21世紀教育網精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數學--概率專題八知識點一寫出簡單離散型隨機變量分布列,計算條件概率,求離散型隨機變量的均值典例1、在一次數學隨堂小測驗中，有單項選擇題和多項選擇題兩種．單項選擇題，每道題四個選項中僅有一個正確，選擇正確得分，選擇錯誤得分；多項選擇題，每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得分，部分選對得分，有選擇錯誤的得分．（1）小明同學在這次測驗中，如果不知道單項選擇題的答案就隨機猜測．已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機猜測的概率都是．問小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項選擇題正確答案的概率．（2）小明同學在做多選題時，選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知某個多項選擇題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據自己的經驗隨機選擇，記小明做這道多項選擇題所得的分數為，求的分布列及數學期望．隨堂練習：某單位有A，B兩家餐廳提供早餐與午餐服務，甲、乙兩人每個工作日早餐和午餐都在單位用餐，近100個工作日選擇餐廳用餐情況統計如下（單位：天）：選擇餐廳（早餐，午餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30204010乙20251540假設用頻率估計概率，且甲、乙選擇餐廳用餐相互獨立．（1）估計一天中甲選擇2個餐廳用餐的概率；（2）記X為一天中甲用餐選擇的餐廳的個數與乙用餐選擇的餐廳的個數之和，求X的分布列和數學期望E（X）；（3）判斷甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，哪位更有可能在午餐選擇B餐廳用餐？說明理由．典例2、為落實教育部的雙減政策，義務教育階段充分開展課后特色服務.某校初中部的籃球特色課深受學生喜愛，該校期末將進行籃球定點投籃測試，規則為：每人至多投3次，先在M處投一次三分球，投進得3分，未投進不得分，以后均在N處投兩分球，每投進一次得2分，未投進不得分.測試者累計得分高于3分即通過測試，并終止投籃.甲?乙兩位同學為了通過測試，進行了五輪投籃訓練，每人每輪在M處和N處各投10次，根據他們每輪兩分球和三分球的命中次數情況分別得到如下圖表：若以每人五輪投籃訓練命中頻率的平均值作為其測試時每次投籃命中的概率.（1）已知該校有300名學生的投籃水平與甲同學相當，求這300名學生通過測試人數的數學期望；（2）在甲?乙兩位同學均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.隨堂練習：某餐飲店餃子有水餃、蒸餃，面有帶湯面條、帶湯面塊、干拌面條、干拌面塊．其中蒸餃、干拌面條、干拌面塊是不把食物與湯混在一起盛的，稱為不帶湯食物，其余的都是把食物與湯混在一起的．（1）甲、乙、丙、丁四人各隨機在上述食品中選一種就餐．記事件A＝“恰有2人選擇面”，事件B＝“甲選擇不帶湯食物”，求；（2）若三名顧客在上述食物中各隨機選一種就餐，其中選擇餃子的人數是，求的分布列與數學期望．典例3、浙江省實行新高考改革方案以來，英語每年安排兩次考試，第一次在1月與選考科目同期進行，稱為“首考”，第二次在6月與語文、數學同期進行，稱為“老高考”，考生可選用其中一次較好的成績計入高考總分．英語在“首考”中“一考兩用”，成績既用于評定學業水平等級又可用于高考，學考合格后的考生，英語第二次考試成績僅用于高考，不計算學考等第.2022年1月“首考”中，英語成績達到117分及以上的考生，學考等第為A．某校為了解英語考試情況，隨機抽取了該校男、女各名學生在“首考”中的英語考試成績，情況如下表，并經過計算可得．男生女生A等非A等1、從名學生中隨機選擇1人，已知選到的學生英語學考等第為A，求這個學生是男生的概率；2、從名女生中任意選2人，記這2人中獲得A等的人數為，求的數學期望與方差．附：，其中．附表：隨堂練習：吃粽子是我國端午節的傳統習俗.現有一盤子粽子裝有10個，其中紅豆粽2個，肉粽3個，蛋黃粽5個，假設這三種粽子除餡料外外觀完全相同，從中任意選取3個.（1）求選取的三個粽子中恰有1個肉粽的概率；（2）求所選3個粽子有肉粽的條件下紅豆粽不少于1個的概率．（3）設ξ表示取到的紅豆粽個數，求ξ的分布列與期望.