2024屆蘭州市重點中學中考數學最后一模試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1.反比例函數y=—的圖象如圖所示，以下結論：①常數m<-l；②在每個象限內，y隨x的增大而增大；③若點

x

A(-1,h),B(2,k)在圖象上，則h<k；④若點P(x,y)在上，則點P，(-x,-y)也在圖象.其中正確結論的個數是()

2C.3D.4

2.將拋物線y=x2先向左平移2個單位，再向下平移3個單位后所得拋物線的解析式為()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2-3C.y=(x+2)2+3D.y=(x+2)2-3

3.如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在

OE的位置上，測得AD長為0.9米，則梯子頂端A下落了()

A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米

4.一次函數y=(m—l)x+(m—2)的圖象上有點M(X],yJ和點N(X2，y2),且％AX2,下列敘述正確的是()

A.若該函數圖象交y軸于正半軸，則%<丫2

B.該函數圖象必經過點(-1,-1)

C.無論m為何值，該函數圖象一定過第四象限

D.該函數圖象向上平移一個單位后，會與x軸正半軸有交點

5.如圖,折疊矩形紙片ABCD的一邊AD,使點D落在BC邊上的點F處，若AB=8,BC=104!UCEF的周長為()

D

7.如圖，在。A5CD中，AC,5。相交于點0,點￡是04的中點，連接并延長交AD于點凡已知SAAE*4,

A尸1

則下列結論：①一=-;②SABCE=36；③SAABE=12；@AAEF-AACD,其中一定正確的是（）

FD2

A.①②③④B.①④C.②③④D.①②③

8.根據如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值是4或7時，輸出的y值相等，則b等于（）

A.9B.7C.-9D.-7

9.如圖，AABC為等邊三角形，要在AABC外部取一點。，使得AABC和ADBC全等，下面是兩名同學做法：（）

甲：①作NA的角平分線/；②以3為圓心，長為半徑畫弧，交/于點。，點。即為所求；

乙：①過點3作平行于AC的直線/；②過點。作平行于AB的直線M，交/于點。，點。即為所求.

A.兩人都正確B.兩人都錯誤C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確

10.若|a|=-a,貝!]a為（）

A.a是負數B.a是正數C.a=0D.負數或零

11.已知，如圖，AB是。O的直徑，點D,C在。O上，連接AD、BD、DC、AC,如果/BAD=25。，那么NC的

度數是（）

A.75°B.65°C.60°D.50°

12.下列各數中，相反數等于本身的數是（）

A.-1B.0C.1D.2

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如果a是不為1的有理數,我們把L稱為a的差倒數如：2的差倒數是」=-1,-1的差倒數是廣工=:，已

1一〃1-21-（一1）L

知4=4,出是對的差倒數，的是的的差倒數，％是。3的差倒數，…，依此類推，則。2019=.

14.如圖，AB,AC分別為。。的內接正六邊形，內接正方形的一邊，5c是圓內接〃邊形的一邊，則"等于.

15.圓錐的底面半徑為3,母線長為5,該圓錐的側面積為.

16.若分式之的值為0,則a的值是.

17.已知x+y=G9="，貝（Jx2y+xy2的值為.

18.已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長為6cm,則它的側面展開圖的面積等于.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“官兵分布”問題：“一千官軍一千布，一官四JE無零數，四軍才

分布一請問官軍多少數.”其大意為：今有1000官兵分1000匹布，1官分4匹，4兵分1匹.問官和兵各幾人？

20.（6分）一道選擇題有A3,。,。四個選項.

（1）若正確答案是4,從中任意選出一項，求選中的恰好是正確答案A的概率；

（2）若正確答案是A,8,從中任意選擇兩項，求選中的恰好是正確答案A,3的概率.

21.（6分）如圖，在平面直角坐標比Qy中，正比例函數y=丘的圖象與反比例函數》=—的圖象都經過點A（2,-2）.

（1）分別求這兩個函數的表達式;

（2）將直線Q4向上平移3個單位長度后與y軸交于點3,與反比例函數圖象在第四象限內的交點為C,連接45,

AC,求點C的坐標及△ABC的面積.

22.（8分）如圖，A（4,3）是反比例函數y='在第一象限圖象上一點，連接OA,過A作AB〃x軸，截取AB=OA

X

（B在A右側），連接OB,交反比例函數y=&的圖象于點P.求反比例函數y=K的表達式；求點B的坐標；求小OAP

xx

23.（8分）如圖，點E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF與DE交于點G,求證：GE=GF.

