4.2超幾何分布第六章概率北師大版

數學

選擇性必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.通過具體實例,了解超幾何分布的概念及其均值.2.會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點

超幾何分布1.定義一般地,設有N件產品,其中有M(M≤N)件次品.從中任取

(n≤N)件產品,用X表示取出的n件產品中次品的件數,那么P(X=k)=

,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M},其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+.公式中的k可以取的最小值為max{0,n-(N-M)},而不一定是0.

若一個隨機變量X的分布列由上式確定,則稱隨機變量X服從參數為N,M,n的

.

n超幾何分布

名師點睛對超幾何分布的理解(1)在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成,如“男生,女生”“正品,次品”“優,劣”等;(2)在產品抽樣中,一般為不放回抽樣;(3)其概率計算可結合古典概型求得.2.超幾何分布的均值一般地,當隨機變量X服從參數為N,M,n的超幾何分布時,其均值為思考辨析已知在10件產品中有4件次品,分別采取有放回和不放回方式隨機抽取3件,設抽取的3件產品中次品數為X,試寫出當X=2時對應的概率.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)超幾何分布的總體里只有兩類物品.(

)(2)超幾何分布的模型是放回抽樣.(

)(3)超幾何分布與二項分布的期望值都為p.(

)√××2.設袋中有80個紅球、20個白球,若從袋中任取10個球,則其中恰有6個紅球的概率為(

)D解析

取出的紅球個數服從參數為N=100,M=80,n=10的超幾何分布.由超幾何分布的概率公式,知從中取出的10個球中恰有6個紅球的概率為3.[人教A版教材習題]舉出兩個服從超幾何分布的隨機變量的例子.解(1)假設某魚池中僅有鯉魚和草魚兩種魚,其中鯉魚200條,草魚40條,從魚池中任意取出5條魚,這5條魚中包含草魚的條數X服從超幾何分布.(2)現有甲、乙兩種品牌的電視機共52臺,其中甲品牌有21臺,從52臺電視機中選出5臺送給福利院,選出的甲品牌的電視機臺數X服從超幾何分布.(答案不唯一)4.[人教A版教材習題]學校要從12名候選人中選4名同學組成學生會,已知有4名候選人來自甲班.假設每名候選人都有相同的機會被選到,求甲班恰有2名同學被選到的概率.解設選到的4人中甲班同學的人數為X,則X服從超幾何分布,且N=12,M=4,n=4,重難探究·能力素養速提升探究點一超幾何分布的判斷【例1】

下列問題中,判斷哪些屬于超幾何分布問題,并說明理由.(1)拋擲三枚骰子,所得向上的數是6的骰子的個數記為X,求X的概率分布;(2)有一批種子的發芽率為70%,任取10顆種子做發芽試驗,把試驗中發芽的種子的個數記為X,求X的概率分布;(3)盒子中有3個紅球、4個黃球、5個藍球,任取3個球,把不是紅色的球的個數記為X,求X的概率分布;(4)某班級有男生25人,女生20人,選派4名學生參加學校組織的活動,班長必須參加,其中女生人數記為X,求X的概率分布;(5)現有100臺手機未經檢測,抽取10臺送檢,把檢驗結果為不合格的手機的個數記為X,求X的概率分布.解

(1)(2)中樣本沒有分類,不是超幾何分布問題.(3)(4)符合超幾何分布的特征,樣本都分為兩類.隨機變量X表示某類樣本被抽取的件數,是超幾何分布.(5)中沒有給出不合格品數,X不服從超幾何分布.規律方法

判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應看三點:(1)總體是否可分為兩類明確的對象;(2)是否為不放回抽樣;(3)隨機變量是否為樣本中一類個體的個數.變式訓練1下列隨機變量中,服從超幾何分布的有

.(填序號)

①在10件產品中有3件次品,一件一件的不放回地任意取出4件,記取到的次品數為X;②從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數;③一名學生騎自行車上學,途中有6個交通崗,記此學生遇到紅燈的次數為隨機變量X.①②

解析

根據超幾何分布的定義可知①中隨機變量X服從超幾何分布.②中隨機變量X服從超幾何分布.而③顯然不能看作一個不放回抽樣問題,故隨機變量X不服從超幾何分布.探究點二超幾何分布的概率及其分布列【例2】

袋中有4個紅球,3個黑球,這些球除顏色外完全相同,從袋中隨機抽取球,設取到一個紅球得2分,取到一個黑球得1分,從袋中任取4個球.(1)求得分X的分布列;(2)求得分大于6分的概率.解

(1)從袋中任取4個球的情況為:1紅3黑,2紅2黑,3紅1黑,4紅,共四種情況,得分分別為5分,6分,7分,8分,故X的可能取值為5,6,7,8.變式探究在本例中,設X1為取得紅球的分數之和,X2為取得黑球的分數之和,X=|X1-X2|,求X的分布列.解

