第03講分式的加減法(10類熱點題型講練)1.熟練掌握同分母的分式加減運算；2.會找最簡公分母，能進行分式通分，理解并掌握異分母分式的加減法則；3.能進行分式的混合運算及較復雜的分式化簡求值.知識點01分式的通分分式的通分：利用分式的性質，將分式的分母變成最小公倍數，分子根據分母擴大的倍數相應擴大，不改變分式的值。具體步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數；=2\*GB3②分母變為最小公倍數的值，確定原式分母擴大的倍數;=3\*GB3③分子對應擴大相同倍數.知識點02最簡公分母最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數的最小公倍數與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．知識點03同分母分式的加減同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．知識點04異分母分式的加減異分母的分式相加減法則：先通分，變為同分母的分式，然后再加減．用式子表示為：．注意：分式是分數的擴展，因此分式的運算法則與分數的運算法則類似.知識點01平面向量基本定理知識點02平面向量的坐標表示知識點03平面向量的坐標運算題型01同分母分式加減法【例題】（2023上·四川成都·九年級棕北中學西區實驗學校校考開學考試）計算的結果是．【答案】【分析】根據分式的運算法則即可求出答案．【詳解】解：原式，，，故答案為：【點睛】此題考查了分式的運算法則，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則．【變式訓練】1．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據同分母分式加減法進行計算即可；（2）根據同分母分式加減法進行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了分式加減運算，解題的關鍵是熟練掌握同分母分式加減運算法則，準確計算．2．（2023上·八年級課時練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據同分母分式的運算法則計算即可；（2）根據同分母分式的運算法則計算即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．【點睛】本題考查了同分母分式的加減法以及平方差公式，熟練掌握同分母分式的加減法法則是解題的關鍵．題型02最簡公分母【例題】（2023春·廣東佛山·八年級佛山市惠景中學校考期中）分式與的最簡公分母是______．【答案】【分析】先將分式的分母進行因式分解，然后根據最簡公分母的定義即可得出結論．【詳解】∵，∴分式與的最簡公分母是．故答案是．【點睛】本題主要考查了最簡公分母的定義，熟練掌握最簡公分母的定義是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）分式，，的最簡公分母是_______．【答案】【分析】根據最簡公分母的定義即可解答．【詳解】解：分式、、的最簡公分母是．故答案為：．【點睛】本題考查了最簡公分母，最簡公分母的找法為：數字取最小公倍數，相同字母取最高次冪，只在一個分母中出現的字母，連同它的指數作為最簡公分母的一個因式．2．（2023春·江蘇·八年級校考周測）的最簡公分母是_________【答案】【分析】三個分式的分母均為多項式，故先將各個分母因式分解，然后再結合最簡公分母的知識進行求解即可．【詳解】解：的最簡公分母是．故答案為：．【點睛】本題考查的是最簡公分母的概念，取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．題型03通分【例題】（2023春·浙江·七年級專題練習）通分：(1)與；(2)與．【答案】(1)，(2)，【分析】先確定分式的最簡公分母，再通分即可．【詳解】（1）解：∵與的最簡公分母是，∴=，=；（2）解：∵與的最簡公分母是，∴=，=．【點睛】本題考查的是分式的通分，解題的關鍵是確定最簡公分母．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）通分：(1)，(2)，．【答案】(1)和(2)和【分析】（1）（2）最簡公分母的系數取各分母系數的最小公倍數；最簡公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次冪的積．依此即可求解．【詳解】（1）∵兩個分式分母分別為，未知數系數的最小公倍數為，∵a，b，c的最高次數為2，2，1，∴最簡公分母為，將，通分可得：和；（2），∴最簡公分母是，，．【點睛】本題考查了通分，規律方法總結：通分時若各分式的分母還能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最簡公分母，最簡公分母的系數為各分母系數的最小公倍數，因式為各分母中相同因式的最高次冪，各分母中不相同的因式都要作為最簡公分母中的因式，要防止遺漏因式．2．（2023秋·八年級課時練習）通分：(1)與；(2)，，；(3)，，；(4)，．【答案】(1)，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；（2）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；（3）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；（4）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；【詳解】（1）解：，．（2）解：，，．（3）解：，，．（4）解：，【點睛】本題主要考查了分式的通分，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．