2024-2025學年高中數學第1章三角函數77.1正切函數的定義7.2正切函數的圖像與性質（教師用書）教案北師大版必修4課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內容分析本節課的主要教學內容是高中數學第1章三角函數的第7節，內容涵蓋7.1正切函數的定義和7.2正切函數的圖像與性質。學生將學習正切函數的基本概念、性質和圖像，這包括正切函數的周期性、奇偶性、單調性以及特殊點的坐標等。同時，學生將掌握如何利用單位圓和直角三角形來推導正切函數的定義，以及如何通過圖像理解正切函數的性質。

教學內容與學生已有知識的聯系：在學習本節內容之前，學生應該已經掌握了銳角三角函數的概念、單位圓的知識以及函數圖像的基本分析方法。這些知識將為學生理解正切函數的定義和性質打下堅實的基礎。同時，本節課的內容也為后續學習更復雜的三角函數和其他類型的函數圖像提供了必要的準備。二、核心素養目標分析本節課旨在培養學生的數學核心素養，主要包括邏輯推理、數學建模、直觀想象和數學運算四個方面。

首先，通過學習正切函數的定義和性質，學生將能夠運用邏輯推理能力，從特殊到一般，理解并證明正切函數的周期性和奇偶性。

其次，學生在學習正切函數圖像的過程中，將運用數學建模能力，通過觀察單位圓和直角三角形的幾何關系，建立正切函數圖像與參數之間的關系。

同時，本節課要求學生能夠運用直觀想象能力，通過觀察和分析正切函數的圖像，理解其單調性和特殊點的坐標，從而更好地把握函數的性質。

最后，學生在解決與正切函數相關的問題時，將運用數學運算能力，熟練掌握三角函數的基本公式和運算方法。三、學習者分析1.學生已經掌握了相關知識：在開始學習正切函數之前，學生應該已經掌握了初中階段的三角函數基礎知識，包括正弦函數和余弦函數的定義、圖像和性質。此外，學生還應該具備一定的函數圖像分析能力和單位圓的使用經驗。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：對于大多數學生而言，數學函數的學習是一個逐步深入的過程，他們可能對直觀的、具有實際背景的數學問題更感興趣。學生在學習函數時，通常具備一定的邏輯推理能力和直觀想象能力，但部分學生可能對函數圖像的分析和幾何關系的建立感到挑戰。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：在學習正切函數的定義時，學生可能對利用單位圓和直角三角形來推導正切函數的概念感到困惑，特別是在理解正切函數的周期性和奇偶性時。在分析正切函數圖像時，學生可能對如何從圖像中提取函數性質、如何利用圖像解決實際問題等方面遇到挑戰。此外，部分學生可能在從具體例子到一般結論的推理過程中，出現邏輯推理不嚴密、結論不完整的情況。四、教學方法與手段1.教學方法

（1）講授法：在講授正切函數的定義和性質時，教師可以通過邏輯推理的方式，引導學生理解正切函數的概念，并通過講解特殊例子，使學生掌握正切函數的性質。

（2）討論法：在學習正切函數圖像時，教師可以組織學生進行小組討論，讓學生分享各自對圖像的理解，從而提高學生對正切函數圖像與性質的認識。

（3）實驗法：在學習正切函數的圖像與性質時，教師可以引導學生利用教學軟件或數學畫圖工具，自己繪制正切函數的圖像，從中觀察和分析函數的性質。

2.教學手段

（1）多媒體設備：教師可以利用多媒體設備展示正切函數的圖像，通過動態演示函數的變化，幫助學生更好地理解正切函數的性質。

（2）教學軟件：教師可以引導學生使用教學軟件，如幾何畫板、Matlab等，進行正切函數圖像的繪制和分析，提高學生對函數圖像的理解。

（3）在線資源：教師可以推薦一些在線數學學習資源，如KhanAcademy、Zhihu等，讓學生在課后自主學習，鞏固所學知識。

（4）習題訓練：教師可以設計一些具有挑戰性的習題，讓學生通過練習鞏固正切函數的知識，提高學生的數學運算能力。

（5）教學反饋：教師可以通過課堂提問、作業批改等方式，及時了解學生的學習情況，針對學生的困難進行有針對性的輔導。五、教學流程一、導入新課（用時5分鐘）

同學們，今天我們將要學習的是《正切函數的定義和圖像與性質》這一章節。在開始之前，我想先問大家一個問題：“你們在日常生活中是否遇到過需要用到正切函數的情況？”（舉例說明）這個問題與我們將要學習的內容密切相關。通過這個問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索正切函數的奧秘。

