2.1.2兩條直線平行和垂直的判定

故材分析

本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節課主要學

習兩條直線平行和垂直的判定。

直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關系，它們的判定在初中運用幾何法已經進行了學習，而在

坐標系下，運用代數方法即坐標法，是一種新的觀點和方法，需要學生理解和感悟。

兩直線平行和垂直都是由相應的斜率之間的關系來確定的，并且研究討論的手段和方法也相類似，因

此，在教學時采用對比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯系與區別.值得注意的是，當兩條直線中有一條

不存在斜率時，容易得到兩條直線垂直的充要條件，這也值得略加說明.

權學目標與核心索琳

課程目標學科素養

A.理解兩條直線平行與垂直的條件.1.數學抽象：兩條直線平行與垂直的條件

B.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.邏輯推理：根據斜率判定兩條直線平行或垂直

C.能利用兩直線平行或垂直的條件解決問3.數學運算：利用兩直線平行或垂直的條件解決問題

題.

4.直觀想象：直線斜率的幾何意義，及平行與垂直的幾

何直觀

敬學■窿京

1.教學重點：理解兩條直線平行或垂直的判斷條件

2.教學難點：會利用斜率判斷兩條直線平行或垂直

課前發備

多媒體

敢學過程

教學過程教學設計意圖

核心素養目標

一、情境導學

過山車是一項富有刺激性的娛樂項目.實際上，過山車的運動包通過生活中的

含了許多數學和物理學原理.過山車的兩條鐵軌是相互平行的軌道，它現實情境，提出問

題，明確研究問題運

用代數方法探究兩

：：：：X直線平行與垂直問

題，引導學生回顧初

—八X

備安全'柱子中兩直線平行與垂

直的幾何知識，為探

究運用斜率判斷直

連接，這些鋼筋有的互相平行,有的互相垂直，你能感受到過山車中的線平行和垂直作知

平行和垂直嗎?兩條直線的平行與垂直用什么來刻畫呢？識上的準備。

二、探究新知

（一）、兩條直線平行與斜率之間的關系

設兩條不重合的直線/同，傾斜角分別為斜率存在時斜率分別為

依?則對應關系如下：

o

前提條件Iai=a2^90ai=a2=90°

ll〃12=兩直線斜率

對應關系h〃120kl=k2

都不存在

圖示

HX

r/-\

由坐標系中的直

線，讓學生理解直線

點睛：若沒有指明幾/2不重合，那么由=左2=2%0用斜率證明

傾斜角和斜率的概

I或k與12重合，

念。發展學生邏輯推

三點共線時，常用到這一結論.

理，直觀想象、數學

1.對于兩條不重合的直線I,1，“/〃/”是“兩條直線斜率相等”的什么

1212抽象和數學運算的

條件？核心素養。

答案:必要不充分條件,如果兩不重合直線斜率相等，則兩直線一定平

行;反過來，兩直線平行，

有可能兩直線斜率均不存在.

2.已知直線4經過兩點(-1,-2),(-1,4),直線經過兩點(2,1),(無,6).且乙〃

(廁x=.

解析:由題意知(Lx軸.又/]〃/,,所以/,_Lx軸，故x=2.

答案：2

3.思考辨析

(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行.()

⑵若/1〃/2，則所=/()

(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在,

則這兩條直線垂直.()

(4)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平

行.()

答案：(l)x也可能重合.(2)xh//l2,其斜率不一定存在.

(3)x不一定垂直，只有另一條直線斜率為0時才垂直.(4)4

(二)、兩條直線垂直與斜率之間的關系

11與12中的一條斜率丕

11與12的斜率都存

對應

存在，另一條斜率為零,

在,分別為ki,k2,則

關系則h與L的位置關系是

hJ_12=k「k2=-l

li±b.

圖示Jr[f"

點睛：”兩條直線的斜率之積等于-1”是“這兩條直線垂直'’的充分不必

要條件.因為兩條直線垂直時，除了斜率之積等于-1,還有可能一條直

線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在.