題型04異分母分式加減法【例題】（2023·內蒙古包頭·統考二模）計算：_______．【答案】2【分析】根據分式的加減法則，即可解答．【詳解】解：，故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的加減法，分式的加減法法則是：同分母分式相加減，只把分子相加減，分母不變；異分母分式相加減，先通分變為同分母分式，再按同分母分式相加減的法則運算，熟知上述法則是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·四川成都·統考二模）計算的結果是______．【答案】/【分析】根據異分母分式減法運算法則計算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查異分母分式的減法運算．熟練掌握其運算法則是解題關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：（1）_____________；（2）___________．【答案】【分析】（1）（2）根據異分母分式減法計算法則求解即可．【詳解】解：（1），故答案為：；（2），故答案為：．【點睛】本題主要考查了異分母分式減法，正確計算是解題的關鍵．題型05整式與分式相加減【例題】（2023春·江蘇·八年級期中）化簡的結果為_________．【答案】【分析】先通分，再根據同分母分式的加法法則計算即可【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查了分式和整式的減法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級期中）計算的結果是_________．【答案】【分析】根據分式的加減運算法則，先通分，再加減．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了分式的加減運算，解題的關鍵是掌握運算法則和運算順序．2．（2023春·全國·八年級專題練習）計算的結果是___________．【答案】【分析】先通分再化簡即可．【詳解】故答案為：．【點睛】本題考查了分式的減法運算，平方差公式；當分母不同時，要先通分化成同分母的分式，再相減，最后結果能約分的要約分．題型06已知分式恒等式，確定分子或分母【例題】（2023春·全國·八年級專題練習）若，則_________，_________．【答案】21【分析】根據同分母分式的加減計算，再按對應項相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點睛】本題考查分式的加減，解題關鍵是掌握分式加法的運算法則．【變式訓練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習）已知，則_________________．【答案】7【分析】根據題意可進行通分，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，①+②得：；故答案為：7．【點睛】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的加法運算是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）若恒成立，則A-B=__________．【答案】2【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計算，再根據分式相等的條件即可求出所求．【詳解】解：等式整理得，∴∴A-B＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的加減，解題的關鍵是通分，對等式進行整理，轉化為分母相同的形式，從而求解．題型07分式加減混合運算【例題】（2023春·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根據同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉化成同分母的分式，再根據同分母分式的減法法則求出即可．【詳解】（1）解：，===1；（2）解：.【點睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運用分式的加減法則進行計算是解此題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）計算(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）分式的分母相同，直接相減進行計算；（2）分式的公分母為，先通分，在進行計算；（3）直接進行通分，在進行計算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題主要考查了分式的加減，找公分母，通分是解題的關鍵．2．（2023春·浙江·七年級專題練習）計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）互為相反數，第二項的分母提取負號，化為同分母，直接根據同分母的分式加減法法則進行計算：分母不變，分子相加減；（2）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進行計算即可；（3）把看成是一項，為，再通分，按同分母的分式加減法法則進行計算即可；（4）最簡公分母為，通分，按同分母的分式加減法法則進行計算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加減混合運算，熟練掌握分式的加減混合運算法則及因式分解是解題的關鍵．題型08分式加減的實際應用【例題】（2023春·浙江·七年級專題練習）八年級某班同學原來計劃租一倆大巴車去研學，大巴車的租價為800元，實際又增加了3名同學，租車價不變，若設原來計劃參加研學的同學共有x人，實際每個同學比原來少分攤車費______元．【答案】【分析】根據題意列出分式，然后進行運算即可．