若甲隊單獨做，恰好在規定日期完成，若乙隊單獨做要超過規定日期3天完成；現在先由

甲、乙兩隊合做2天后，剩下的工程再由乙隊單獨做，也剛好在規定日期完成，問規定日期多少天?

25.（10分）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下:

今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數，物價各幾何?

譯文為:

現有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格

是多少？

請解答上述問題.

26.（12分）為了提高服務質量，某賓館決定對甲、乙兩種套房進行星級提升，已知甲種套房提升費用比乙種套房提

升費用少3萬元，如果提升相同數量的套房，甲種套房費用」為625萬元，乙種套房費用為700萬元.

(1)甲、乙兩種套房每套提升費用各多少萬元？

(2)如果需要甲、乙兩種套房共80套，市政府籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于

甲、乙種套房星級提升，市政府對兩種套房的提升有幾種方案？哪一種方案的提升費用最少？

(3)在(2)的條件下，根據市場調查，每套乙種套房的提升費用不會改變，每套甲種套房提升費用將會提高a萬元

(a>0),市政府如何確定方案才能使費用最少？

27.(12分)如圖，某人站在樓頂觀測對面的筆直的旗桿AB,已知觀測點C到旗桿的距離CE=8逝m,測得旗桿的

頂部A的仰角NECA=30。，旗桿底部B的俯角NECB=45。，求旗桿AB的高.

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、B

【解析】

根據反比例函數的圖象的位置確定其比例系數的符號，利用反比例函數的性質進行判斷即可.

【詳解】

解：?.?反比例函數的圖象位于一三象限，

?*.m>0

故①錯誤；

當反比例函數的圖象位于一三象限時，在每一象限內，y隨x的增大而減小，故②錯誤；

將A(-l,h),B(2,k)代入y=—，得到h=-m,2k=m,

X

Vm>0

Ah<k

故③正確；

mm

將P（x,y）代入y=一得到m=xy,將P，（-x,-y）代入y=—得到m=xy,

XX

故P（x,y）在圖象上，貝!|P0x,-y）也在圖象上

故④正確，

故選：B.

【點睛】

本題考查了反比例函數的性質，牢記反比例函數的比例系數的符號與其圖象的關系是解決本題的關鍵.

2、D

【解析】

先得到拋物線y=x2的頂點坐標（0,0）,再根據點平移的規律得到點（0,0）平移后的對應點的坐標為（-2,-1）,然

后根據頂點式寫出平移后的拋物線解析式.

【詳解】

解：拋物線y=x2的頂點坐標為（0,0）,把點（0,0）先向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到對應點的坐標

為（-2,-1）,所以平移后的拋物線解析式為丫=（x+2）與I.

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次函數與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利

用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐

標，即可求出解析式.

3、B

【解析】

試題分析：要求下滑的距離，顯然需要分別放到兩個直角三角形中，運用勾股定理求得AC和CE的長即可.

解：在RtZkACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=1,

；.AC=2,

VBD=0.9,

，CD=2.1.

在RtAECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.1M.19,

AEC=0.7,

.\AE=AC-EC=2-0.7=1.2.

故選B.

考點：勾股定理的應用.

4、B

【解析】

利用一次函數的性質逐一進行判斷后即可得到正確的結論.

【詳解】

解：一次函數y=(m—l)x+(m—2)的圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上，則m—1>0,m—2>0,若x^x2,

則丫1>丫2,故A錯誤；

把x=—1代入y=(m—+2)得，y=-l,則該函數圖象必經過點(—1,-1),故B正確；

當m>2時，m-l>0,m—2>0,函數圖象過一二三象限，不過第四象限，故C錯誤；

函數圖象向上平移一個單位后，函數變為y=(m—l)x+(m—1),所以當y=0時，x=—1,故函數圖象向上平移一

個單位后，會與x軸負半軸有交點，故D錯誤，

故選B.

【點睛】

本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象與幾何變換，解題的關鍵是熟練掌握一次函數的性質，靈活

應用這些知識解決問題，屬于中考常考題型.

5、A

【解析】

解：?.?四邊形ABCD為矩形，

.\AD=BC=10,AB=CD=8,

?.?矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，

/.AF=AD=10,EF=DE,

在RtAABF中，

VBF=^AF2-AB2=6,

.\CF=BC-BF=10-6=4,

/.△CEF的周長為：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=1.

故選A.

6、B

【解析】

如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13,BC=24,

過A作AD_LBC于D,貝！|BD=12,

在R3ABD中，AB=13,BD=12,則,

AD=VAB2-BD2=5?

,,AD5

故12心防=立

故選B.