從袋中任取4個球的情況為1紅3黑,X1=2,X2=3,X=1;2紅2黑,X1=4,X2=2,X=2;3紅1黑,X1=6,X2=1,X=5;4紅,X1=8,X2=0,X=8.規律方法

求超幾何分布的分布列的步驟

變式訓練2現有10張獎券,其中8張1元,2張5元,從中任取3張,求所得金額的分布列.探究點三超幾何分布的綜合應用【例3】

為推動乒乓球運動的發展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協會”,求事件A發生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列,并求EX.規律方法

解決超幾何分布問題的兩個關鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時可以直接利用公式求解,但不能機械地記憶公式.(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X=k),從而求出X的分布列.變式訓練3[2024四川綿陽階段檢測]某班組織知識競賽,題目共有10道,隨機抽取3道讓某人回答,規定至少要答對其中2道才能通過初試,已知他只能答對其中6道,試求:(1)抽到他能答對題目數的分布列;(2)他能通過初試的概率.解

(1)設隨機抽出的3道題目他能答對的道數為X,則X的取值為0,1,2,3,X服從超幾何分布,學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314A級必備知識基礎練1.[探究點二](多選題)已知在10件產品中可能存在次品,從中抽取2件檢查,其次品數為ξ,已知P(ξ=1)=,則這10件產品中的次品數可能為(

)A.8 B.6 C.4 D.2AD12345678910111213142.[探究點二]在15個村莊中有7個村莊交通不方便,現從中任意選10個村莊,用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數,下列概率等于

的是(

)A.P(X=2) B.P(X≤2)C.P(X=4) D.P(X≤4)C12345678910111213143.[探究點一](多選題)

袋中有10個大小相同的球,其中6個黑球,4個白球,現從中任取4個球,取出一個黑球記2分,取出一個白球記1分,則下列結論中正確的是(

)A.取出的白球個數X服從二項分布B.取出的黑球個數Y服從超幾何分布C.取出2個白球的概率為D.取出球總得分最大的概率為BD123456789101112131412345678910111213144.[探究點二]盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球,其中紅色球3個,黃色球2個.若從中隨機取出2個球,則所取出的2個球顏色不同的概率等于

.

12345678910111213145.[探究點二]數學老師從6道習題中隨機抽3道讓同學檢測,規定至少要解答正確2道題才能及格.某同學只能求解其中的4道題,則他能及格的概率是

.

12345678910111213146.[探究點三]某大學志愿者協會有6名男同學,4名女同學.在這10名同學中,3名同學來自數學學院,其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學,到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率;(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數,求隨機變量X的分布列及均值.1234567891011121314(2)依據條件,隨機變量X服從超幾何分布,其中N=10,M=4,n=3,且隨機變量X的可能取值為0,1,2,3.12345678910111213147.某校從學生會中的10名女生干部與5名男生干部中隨機選取6名學生干部組成“文明校園督察隊”,則組成4女2男的“文明校園督察隊”的概率為(

)B級關鍵能力提升練C12345678910111213148.一個盒子里裝有相同大小的10個黑球、12個紅球、4個白球,從中任取2個,其中白球的個數記為X,則下列概率等于

的是(

)A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X=1) D.P(X=2)B12345678910111213149.口袋中有相同的黑色小球n個,紅、白、藍色的小球各一個,從中任取4個小球.ξ表示當n=3時取出黑球的數目,η表示當n=4時取出黑球的數目.則下列結論成立的是(

)A.Eξ<Eη,Dξ<Dη B.Eξ>Eη,Dξ<DηC.Eξ<Eη,Dξ>Dη D.Eξ>Eη,Dξ>DηA1234567891011121314123456789101112131410.一個盒子里裝有大小相同的紅球、白球共30個,其中白球4個.從中任取2個,則概率為

的事件是(

)A.沒有白球

B.至少有一個白球C.至少有一個紅球

D.沒有紅球B123456789101112131411.已知在12件產品中可能存在次品,從中抽取2件檢測,設次品數為ξ.若P(ξ=1)=,且該產品的次品率不超過40%,則這12件產品的次品率為

.

25%

123456789101112131412.一個口袋里裝有大小相同的5個小球,其中紅色有2個,其余3個顏色各不相同.現從中任意取出3個小球,其中恰有2個小球顏色相同的概率是

;若變量X為取出的三個小球中紅球的個數,則X的均值EX=

.

123456789101112131413.[2024山西大同月考]天舟二號貨運飛船在成功發射約8小時后,中國航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演,天舟二號貨運飛船與中國空間站天和核心艙順利實現了快速交會對接.據航天科技集團五院的專家介紹,此次天舟貨運飛船攜帶的物資可以供3名航天員在太空中生活3個月,這將創造中國航天員