二、新課講授（用時10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解正切函數的基本概念。正切函數是……（詳細解釋概念）。它是……（解釋其重要性或應用）。

2.案例分析：接下來，我們來看一個具體的案例。這個案例展示了正切函數在實際中的應用，以及它如何幫助我們解決問題。

3.重點難點解析：在講授過程中，我會特別強調正切函數的周期性和奇偶性這兩個重點。對于難點部分，我會通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實踐活動（用時10分鐘）

1.分組討論：學生們將分成若干小組，每組討論一個與正切函數相關的實際問題。

2.實驗操作：為了加深理解，我們將進行一個簡單的實驗操作。這個操作將演示正切函數的基本原理。

3.成果展示：每個小組將向全班展示他們的討論成果和實驗操作的結果。

四、學生小組討論（用時10分鐘）

1.討論主題：學生將圍繞“正切函數在實際生活中的應用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵提出自己的觀點和想法，并與其他小組成員進行交流。

2.引導與啟發：在討論過程中，我將作為一個引導者，幫助學生發現問題、分析問題并解決問題。我會提出一些開放性的問題來啟發他們的思考。

3.成果分享：每個小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結回顧（用時5分鐘）

今天的學習，我們了解了正切函數的基本概念、重要性和應用。同時，我們也通過實踐活動和小組討論加深了對正切函數的理解。我希望大家能夠掌握這些知識點，并在日常生活中靈活運用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請隨時向我提問。六、知識點梳理本節課的主要教學內容是高中數學第1章三角函數的第7節，內容涵蓋7.1正切函數的定義和7.2正切函數的圖像與性質。以下是本節課需要掌握的知識點：