【點睛】考查的是銳角三角函數的定義、等腰三角形的性質及勾股定理.

7、D

【解析】

*1

在。ABC。中，AO=-AC,

2

點E是04的中點，

1

AE=-CE,

3

AD//BC,

△AFEs/\CBE,

AF_AE

3C-CE-3'

AD=BC,

1

AF=-AD,

3

AF1工乙…一小

---=—；故①正確;

FD2

SAEF/AF21

SBCEBC9

SA5CE=36；故②正確;

EF_AE.

~BE~~CE_3,

AEF_1

SABE3

SAABE=12,故③正確;

,：BF不平行于CO,

二AAEF與小ADC只有一個角相等，

.?.△AE尸與△AC。不一定相似，故④錯誤，故選D.

8、C

【解析】

先求出x=7時y的值，再將X=4、y=-l代入y=2x+b可得答案.

【詳解】

當x=7時,y=6-7=-l,

當x=4時,y=2x4+b=-l,

解得：b=-9,

故選C.

【點睛】

本題主要考查函數值，解題的關鍵是掌握函數值的計算方法.

9、A

【解析】

根據題意先畫出相應的圖形，然后進行推理論證即可得出結論.

【詳解】

甲的作法如圖一：

,/△ABC為等邊三角形，AD是44c的角平分線

：.ZBEA=90°

ZBEA+ZBED=180°

ZBED=9Q°

:.ZBEA=ZBED=90°

由甲的作法可知，AB=BD

:.ZABC=ZDBC

AB=BD

在ABC和DCB中，＜NABC=NDBC

BC=BC

ABC=.DCB(SAS)

故甲的作法正確；

乙的作法如圖二：

圖二

BD//AC,CD//AB

ZACB=ZCBD,ZABC=ZBCD

ZABC=ZBCD

在ABC和DCB中，＜BC=BC

ZACB=ZCBD

，ABC=^DCB(ASA)

故乙的作法正確；

故選：A.

【點睛】

本題主要借助尺規作圖考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

10、D

【解析】

根據絕對值的性質解答.

【詳解】

解:當a30時，|a|=-a,

；.|a|=-a時,a為負數或零，

故選D.

【點睛】

本題考查的是絕對值的性質，①當a是正有理數時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數時，a的絕對值是它的

相反數-a；③當a是零時，a的絕對值是零.

11、B

【解析】

因為AB是。。的直徑，所以求得NADB=90。，進而求得NB的度數，又因為NB=NC,所以NC的度數可求出.

解：；AB是。。的直徑，

/.ZADB=90°.

；/BAD=25°,

.\ZB=65°,

???NC=NB=65。（同弧所對的圓周角相等）.

故選B.

12、B

【解析】

根據相反數的意義，只有符號不同的數為相反數.

【詳解】

解：相反數等于本身的數是L

故選B.

【點睛】

本題考查了相反數的意義.注意掌握只有符號不同的數為相反數，1的相反數是L

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

3

13、一?

4

【解析】

利用規定的運算方法，分別算得ai,a2,a3,a4…找出運算結果的循環規律，利用規律解決問題.

【詳解】

Vai=4

111

32=---------=---,

\-ax1-43

1_1_3

a3=l-%1-1-1］履

1*=4

H4=1-d^

1--

4

數列以4,-1/；3三個數依次不斷循環，

720194-3=673,

._3

??32019=33=-9

4

3

故答案為：一?

4

【點睛】

此題考查規律型：數字的變化類，倒數，解題關鍵在于掌握運算法則找到規律.

14、12

【解析】

連接AO,BO,CO,如圖所示：

TAB、AC分別為。O的內接正六邊形、內接正方形的一邊,

.\ZAOB=^^=60°,ZAOC=^^=90°,

604

.,.ZBOC=30°,

故答案為12.

15、15K

【解析】

試題分析：利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和

扇形的面積公式求解.圓錐的側面積=L.2R?3?5=15TT.

2

故答案為15n.

考點：圓錐的計算.

16、1.

【解析】

試題分析：根據分式的值為0的條件列出關于a的不等式組，求出a的值即可.

試題解析：?.?分式一的值為0,

口?3

??，

(二?;=。

解得a=l.

考點：分式的值為零的條件.

17、372

【解析】

分析：因式分解，把已知整體代入求解.

詳解：x2j+xj2=xy(x+y)=*=3亞.

點睛:因式分解的方法：(1)提取公因式法.nia+,"Z>+/nc=?i(a+5+c).

(2)公式法:完全平方公式，平方差公式.

(3)十字相乘法.