2

4.若直線/,1的斜率是方程尤-3尤-1=0的兩根，則/與I的位置關系

1212

解析:由根與系數的關系，知卒,=-1,所以

答案：(口2

三、典例解析

例1判斷下列各小題中的直線/與/是否平行：

12

(1)/經過點4(-1,-2),8(2,1),/經過點M(3,4),N(-1,-1);

12

(2)1的斜率為1,/經過點A(1,1),8(2,2);

12

(3)1經過點A(O,1),8(1,0),/經過點M(-l,3),N(2,0);

12

(4)/經過點4(-3,2),3(-3,10)」經過點M(5,-2),N(5,5).

12

思路分析：斜率存在的直線求出斜率，利用/]〃/,=/=與進行判斷，若

兩直線斜率都不存在，可通過觀察并結合圖形得出結論.

解：(1)左1=詈弓=1,%2=；^=J火1#211與11不平行.

z-(-l)-1-34

Q)ki=1，攵2=言=1,ki=k?,

故/[〃辦或/1與，2重合.

(3)所=/=-1飽=2石=-1,則有h=心.

3-1

又kAM=—=-2^-1,

-1-0

則4,2,M不共線.故///I.

12

通過典型例題

(4)由已知點的坐標，得/與/均與無軸垂直且不重合，故有/〃/.

1212的分析和解決，讓學

延伸探究已知4(-2,臉2(孫4),"0+2,3),可(1』),若AB//MNMm的生加深對利用直線

值為__________-斜率判斷兩直線平

行和垂直的方法，提

解析:當m=-2時，直線A8的斜率不存在，而直線MN的斜率存在，跖V

升運用能力。發展學

與A8不平行，不合題意；

生數學抽象、直觀想

當m=-l時，直線MN的斜率不存在，而直線AB的斜率存在,MN與AB象、邏輯推理的核心

不平行，不合題意；素養。

當*2且g時尼l號=怨

,_3-12

kMN=----=----.

m+2-1?n+l

因為AB//MN,所以kAB=kMN,

即解得=Q或m-\.

m+2m+1"m

當m=0或1時，由圖形知，兩直線不重合.

綜上，加的值為0或1.

答案：0或1

判斷兩直線是否平行的步驟

/二〉、?不.等I_-7-1

rHT-一回

X:'.一■[W]

利等〉

I.

例2(1)直線I經過點A(3,2),8(3,-1),直線I經過點M(1,1),N(2,1),判斷

12

I與I是否垂直；

12

(2)已知直線/經過點43,a),2小2,3),直線/經過點C(2,3)Q(-l,a-2),

12

若/_L/,求a的值.

12

思路分析：(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的條件判斷;若一條直線

的斜率不存在，再看另一條直線的斜率是否為0,若為0,則垂直.

(2)當兩直線的斜率都存在時，由斜率之積等于-1求解;若一條直線的

斜率不存在，由另一條直線的斜率為0求解.

解:⑴直線/的斜率不存在，直線/的斜率為0,所以/±z.

1212

(2)由題意，知直線/的斜率左一定存在,直線/的斜率可能不存在.

221

當直線1的斜率不存在時,3=上2,即a=5,此時k=0,

12

則/±Z，滿足題意.

12

當直線Z1的斜率俗存在時，點5,由斜率公式，得歷=①=—,fo=—=

a-2-3a-5-1-2

a-5

-3?

由J_，2,知左法2=-1,即^=-1,解得6Z=0.

a-5-3

綜上所述,〃的值為0或5.

兩直線垂直的判定方法

兩條直線垂直需判定kk=1,使用它的前提條件是兩條直線斜

12

率都存在,若其中一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為零,此時兩

直線也垂直.

跟蹤訓練1已知定點4-1,3),3(4,2),以為直徑作圓，與x軸有交點

P,則交點P的坐標是__________.

解析:設以AB為直徑的圓與x軸的交點為P(x,0).

:%豐0,k刈,女'k=-1,

PBPAPAPB

即21.絲=/

x+1x-49

2

?：(冗+1)(*4)=-6,即x-3x+2=0,

解得x=l或x=2.故點P的坐標為(1,0)或(2,0).

答案:(1,0)或(2,0)

例3如圖所示，在平面直角坐標系中,四邊形OPQR的頂點坐標按

逆時針順序依次為0(0,0),P(1J),0(12,2+f),R(2,2),其中,0.試判斷

四邊形OPQR的形狀.

