.1變化率問(wèn)題第五章§5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義1.通過(guò)實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均速度過(guò)渡到瞬時(shí)速度的過(guò)程.2.理解割線的斜率與切線的斜率之間的關(guān)系.3.體會(huì)極限思想.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，大家知道，在高速路上經(jīng)常看到“區(qū)間測(cè)速”這樣的提醒，這其實(shí)是在提醒司機(jī)安全駕駛，其實(shí)它測(cè)速的方式是在固定的路程上，看你用了多少時(shí)間，從而達(dá)到測(cè)速的目的；大家也經(jīng)常能聽(tīng)到家長(zhǎng)們討論車輛油耗的問(wèn)題，你的車幾個(gè)油？這里所說(shuō)的幾個(gè)油實(shí)際上是汽車百公里的油耗，不過(guò)有些車上可以查看汽車的瞬時(shí)油耗，今天我們就來(lái)研究生活中的變化率問(wèn)題.導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、平均速度二、瞬時(shí)速度三、拋物線的切線的斜率內(nèi)容索引一、平均速度問(wèn)題1

在高臺(tái)跳水中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h與起跳后的時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，根據(jù)上述探究，你能求該運(yùn)動(dòng)員在0≤t≤0.5,1≤t≤2,0≤t≤

內(nèi)的平均速度嗎？雖然運(yùn)動(dòng)員在0≤t≤

這段時(shí)間里的平均速度是0m/s，但實(shí)際情況是，該運(yùn)動(dòng)員仍在運(yùn)動(dòng)，可以說(shuō)明平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).(2)比較(1)中兩個(gè)平均速度的大小，說(shuō)明其幾何意義.反思感悟求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度的主要步驟(1)先計(jì)算位移的改變量s(t2)－s(t1)，(2)再計(jì)算時(shí)間的改變量t2－t1，√二、瞬時(shí)速度問(wèn)題2

我們也發(fā)現(xiàn)了高速路上區(qū)間測(cè)速的弊端，因?yàn)槿绻橙税l(fā)現(xiàn)超速了，他只需踩下剎車，讓車輛低速行駛一段時(shí)間即可，你認(rèn)為，我們應(yīng)該如何改進(jìn)高速路上的區(qū)間測(cè)速問(wèn)題？我們把函數(shù)值的增量f(t2)－f(t1)記為Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自變量的增量t2－t1記為Δt，即Δt＝t2－t1，這里的Δt可以看成是t1的一個(gè)增量，可用t1＋Δt來(lái)表示t2，我們發(fā)現(xiàn)如果時(shí)間的增量Δt無(wú)限小，此時(shí)在極短的時(shí)間內(nèi)的平均速度就可近似等于在時(shí)間t＝t1的瞬時(shí)速度，這就需要用到我們數(shù)學(xué)中的“極限”思想，意思就是讓?duì)無(wú)限趨近于0.知識(shí)梳理1.瞬時(shí)速度：物體在

的速度稱為瞬時(shí)速度.2.瞬時(shí)速度的計(jì)算：設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與位移的函數(shù)關(guān)系式為y＝h(t)，則物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為

.3.瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系：從物理角度看，當(dāng)時(shí)間間隔|Δt|無(wú)限趨近于0時(shí)，平均速度

就無(wú)限趨近于t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度.注意點(diǎn)：Δt可正，可負(fù)，但不能為0.某一時(shí)刻例2

某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度.即物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.延伸探究1.若本例中的條件不變，試求物體的初速度.解求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，＝1＋Δt，即物體的初速度為1m/s.解設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.2.若本例中的條件不變，試問(wèn)物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4s時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s.反思感悟求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).跟蹤訓(xùn)練2

一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s(t)＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s，求常數(shù)a的值.解質(zhì)點(diǎn)M在t＝2s時(shí)的瞬時(shí)速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時(shí)變化率.∵質(zhì)點(diǎn)M在t＝2附近的平均變化率為即a＝2.三、拋物線的切線的斜率問(wèn)題3

前面我們從物理的角度研究了瞬時(shí)速度的問(wèn)題，它反映到我們幾何上是什么意思？知識(shí)梳理1.切線：設(shè)P0是曲線上一定點(diǎn)，P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線P0T稱為曲線在點(diǎn)P0處的切線.2.切線的斜率：設(shè)P0(x0，y0)是曲線y＝f(x)上一點(diǎn)，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0(x0，y0)處的切線的斜率為k0＝

.3.切線的斜率與割線的斜率的關(guān)系：從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Δx|無(wú)限變小時(shí)，點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0，于是割線PP0無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T，這時(shí)，割線PP0的斜率k無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T的斜率k0.注意點(diǎn)：極限的幾何意義：曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率.例3