1.正切函數的定義：通過單位圓和直角三角形推導出正切函數的定義，理解正切函數的周期性、奇偶性以及特殊點的坐標。

2.正切函數的圖像：分析正切函數的圖像，掌握其單調性、奇偶性以及特殊點的坐標。

3.正切函數的性質：通過圖像和定義推導出正切函數的性質，包括周期性、奇偶性、單調性等。

4.正切函數的應用：解決實際問題，如計算三角形的邊長、角度等。

5.正切函數的周期性：理解正切函數的周期性，掌握周期公式，能夠求解正切函數的周期。

6.正切函數的奇偶性：判斷正切函數的奇偶性，掌握正切函數的奇偶性質。

7.正切函數的單調性：分析正切函數的單調性，掌握其增減規律。

8.正切函數的特殊點：掌握正切函數的特殊點，如原點、無窮遠點等，并了解其坐標。

9.正切函數的圖像分析：通過觀察正切函數的圖像，能夠分析出函數的性質，如單調區間、奇偶性等。

10.正切函數的性質應用：利用正切函數的性質解決實際問題，如計算三角形的邊長、角度等。七、板書設計1.正切函數的定義：

-利用單位圓和直角三角形推導出正切函數的定義

-強調正切函數的周期性、奇偶性以及特殊點的坐標

2.正切函數的圖像：

-分析正切函數的圖像，突出其單調性、奇偶性以及特殊點的坐標

-通過圖像展示正切函數的性質，如增減規律、奇偶性等

3.正切函數的性質：

-列出正切函數的性質，包括周期性、奇偶性、單調性等

-通過舉例和比較來解釋難點部分，如周期性和奇偶性的區別

4.正切函數的應用：

-給出實際問題，讓學生通過計算解決，如計算三角形的邊長、角度等

-強調正切函數在實際中的應用價值

5.正切函數的周期性：

-介紹正切函數的周期性，強調周期公式及其應用

-通過示例來解釋周期性，如正切函數的周期性與角度的關系

6.正切函數的奇偶性：

-判斷正切函數的奇偶性，強調奇偶性質的應用

-通過示例來解釋奇偶性，如正切函數的奇偶性與角度的關系

7.正切函數的單調性：

-分析正切函數的單調性，突出其增減規律

-通過示例來解釋單調性，如正切函數的單調性與角度的關系

8.正切函數的特殊點：

-列出正切函數的特殊點，如原點、無窮遠點等

-強調特殊點的坐標及其重要性

9.正切函數的圖像分析：

-通過觀察正切函數的圖像，分析出函數的性質，如單調區間、奇偶性等

-強調圖像分析方法和對函數性質的理解

10.正切函數的性質應用：

-利用正切函數的性質解決實際問題，如計算三角形的邊長、角度等

-強調性質在實際問題中的應用方法和技巧八、反思改進措施（一）教學特色創新

1.引入生活實例：在講授正切函數的定義和性質時，引入生活實例，如建筑施工中的角度測量，讓學生感受到正切函數在實際生活中的應用，激發學生的學習興趣。

2.利用多媒體技術：通過多媒體技術，如動畫、視頻等，展示正切函數的圖像和性質，使抽象的概念更直觀、形象，便于學生理解和記憶。

3.組織小組討論：在學習正切函數的圖像和性質時，組織小組討論，鼓勵學生分享自己的觀點和想法，提高學生的參與度和思考能力。

（二）存在主要問題

1.教學管理：在組織小組討論時，發現部分學生參與度不高，需要加強對學生的引導和管理，提高學生的參與度。

2.教學方法：在講授正切函數的性質時，發現部分學生對概念的理解不夠深入，需要改進教學方法，如增加實例分析、問題引導等，幫助學生更好地理解和掌握概念。

3.教學評價：在評價學生的學習效果時，發現評價方式較為單一，需要增加多種評價方式，如口頭報告、小組作業等，全面評價學生的學習成果。

（三）改進措施

1.加強對學生的引導和管理：在組織小組討論時，加強對學生的引導和管理，鼓勵學生積極參與，提高學生的參與度和思考能力。

2.改進教學方法：在講授正切函數的性質時，增加實例分析、問題引導等教學方法，幫助學生更好地理解和掌握概念。

3.增加多種評價方式：在評價學生的學習效果時，增加多種評價方式，如口頭報告、小組作業等，全面評價學生的學習成果。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

今天，我們學習了正切函數的定義和性質，以及如何通過圖像來分析和理解這些性質。正切函數是三角函數中的一種，它在實際應用中非常重要，例如在建筑、工程、物理等領域。我們通過單位圓和直角三角形推導出了正切函數的定義，并分析了它的周期性、奇偶性以及單調性。我們還通過圖像來直觀地理解了這些性質，并解決了一些實際問題。

當堂檢測：

1.請解釋正切函數的定義，并給出一個具體的例子。

2.請描述正切函數的周期性，并說明如何計算正切函數的周期。

3.請判斷正切函數的奇偶性，并給出判斷的依據。

4.請分析正切函數的單調性，并說明正切函數在不同區間上的增減情況。

5.請通過圖像分析，解釋正切函數的單調性和奇偶性。

6.請給出一個實際問題，并利用正切函數的性質來解決它。

7.請解釋正切函數在實際應用中的重要性，并給出一個具體的例子。

8.請描述正切函數的圖像特征，并解釋它們如何反映正切函數的性質。

9.請通過圖像分析，解釋正切函數的圖像特征，并判斷正切函數的性質。

10.請解釋正切函數的性質如何幫助我們理解和解決實際問題。課后作業1.請解釋正切函數的定義，并給出一個具體的例子。

2.請描述正切函數的周期性，并說明如何計算正切函數的周期。

3.請判斷正切函數的奇偶性，并給出判斷的依據。

4.請分析正切函數的單調性，并說明正切函數在不同區間上的增減情況。

5.請通過圖像分析，解釋正切函數的單調性和奇偶性。

例如題型：

1.定義題型：請解釋正切函數的定義，并給出一個具體的例子。答案：正切函數定義為直角三角形中，對邊與鄰邊的比值。例如，在直角三角形中，如果對邊為5，鄰邊為3，則正切值為5/3。

2.周期性題型：請描述正切函數的周期性，并說明如何計算正切函數的周期。答案：正切函數的周期為π，因為正切函