【詳解】解：實際每個同學比原來少分攤車費：（元）．故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式加減的應用，解題的關鍵是根據題意列出分式，熟練掌握分式加減運算法則，準確計算．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，一艘輪船在靜水中的速度為a千米/時，水流的速度為b千米/時，輪船往返兩個港口一次共需______小時.【答案】【分析】分別求出順流和逆流時的速度，利用路程、時間、速度之間的關系即可列式求解．【詳解】解：輪船在靜水中的速度為a千米/時，水流的速度為b千米/時，順流速度為千米/時，逆流速度為千米/時，甲、乙兩港口分別位于長江的上、下游，相距50千米，輪船往返兩個港口一次共需時間為：，故答案為：．【點睛】本題考查分式加減的應用，解題的關鍵是計算出輪船順流和逆流時的速度，根據路程、時間、速度之間的關系列出分式．2．（2023春·全國·八年級專題練習）學校倡導全校師生開展“全科閱讀”活動，小亮每天堅持讀書．原計劃用a天讀完b頁的書，如果要提前m天讀完，那么平均每天比原計劃要多讀__________頁．【答案】【分析】平均每天比原計劃要多讀的頁數=新工作效率-原工作效率．【詳解】解：按原計劃每天讀頁，實際每天讀頁，故每天比原計劃多讀的頁數是：，故答案為：．【點睛】此題考查分式加減的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的關系．題型09分式加減乘除混合運算【例題】（2023·河南漯河·統考二模）化簡：．【答案】【分析】先通分括號內的式子，然后計算括號外的除法，然后約分即可．【詳解】解：【點睛】本題考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·湖北襄陽·統考二模）化簡：【答案】【分析】根據分式混合運算法則及運算順序直接求解即可得到答案．【詳解】解：．【點睛】本題考查分式混合運算，涉及到因式分解、通分、約分及運算順序，熟記相關運算法則及運算順序是解決問題的關鍵．2．（2023·四川瀘州·統考中考真題）化簡：．【答案】【分析】先計算括號內的，通分后利用同分母的分式運算法則求解，然后將除法變成乘法，約分即可得到結果．【詳解】解：．【點睛】本題考查分式的化簡求值，掌握相關運算法則和運算順序是解決問題的關鍵．3．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算括號內的部分，將除法轉化為乘法，再約分計算；（2）先計算括號內的部分，將除法轉化為乘法，再約分計算．【詳解】（1）解：；（2）．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．題型10分式化簡求值【例題】（2023·湖南益陽·統考二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據分式混合運算法則進行化簡，然后再代入數據求值即可．【詳解】解：原式，當時，原式．【點睛】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．【變式訓練】1．（2023·山東菏澤·統考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．【答案】，【分析】運用乘法公式，分式的性質對分式進行化簡，再變形得，，代入計算即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴原式．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，掌握乘法公式與分式混合運算的綜合，方程的變形，代入求值等知識是解題的關鍵．2．（2023·遼寧錦州·統考一模）先化簡，再求值：，其中：【答案】；【分析】運用因式分解，約分等化簡，后代入求值即可．【詳解】解：；當時，．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解，約分等化簡技能是解題的關鍵．一、單選題1．（23-24八年級上·天津紅橋·期末）計算的結果是（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是分式的加減，先通分最簡公分母是，再根據分母不變，把分子相加減約分后可得答案．【詳解】解：原式，故選：A．2．（22-23八年級上·貴州黔南·期末）分式，的最簡公分母是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了最簡公分母，先因式分解取系數的最小公倍數，字母的最高次冪，1，3的最小公倍數為3，的最高次冪為1，的最高次冪為1，則得出最簡公分母．【詳解】解：分式，，即，的分母中1，3的最小公倍數為3，的最高次冪為1，的最高次冪為1，所以，的最簡公分母為，故選：D．3．（23-24八年級上·陜西延安·期末）下列分式計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了分式的混合運算，根據分式的混合運算法則逐項判斷即可得出答案，熟練掌握分式的混合運算法則是解此題的關鍵．【詳解】解：A、，故原選項計算錯誤，不符合題意；B、，故原選項計算錯誤，不符合題意；C、，故原選項計算正確，符合題意；D、，故原選項計算錯誤，不符合題意；故選：C．4．（22-23八年級上·貴州黔南·期末）某工廠接到一個訂單，生產x套防護服，原計劃每天生產y套．為了將這些防護服盡快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原計劃多生產了60套，則工廠完成這個訂單的時間比原計劃提前（

）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】B【分析】本題考查列代數式的知識，根據工作時間工作總量工作效率，表示出原計劃所用時間，以及現在所用時間，利用原計劃所用時間現在所用時間，即可解題．【詳解】解：由題意得，原計劃所用時間為：天，現在所用時間為：天，工廠完成這個訂單的時間比原計劃提前天，故選：B．5．（23-24九年級下·湖北武漢·開學考試）已知，計算的值是（