思路分析:利用直線方程的系數關系，或兩直線間的斜率關系，判斷兩

直線的位置關系.

d

通過典例解析，進一

步讓理解運用直線

斜率判斷直線平行U

解:由斜率公式得%=言力，

垂直的方法，提升推

,2-(2+t)-t72-01理論證能力，進一步

-(i-2)-koR

2tt-r^--2t-0-e

體會坐標法解決問

kpQ--一■?所以kop-kRQ,koR-kpQ,題的基本思想。

l-ZC-l-ZCL

從而。尸〃〃尸Q.

所以四邊形OPQR為平行四邊形.

又出山=-1,所以OP_LOR,

OPOR

故四邊形0PQR為矩形.

延伸探究1將本例中的四個點，改為“4(-4,3)乃(2,5),。(6,3),。(-3,0),順

次連接A,反CQ四點，試判斷四邊形ABC。的形狀

由斜率公式可付kAB--,kcD--,kAD---3,/：BC----

3-3-63-3-(-4)o-zz

所以左=k，由圖可知AB與C￡)不重合，

ABCD

所以A3〃C￡),由左邦，所以AD與BC不平行.

ADBC

又因為AAB也。=[x(-3)=-l,

所以A2_L4。,故四邊形ABC。為直角梯形.

解:由題意AB,C,Z)四點在平面直角坐標系內的位置如圖,

延伸探究2將本例改為“已知矩形OPQR中四個頂點按逆時針順序

依次為。(0,0),尸(1,。,。(12,2+。,試求頂點R的坐標

解:因為OPQR為矩形，所以。。的中點也是PR的中點.

0+121+x

22

設R(x,y),則由中點坐標公式知0+2+t_t+y

2~2

解得二所以火點的坐標是(-2/,2).

利用兩條直線平行或垂直來判斷圖形形狀的步驟

描點一在坐標系中描出給定的點

猜測一根據描出的點，猜測圖形的形狀

求斜率-根據給定點的坐標求直線的斜率

結論|1|由斜率之間的關系判斷形狀

點睛：利用平行、垂直關系式的關鍵在于正確求解斜率，特別是含參

數的問題，必須要分類討論；其次要注意的是斜率不存在并不意味著

問題無解.

金題典例已知點4(0,3)#(-1,0),小3,0),且四邊形42。。為直角梯形,

求點D的坐標.

思路分析:分析題意可知,42、都不可作為直角梯形的直角邊，所以

要考慮CD是直角梯形的直角邊和AD是直角梯形的直角邊這兩種情

況;設所求點D的坐標為(x,y),若CD是直角梯形的直角邊，則BC±

C2AO_LC￡),根據已知可得上=O,CD的斜率不存在，從而有x=3;接下

BC

來再根據左=k即可得到關于x、y的方程，結合x的值即可求出二

ADBC

那么點D的坐標便不難確定了，同理再分析AD是直角梯形的直角邊

的情況.

解:設所求點D的坐標為(無,y),如圖所示,由于勺B=3,)=0,

則4-k=0力-1,即A8與BC不垂直，故48、8C都不可作為直角梯形

ABBC

的直角邊.

①若CD是直角梯形的直角邊，則BCLCD,ADA.CD,

:k=0,.：CD的斜率不存在，從而有x=3.

BC

三、達標檢測

1.下列說法正確的是()通過練習鞏固本

節所學知識，通過學

A.若直線/1與/2傾斜角相等，貝心1〃，2

生解決問題，發展學

B.若直線/」勿則厄%2=—1生的數學運算、邏輯

推理、直觀想象、數

C.若直線的斜率不存在，則這條直線一定平行于y軸

學建模的核心素養。

D.若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行

解析：A中，與/2可能重合；B中，/1,/2可能存在其一沒斜率；C

中，直線也可能與y軸重合；D正確，選D.

答案D

2.若直線1的斜率為a,l,則直線1的斜率為()

1122

A.-B.aC.--D」或不存在

aaa

解析:若存0,則1的斜率為二若4=0,則h的斜率不存在.

2a

答案:D

3.已知直線1的傾斜角為45。,直線/〃/，且/過點A(-2,-1)和BM,

1122

則