21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）2024年高考導數復習專題五知識點一求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究不等式恒成立問題，利用導數研究函數的零點典例1、已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設，若恒成立，求實數a的取值范圍；（3）若有兩個零點，求實數a的取值范圍.隨堂練習：已知函數，.（1）若曲線在點處的切線方程為y=0，求m的值；（2）若對任意，都有，求m的取值范圍；（3）討論在區間上的零點個數.典例2、已知，設函數，（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，若不等式恒成立，求實數的值；（3）若函數與的圖象沒有交點，求實數的取值范圍．(注：題中為自然對數的底數，即)隨堂練習：已知函數．（注：是自然對數的底數）（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若只有一個極值點，求實數a的取值范圍；（3）若存在，對與任意的，使得恒成立，求的最小值．典例3、設函數．（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；（2）若，求實數的取值范圍；（3）求證：當時，函數不存在零點．隨堂練習：已知函數．（1）求函數在處的切線方程；（2）若關于x的不等式恒成立，求實數a的值；（3）設函數，在（2）的條件下，證明：存在唯一的極小值點，且．知識點二求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究函數的零點典例4、已知函數求曲線在點處的切線方程若函數，恰有2個零點，求實數a的取值范圍隨堂練習：已知函數，.（1）求在點處的切線方程；（2）求證：當時，有且僅有個零點.典例5、已知函數（）．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區間；（3）若恰有兩個零點，求實數的取值范圍．典例6、已知函數．（1）求曲線在點，處的切線方程；（2）當時，求的單調區間；（3）當時，在區間有一個零點，求的取值范圍．2024年高考導數復習專題五答案典例1、答案：（1）；（2）；（3）.解:（1）當時，，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）因為，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，令，，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，所以，故a的取值范圍為.（3）若有兩個零點，則有兩個零點，所以在上有兩個解，所以在上有兩個解，令，，，令，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，且，所以在上，單調遞增，在上，單調遞減，所以，又在上，；在上，，所以a的取值范圍為.隨堂練習：答案：（1）1（2）（3）3、答案見解析解：（1）因為曲線在點處的切線方程為y=0，所以，即，解得m=1.（2），，由于在單調遞增，所以.①當時，，所以在單調遞增，即.②當時，令，解得，，的情況如下：x-0+單調遞減極小值單調遞增函數在單調遞減，即，不合題意.綜上，使在都成立的m的范圍是.（3）根據第（2）的結論，①當時，在單調遞增，且有唯一零點x=0，所以在區間上沒有零點；②當時，若，即時，在區間上有1個零點；若，即時，在區間上沒有零點；綜上，時，在區間上沒有零點：當時，在區間上有1個零點.典例2、答案：（1）；（2）；（3）．解:（1）時，，所以，所以，所以切線方程為：，即（2）設，，又不等式：恒成立，即恒成立，故是的極大值點，所以，得；另一方面，當時，，，在區間單調遞減，又，故在單調遞增，單調遞減，所以，即恒成立綜合上述：（3）由題意，即方程沒有實根，我們先把方程有實根時，的取值范圍求出，再關于取補集，不妨設：()，則方程變為，設函數，∵，在上遞增，（）設，則，所以在上增，在上減，(的圖象如圖)有實數解，結合，則，有即，所以方程有實根時，的取值范圍為所以方程沒有實根時，的取值范圍為．隨堂練習：答案：（1）（2）（3）解：（1）當時，，故，故在點處的切線方程為，化簡得．（2）由題意知有且只有一個根且有正有負．構建，則①當時，當時恒成立，在上單調遞增，因為，所以有一個零點，即為的一個極值點；②當時，當時恒成立，即無極值點；③當時，當；當，所以在單調遞減，在上單調遞增，故，若，則即.當時，，當時，,設，故，故在上為增函數，故，故，故當時，有兩個零點，此時有兩個極值點．當時，當時恒成立，即無極值點；綜上所述：．由題意知，對與任意的，使得恒成立，則，又要使取到最小值，則．當時，，故，所以的最小值為e；當時，當時，，所以無最小值，即無最小值；當時，由（2）得只有一個零點，即且當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，此時，因，所以代入得：，令，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，，此時，所以的最小值為．典例3、答案：（1）；（2）；（3）證明見解析.解：（1）因為，則，因為點在直線上，則，所以，，解得.（2）因為成立，則，當時，，下面證明，設，其中，則，令，則且不恒為零，所以，函數在上為增函數，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，所以，，即成立，所以，故實數的取值范圍為.（3）因為，所以，且兩個等號不同時成立，即，令，其中，則且不恒為零，所以函數在上單調遞增，且，當時，，即，所以當時，，即，此時函數不存在零點；當時，，而，此時，即，所以此時函數不存在零點；當時，，而，所以，即，所以此時函數不存在零點．綜上可得，時，函數不存在零點．隨堂練習：答案：（1）；（2）；（3）證明見解析.解：（1），而，所以在處的切線方程為：（2）由題意得：，因為，所以問題等價于在上恒成立，令，則，當時，恒成立，則在上單調遞增，又，所以當時，，不滿足題意，舍去；當時，因為時，；時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極大值且為最大值，即最大值為，所以，整理得：令，則，易得在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極大值，即最大值為，所以的解為．（3），設，則，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以在上有唯一零點，在上有唯一零點1；且當時，；當時，；當時，．因為，所以時的唯一極小值點．由得故，由得，．因為當時，在取得最小值，由得，．所以．典例4、答案：(1)x+y-1=0.(2).解:（1）因為，所以.所以又所以曲線在點處的切線方程為即.（2）由題意得，，所以.由，解得，故當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以.又，，若函數恰有兩個零點，則解得.所以實數的取值范圍為.隨堂練習：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由知，則，，所以，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）證明：記，則，當時，，在上單調遞增，，，則，使得；當時，，在上單調遞減，，，則，使得，當時，；當時，.故在上遞增，在上遞減，，，故當時，；當時，.綜上，有且僅有個零點.典例5、答案：（1）；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）．解：（1）當時，，，所以，．所以曲線在點處的切線方程為，即．（2）因為，定義域為，所以．①當時，與在上的變化情況如下：最大值所以在內單調遞增，在內單調遞減．②當時，與在上的變化情況如下：極大值極小值所以在，內單調遞增，在內單調遞減．③當時，，所以在上單調遞增．④當時，與在上的變化情況如下：極大值極小值所以在，內單調遞增，在內單調遞減．（3）由（2）可知：①當時，在內單調遞增，在內單調遞減，當時，取得最大值．（i）當時，，所以在上至多有一個零點，不符合題意．（ii）當時，．因為，，在內單調遞減，所以在內有唯一零點．因為，所以且．因為，，且在內單調遞增，所以在內有唯一零點．所以當時，恰有兩個零點．②當時，在，內單調遞增，在內單調遞減，因為當時，取得極大值，所以在上至多有一個零點，不符合題意．③當時，在上單調遞增，所以在上至多有一個零點，不符合題意．④當時，在，內單調遞增，在內單調遞減．因為當時，取得極大值，所以在上至多有一個零點，不符合題意．綜上所述，實數的取值范圍是．典例6、答案：（1）