第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市朝陽外國語學校來廣營校區九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（每小題2分，共16分）1．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（）A．2，1，5 B．2，1，﹣5 C．2，0，﹣5 D．2，0，52．下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．將拋物線y＝x2向上平移3個單位長度得到的拋物線是（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）24．在平面直角坐標系xOy中，點A（2，3）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）5．用配方法解方程x2+4x＝1，變形后結果正確的是（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝5 D．（x﹣2）2＝26．已知二次函數y＝x2﹣4x+m（m為常數）的圖象與x軸的一個交點為（1，0），則關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的兩個實數根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝2 C．x1＝﹣1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝37．二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列四個說法中：①a+2b＝0；②a+b+c＜0；③ax2+bx+c＝0的兩個解是x1＝﹣2，x2＝4；④當x≤0時，y隨x的增大而減小．其中正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．下面的四個問題中都有兩個變量：①一個圓柱的高等于底面半徑x，這個圓柱的表面積為y；②x個球隊比賽，每兩隊之間進行一場比賽，比賽的場次為y；③某產品現在的年產量是20t，計劃今后兩年增加產量，如果每年都比上一年增加x倍，兩年后這種產品的產量為y；④某種商品每件的進價為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出（100﹣x）件，利潤為y元．其中，變量y與變量x之間的函數關系（不考慮自變量取值范圍）可以用一條開口向上的拋物線表示的是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③二、填空題（每小題2分，共16分）9．寫出一個開口向上，并且與y軸交于點（0，2）的拋物線的解析式．10．若二次函數y＝2x2﹣3的圖象上有兩個點A（﹣3，m）、B（2，n），則mn（填“＜”或“＝”或“＞”）．11．若關于x的方程mx2+2x+1＝0有兩個不等實數根，則m的取值范圍是．12．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，若AB＝10，CD＝8，則BH的長度為．13．如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜90°）得到△ADE，點B的對應點D恰好落在邊BC上，則∠ADE＝．（用含α的式子表示）14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△AOB可以看作是將△DCE繞某個點旋轉而得到，則這個點的坐標是．15．拋物線y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則當y＜0時，x的取值范圍是．16．已知M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線y＝ax2（a≠0）上任意兩點，其中0≤x1＜x2．若對于x2﹣x1＝1，都有|y2﹣y1|≥1，則a的取值范圍是．三、解答題（共68分）17．用適當的方法解下列方程：（1）x2﹣8x＝0；（2）x2+6x+4＝0．18．若x＝1是關于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的根，求代數式（m﹣2）2+（m+1）（m﹣1）的值．19．如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧（），點O是這段弧所在圓的圓心．AB＝100m，C是上一點，OC⊥AB，垂足為D，CD＝10m，求這段彎路的半徑．20．已知二次函數經過點（﹣1，0），（3，0），且最大值為4．（1）求二次函數的解析式；（2）在平面直角坐標系xOy中，畫出二次函數的圖象；（3）當0＜x＜3時，結合函數圖象，直接寫出y的取值范圍．21．如圖，在4×4的方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在圖1中，畫出一個與△ABC成中心對稱的格點三角形；（2）在圖2中，畫出一個與△ABC成軸對稱且與△ABC有公共邊的格點三角形；（3）在圖3中，畫出△ABC繞著點C按順時針方向旋轉90°后的三角形．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，將線段CA繞點C逆時針旋轉60°，得到線段CD，連接AD，BD．（1）依題意補全圖形；（2）若BC＝1，求線段BD的長．23．已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．（1）求證：方程總有兩個實數根；（2）若m＜0，方程的兩個實數根為x1、x2，且x1＜x2，若x2﹣2x1＝3，求m的值．24．用長為6米的鋁合金條制成如圖所示的窗框，若窗框的高為x米，窗戶的透光面積為y平方米（鋁合金條的寬度不計）．（1）y與x之間的函數關系式為（不要求寫自變量的取值范圍）；（2）如何安排窗框的高和寬，才能使窗戶的透光面積最大？并求出此時的最大面積．25．懸索橋，又名吊橋，指的是以通過索塔懸掛并錨固于兩岸（或橋兩端）的纜索（或鋼鏈）作為上部結構主要承重構件的橋梁．其纜索幾何形狀一般近似于拋物線．從纜索垂下許多吊桿（吊桿垂直于橋面），把橋面吊住．某懸索橋（如圖1），是連接兩個地區的重要通道．圖2是該懸索橋的示意圖．小明在游覽該大橋時，被這座雄偉壯觀的大橋所吸引．他通過查找資料了解到此橋的相關信息：這座橋的纜索（即圖2中橋上方的曲線）的形狀近似于拋物線，兩端的索塔在橋面以上部分高度相同，即AB＝CD，兩個索塔均與橋面垂直．主橋AC的長為600m，引橋CE的長為124m．纜索最低處的吊桿MN長為3m，橋面上與點M相距100m處的吊桿PQ長為13m．若將纜索的形狀視為拋物線，請你根據小明獲得的信息，建立適當的平面直角坐標系，求出索塔頂端D與錯點E的距離．26．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣2x（a≠0）與x軸交于點A，B兩點（點A在點B的左側）．（1）當a＝﹣1時，求A，B兩點的坐標；（2）過點P（3，0）作垂直于x軸的直線l，交拋物線于點C．①當a＝2時，求PB+PC的值；②若點B在直線l左側，且PB+PC≥14，結合函數的圖象，直接寫出a的取值范圍．27．在菱形ABCD中，∠BAD＝α，E為對角線AC上的一點（不與A，C重合），將射線EB繞點E順時針旋轉β角之后，所得射線與直線AD交于F點．試探究線段EB與EF的數量關系．小宇發現點E的位置，α和β的大小都不確定，于是他從特殊情況開始進行探究．（1）如圖1，當α＝β＝90°時，菱形ABCD是正方形．小宇發現，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分線的性質可知EM＝EN，進而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性質得到EB與EF的數量關系為．（2）如圖2，當α＝60°，β＝120°時，①依題意補全圖形；②請幫小宇繼續探究（1）的結論是否成立．若成立，請給出證明；若不成立，請舉出反例說明.28．在平面直角坐標系xOy中，對于第一象限的P，Q兩點，給出如下定義：若y軸正半軸上存在點P'，x軸正半軸上存在點Q'，使PP'∥QQ'，且∠1＝∠2＝α（如圖1），則稱點P與點Q為α﹣關聯點．（1）在點Q（3，1），Q2（5，2