因式分解的時候，要注意整體換元法的靈活應用，訓練將一個式子看做一個整體，利用上述方法因式分解的能力.

18、24兀cm?

【解析】

解：它的側面展開圖的面積=‘?1兀?4、6=14兀故答案為14兀。機1.

2

點睛：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于

圓錐的母線長.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、官有200人，兵有800人

【解析】

設官有x人，兵有y人，根據1000官兵正好分1000匹布，即可得出關于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結論.

【詳解】

解：設官有X人，兵有y人,

x+y=1000

依題意，得:4x+；y=1000

x=200

解得：＜

y=800

答：官有200人，兵有800人.

【點睛】

本題主要考查二元一次方程組的應用，根據題意列出二元一次方程組是解題的關鍵.

20-.(1)—;(2)—

46

【解析】

(1)直接利用概率公式求解；

(2)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出選中的恰好是正確答案A,B的結果數，然后根據概率公式求

解.

【詳解】

解：(1)選中的恰好是正確答案A的概率為5；

4

(2)畫樹狀圖：

ABCD

Zl\ZK/N/N

BCDACDABDABc

共有12種等可能的結果數，其中選中的恰好是正確答案A,B的結果數為2,

21

所以選中的恰好是正確答案A,B的概率===：.

126

【點睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從中選出符合事件A或B的結果

數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

4

21、(1)反比例函數表達式為y=,正比例函數表達式為丁=-x；

x

(2)C(4,-l),SABC=6.

【解析】

ni

試題分析：(1)將點A坐標(2,?2)分別代入丫=1?、y=—求得k、m的值即可；(2)由題意得平移后直線解析式,

x

即可知點B坐標，聯立方程組求解可得第四象限內的交點C得坐標，可將AABC的面積轉化為△OBC的面積.

試題解析：(1)把4(2,-2)代入反比例函數表達式丁=',

VV1

得-2=—,解得m=-4,

2

4

反比例函數表達式為y=——,

x

把4(2,—2)代入正比例函數丁=履，

得一2=2左，解得左=—1,

二正比例函數表達式為V=-％.

(2)直線由直線Q4向上平移3個單位所得，

直線BC的表達式為y=-x+3,

4

y——%=4%2=-1

由＜x，解得V

1%=-2$=4

y=-x+3

???C在第四象限,

.?.C（4,-l）,

連接0C,

'：OABC,

=

SABCSBOC=~■OB-xc,

=—x3x4,

2

=6.

12

22、(1)反比例函數解析式為y=一；(2)點B的坐標為(9,3)；(3)AOAP的面積=1.

x

【解析】

(1)將點A的坐標代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=OA=1,由AB〃x軸即可得點B的坐標；

(3)先根據點B坐標得出OB所在直線解析式，從而求得直線與雙曲線交點P的坐標，再利用割補法求解可得.

【詳解】

k

(1)將點A(4,3)代入y=—，得：k=12,

X

12

則反比例函數解析式為y=一；

x

(2)如圖，過點A作AC_Lx軸于點C,

則OC=4、AC=3,

.?4="+32=1，

；AB〃x軸，且AB=OA=1,

.?.點B的坐標為(9,3)；

(3)???點B坐標為(9,3),

/.OB所在直線解析式為y=1x,

1

V=-X

-3

由＜可得點P坐標為(6,2),(負值舍去),

12

y=—

X

過點P作PDLx軸，延長DP交AB于點E,

則點E坐標為(6,3),

；.AE=2、PE=1、PD=2,

則AOAP的面積=，x(2+6)X3--X6x2--x2xl=l.

222

【點睛】

本題考查了反比例函數與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、正確添加輔助線是解題的關鍵.

23、證明見解析.

【解析】

【分析】求出BF=CE,根據SAS推出AABF^^DCE,得對應角相等，由等腰三角形的判定可得結論.

【詳解】VBE=CF,

，BE+EF=CF+EF,

.\BF=CE,

在小ABF和小DCE中

AB=DC

<NB=NC,

BF=CE

.'.△ABF^ADCE(SAS),

/.ZGEF=ZGFE,

.?.EG=FG.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵.

24、規定日期是6天.

【解析】

本題的等量關系為：甲工作2天完成的工作量+乙規定日期完成的工作量=1,把相應數值代入即可求解.

【詳解】

解：設工作總量為1,規定日期為x天，則若單獨做，甲隊需x天，乙隊需x+3天，根據題意列方程得

111+g=1

2

x+3xx+3

解方程可得x=6,

經檢驗x=6是分式方程的解.

答：規定日期是6天.

25、共有7人，這個物品的價格是5