）A．1 B． C．0.5 D．【答案】C【分析】本題考查分式的化簡求值，根據分式的運算法則，進行計算，化簡后，利用整體代入法求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴原式；故選C．二、填空題6．（2023八年級下·江蘇·專題練習）計算：．【答案】【分析】本題考查了分式的加法，熟練掌握異分母的加法法則是解題的關鍵．根據分式的加法法則進行計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．7．（23-24八年級上·山東東營·階段練習）將分式和進行通分時，最簡公分母是【答案】【分析】本題考查了分式的通分；先對分式的分母進行因式分解，然后即可確定它們的最簡公分母．【詳解】解：∵，，∴最簡公分母是，故答案為：．8．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習）若，，為常數，則的值為．【答案】【分析】本題考查了分式的加減法，先通分，然后進行同分母分式加減運算．通過通分得到分子的對應項，從而求得A、B的值，代入即可求出的值．【詳解】，∵，∴，∴，，解得，，∴．故答案為：1．9．（2024八年級下·全國·專題練習）小剛在化簡時，整式M看不清楚了，通過查看答案，發現得到的化簡結果是，則整式M是．【答案】/【分析】本題主要考查了分式的加減法，由題意列出算式，利用分式的加減法法則解答即可得出結論．【詳解】解：∵化簡得到的結果是，∴，∴．故答案為：．10．（23-24八年級上·湖北鄂州·期末）有一個計算程序，每次運算都是把一個數先乘以2，再除以它與1的和，多次重復進行這種運算的過程如下：則第次運算的結果．（用含字母的式子表示）【答案】【分析】本題考查了分式的混合運算，根據題目中的程序可以分別計算出、和，得到規律，從而可以解答本題．解答本題的關鍵是明確題意，用代數式表示出．【詳解】∵，∴，……∴．故答案為：．三、解答題11．（22-23八年級上·山東濟寧·階段練習）通分：(1)與；(2)與．【答案】(1)；(2)；【分析】本題考查了通分，解題的關鍵是找出兩個分式分母的最小公倍數．（1）找出兩分母的最簡公分母，通分即可；（2）找出兩分母的最簡公分母，通分即可．【詳解】（1）解：最簡公分母為，；．（2）解：最簡公分母為，故；．12．（22-23八年級下·重慶沙坪壩·期中）化簡：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的混合運算：先算括號里面的減法運算，再乘除，然后約分．（1）先進行同分母的加法運算，然后把分子因式分解后約分即可；（2）先把括號內通分和除法運算化為乘法運算，然后把分子分母因式分解后約分即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．13．（22-23八年級下·山東棗莊·階段練習）化簡(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分式的基本性質變形后用同分母分式加法則計算即可；（2）先計算括號內的加減法，再計算除法即可．【詳解】（1）（2）【點睛】此題考查了分式的加減運算和四則混合運算，熟練掌握分式的運算法是解題的關鍵．14．（23-24八年級上·全國·課時練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)2(3)(4)【分析】（1）按照同分母分式的加減運算法則進行計算即可；（2）先化為同分母分式，再計算即可；（3）先通分化為同分母分式，再計算即可；（4）先通分化為同分母分式，再計算即可；【詳解】（1）解：原式．（2）原式．（3）．（4）．【點睛】本題考查的是分式的加減運算，掌握分式的加減運算的運算法則是解本題的關鍵．15．（23-24八年級上·全國·課堂例題）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先將分式進行通分，按照整式的加減混合運算法則計算即可；（2）利用平方差公式將分式進行通分，按照整式的加減混合運算法則計算，最后再約分即可；（3）利用平方差公式將分式進行通分，分母則按照十字相乘以及整式的加減乘除混合運算計算即可；（4）先將分式進行約分，再按照整式的加減混合運算計算即可．【詳解】（1）解：故答案為：．（2）解：故答案為：．（3）解：故答案為：．（4）解：故答案為：．【點睛】本題考查了分式的加減，解題的關鍵需要熟練掌握分式加減法則，平方差公式的運用．16．（2024九年級下·山東·專題練習）下面是某同學計算的解題過程：解：……①………②………③．……………④上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出正確的解題過程．【答案】從第①步開始出錯，正確的解題過程見詳解【分析】本題考查分式的加減運算，熟練掌握分式的通分是解題的關鍵，在運算過程中還要注意符號的變化，根據分式加減運算法則逐步進行運算即可得到答案．【詳解】解：從第①步開始出錯．正確的解題過程如下：解：．17．（23-24八年級上·江蘇南通·階段練習）先化簡，再求值：，請從，0或2中選擇你喜歡的一個數代入求值．【答案】，1【分析】本題考查了分式化簡求值；先對括號內進行通分運算，同時對分子、分母進行因式分解，再將除轉化為乘，進行約分，結果化為最簡分式或整式，排除使得分式無意義的值，然后代值計算，即可求解；掌握分式化簡的步驟，排除分式無意義的數值是解題的關鍵．【詳解】解：原式，，且，，當時，原式．18．（22-23八年級下·遼寧本溪·階段練習）先化簡，再求值：，其中【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，實數的混合運算．先對括號里的加法運算進行通分，再把除法運算轉化為乘法運算，約去分子分母中的公因式，化為最簡形