知識點二根據散點圖判斷是否線性相關,相關系數的計算,非線性回歸典例4、應對嚴重威脅人類生存與發展的氣候變化，其關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現“碳達峰”，而后實現“碳中和”，2020年第七十五屆聯合國大會一般性辯論上，習近平總書記向世界鄭重承諾：力爭在2030年前實現“碳達峰”，努力爭取在2060年前實現“碳中和”.近年來，國家積極發展新能源汽車，某品牌的新能源汽車寶雞地區銷售在2022年5月至2022年9月這5個月的銷售量（單位：輛）的數據如下表：月份2022年5月2022年6月2022年7月2022年8月2022年9月月份代碼：12345銷售量：4556646872（1）依據表中的統計數據，請判斷月份代碼與該品牌的新能源汽車寶雞地區銷售量（單位：輛）是否具有較高的線性相關程度?（參考：若，則線性相關程度一般，若，則線性相關程度較高，計算時精確度為0.01.）（2）求銷售量與月份代碼之間的線性回歸方程，并預測2022年11月份寶雞地區的銷售量（單位：輛）.（結果保留整數）參考數據：，，，參考公式：相關系數，線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.隨堂練習：我國北方廣大農村地區、一些城鎮以及部分大中城市的周邊區域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區冬季的霧霾天氣．推進北方地區冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關系北方地區廣大群眾溫暖過冬，關系霧霾天能不能減少，是能源生產和消費革命、農村生活方式革命的重要內容．2017年9月國家發改委制定了煤改氣、煤改電價格扶植新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加．圖1所示的條形圖反映了某省2018年1~7月份煤改氣、煤改電的用戶數量．（1）在圖2給定坐標系中作出煤改氣、煤改電用戶數量y隨月份t變化的散點圖，并用散點圖和相關系數說明y與t之間具有線性相關性；（2）建立y關于t的回歸方程（系數精確到0.01），預測11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數量．參考數據：，，．典例5、一個工廠在某年里連續10個月每月產品的總成本（萬元）與該月產量（萬件）之間有如下一組數據：x1.081.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過畫散點圖，發現可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以說明；（2）①建立月總成本與月產量之間的回歸方程；②通過建立的關于的回歸方程，估計某月產量為1.98萬件時，產品的總成本為多少萬元?（均精確到0.001）.附注：①參考數據：，，，，.②參考公式：相關系數，.隨堂練習：近年來，隨著社會對教育的重視，家庭的平均教育支出增長較快，某機構隨機調查了某市2015-2021年的家庭教育支出（單位：萬元），得到如下折線圖.（附：年份代碼1-7分別對應2015-2021年）.經計算得，.（1）用一元線性回歸模型擬合y與t的關系，求出相關系數r（精確到0.01），并說明y與t相關性的強弱；（2）建立y關于t的回歸直線方程；（3）若2023年該市某家庭總支出為10萬元，預測2023年該家庭的教育支出.附：①相關系數；②在回歸直線方程中，.典例6、根據統計，某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對應數據的散點圖，如圖所示．（1）依據數據的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請計算相關系數r并加以說明（若，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求y關于x的回歸方程，并預測當液體肥料每畝使用量為10千克時，西紅柿畝產量的增加量約為多少？附：相關系數公式．參考數據：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．隨堂練習：我國為全面建設社會主義現代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規劃．某企業為響應國家號召，匯聚科研力量，加強科技創新，準備增加研發資金．現該企業為了了解年研發資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規劃發展期間近10年年研發資金投入額和年盈利額的數據．通過對比分析，建立了兩個函數模型：①；②，其中、、、均為常數，為自然對數的底數．令，，經計算得如下數據：262156526805.36112501302.612（1）請從相關系數的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？