求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(diǎn)(1,2)處的切線方程.所以切線的方程為y－2＝0×(x－1)，即y＝2.延伸探究本例函數(shù)不變，求與2x－y＋4＝0平行的該曲線的切線方程.＝2x0－2＋Δx，故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切點(diǎn)為(2,3)，所求切線方程為2x－y－1＝0.反思感悟(1)求拋物線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟(2)求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程需注意，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，需另設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo).跟蹤訓(xùn)練3

求拋物線f(x)＝x2－x在點(diǎn)(2,2)處的切線方程.解f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2，則切線方程為y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.1.知識(shí)清單：(1)平均速度.(2)瞬時(shí)速度.(3)曲線在某點(diǎn)處的切線方程.2.方法歸納：極限法、定義法.3.常見(jiàn)誤區(qū)：對(duì)割線的斜率與切線的斜率之間的關(guān)系理解不到位.課堂小結(jié)隨堂演練12341.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1,2]內(nèi)的平均速度為A.2 B.3 C.－2 D.－3√12342.一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝t2＋2t＋3，則該物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為A.4 B.5 C.6 D.7√12343.一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝－t2＋2t，則t＝0時(shí)，其速度為A.－2 B.－1 C.0

D.2所以當(dāng)t＝0時(shí)，其速度為2.√12344.拋物線y＝x2＋4在點(diǎn)(1,5)處的切線的斜率為_(kāi)____.2課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.已知拋物線y＝3x－x2在x0＝2處的增量為Δx＝0.1，則

的值為A.－0.11 B.－1.1 C.3.89D.0.2912345678910111213141516解析∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，√123456789101112131415163.已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖象上兩點(diǎn)A，B，且xA＝1，xB＝1.1，則函數(shù)f(x)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的平均變化率為A.4 B.4x C.4.2 D.4.02√12345678910111213141516√解析由瞬時(shí)速度與平均速度的關(guān)系可知選C.1234567891011121314155.已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則在點(diǎn)A處的切線斜率為A.4 B.16 C.8 D.216√123456789101112131415166.(多選)已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，則A.該物體在1≤t≤3時(shí)的平均速度是28B.該物體在t＝4時(shí)的瞬時(shí)速度是56C.該物體位移的最大值為43D.該物體在t＝5時(shí)的瞬時(shí)速度是70√√√12345678910111213141516解析該物體在1≤t≤3時(shí)的平均速度是物體的最大位移是7×52＋8＝183，C錯(cuò)誤；123456789101112131415167.一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度是_____.3123456789101112131415168.若拋物線f(x)＝4x2在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率為8，則x0＝_____.1解得x0＝1.123456789101112131415169.某物體按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的單位：m)的規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)，求自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到4s時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度和4s時(shí)的瞬時(shí)速度.12345678910111213141516解自運(yùn)動(dòng)開(kāi)始到ts時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的平均速度由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.所以4s時(shí)物體的瞬時(shí)速度為26m/s.1234567891011121314151610.曲線f(x)＝x2上哪一點(diǎn)處的切線滿足下列條件？(1)平行于直線y＝4x－5；解設(shè)P(x0，y0)是滿足條件的點(diǎn)，曲線f(x)＝x2在點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率為∵切線與直線y＝4x－5平行，∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是滿足條件的點(diǎn).12345678910111213141516(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；12345678910111213141516(3)傾斜角為135°.解因?yàn)榍芯€的傾斜角為135°，所以其斜率為－1，即2x0＝－1，123456789101112131415綜合運(yùn)用16√12345678910111213141516解析設(shè)直線O′A，AB，BC的斜率分別為kO′A，kAB，kBC，1234567891011121314151612.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1√解析由題意可知解得a＝1，又(0，b)在切線上，∴b＝1.1234567891011121314151613.A，B兩機(jī)關(guān)開(kāi)展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開(kāi)始后兩機(jī)關(guān)的用電量W1(t)，W2(t)與時(shí)間t(天)的關(guān)系如圖所示，則一定有A.兩機(jī)關(guān)節(jié)能效果一樣好B.A機(jī)關(guān)比B機(jī)關(guān)節(jié)能效果好C.A機(jī)關(guān)的用電量在[0，t0]上的平均變化率比B機(jī)關(guān)的用電量在[0，t0]上

的平均變化率大D.A機(jī)關(guān)與B機(jī)關(guān)自節(jié)能以來(lái)用電量總是一樣大√解析由題圖可知，A，B兩機(jī)關(guān)用電量在[0，t0]上的平均變化率都小于0，由平均變化率的幾何意義知，A機(jī)關(guān)用電量在[0，t0]上的平均變化率小于B機(jī)關(guān)的平均變化率，從而A機(jī)關(guān)比B機(jī)關(guān)節(jié)能效果好.123456789101112131415161234567891011121314151614.函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2，則t＝_____.5解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2，即t2－t－6＝2t＋4，從而t2－