（2）根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程；（系數精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額為250億元，請預測2021年的研發資金投入額為多少億元．（結果精確到0.01）人教A版數學--概率專題八答案典例1、答案：（1）（2）分布列見解析，數學期望解：（1）記事件為“該單項選擇題回答正確”，事件為“小明直到該題的正確答案”，，即小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，他知道這道單項選擇題正確答案的概率為.（2）由題意知：所有可能的取值為，設事件表示小明選擇了個選項，事件表示選擇的選項是正確的，；；的分布列為：則數學期望.隨堂練習：答案：（1）0.6（2）分布列見解析，期望為3（3）乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐解：（1）由統計圖表，一天中甲選擇2個餐廳用餐的天數為60，概率為；（2）易知的可能值是，，，，（2）的分布列為：2340.240.520.24．（3）甲在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為，乙在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為，所以乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐．典例2、答案：（1）（2）解：（1）甲同學兩分球投籃命中的概率為，甲同學三分球投籃命中的概率為，設甲同學累計得分為，則，則，所以甲同學通過測試的概率為.設這300名學生通過測試的人數為，由題設，所以.（2）乙同學兩分球投籃命中率為，乙同學三分球投籃命中率為.設乙同學累計得分為，則，.設“甲得分比乙得分高”為事件，“甲?乙兩位同學均通過了測試”為事件，則由條件概率公式可得.隨堂練習：答案：（1）（2）答案見解析解：（1）甲選擇不帶湯食物，這四人的選擇方法總數為，∴．若甲選擇蒸餃，則四人中恰有二人選擇面的方法總數為．若甲選擇干拌面條或干拌面塊，則四人中恰有二人選擇面的方法總數為．∴．所以．（2）由題意得所有可能取值為0，1，2，3．，，，．∴的分布列為0123P∴．典例3、答案：（1）（2）；解：（1）用表示事件“選到的學生學考等第為A等”，用表示事件“選到男生”，則．（2）由，而，可得．因為的可能取值為0，1，2．，，所以這2人種獲得A等人數的概率分布列為012數學期望方差隨堂練習：答案：（1）（2）（3）分布列見解析，解：（1）令A表示事件“三個粽子中有1個肉粽”，從中任意選取3個有種可能,其中恰有1個肉粽的可能選法有種,∴由古典概型的概率計算公式有.（2）所選3個粽子有肉粽的可能選法有種，所選3個粽子有肉粽的條件下紅豆粽不少于1個的選法有種，故所選3個粽子有肉粽的條件下紅豆粽不少于1個的概率為.（3）由題意知，ξ可能取的值為，則∴，，，故ξ的分布列為：012則的期望為.典例4、答案：（1）具有較高的線性相關程度（2），87輛解：（1）由表中數據可得，所以,又，，所以.所以月份代碼與銷售量（單位:輛）具有較高的線性相關程度，可用線性回歸模型擬合銷售量與月份代碼之間的關系；（2）由表中數據可得，則，所以，令，可得(輛)，故可預測2022年10月該品牌的新能源汽車該區域的銷售量為輛.隨堂練習：答案：（1）答案見解析（2），2.02萬戶解：（1）作出散點圖如圖所示．由條形圖數據和參考數據得，，，，，所以．（2）y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關性相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系．由，又由（1）得，，所以y關于t的回歸方程為．將代入回歸方程得．所以預測11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數量達到2.02萬戶．典例5、答案：（1）與正相關，且相關性很強（2）①；②解：（1）作出散點圖如圖所示：由已知條件和參考數據得：，這說明與正相關，且相關性很強；（2）①由已知求得，，∴所求回歸直線方程為.②當時，萬元，此時產品的總成本約為萬元.隨堂練習：答案：（1），相關性很強；（2）；（3）萬元.解：（1）由題意得，，則，故，故，∵，∴y與t高度相關，即y與t的相關性很強．（2）根據題意，得，，∴y關于t的回歸直線方程為．（3）2023年對應的年份代碼，當時，，故預測2023年該家庭的教育支出為（萬元）．典例6、答案：（1），說明見解析（2）；550千克解：（1）由已知