第6頁共7頁第一講電磁感應中的導軌問題（一）（教師版）前言研究兩根平行導體桿沿導軌垂直磁場方向運動是力電知識綜合運用問題，是電磁感應部分的非常典型的習題類型，因處理這類問題涉及到力學和電學的知識點較多，綜合性較強，所以是學生練習的一個難點，下面就這類問題的解法舉例分析。在電磁感應中，有三類重要的導軌問題：1．發電式導軌；2．電動式導軌；3．雙動式導軌。導軌問題，不僅涉及到電磁學的基本規律，還涉及到受力分析，運動學，動量，能量等多方面的知識，以及臨界問題，極值問題。尤其是雙動式導軌問題要求學生要有較高的動態分析能力電磁感應中的雙動式導軌問題其實已經包含有了電動式和發電式導軌，由于這類問題中物理過程比較復雜，狀態變化過程中變量比較多，關鍵是能抓住狀態變化過程中變量“變”的特點和規律，從而確定最終的穩定狀態是解題的關鍵，求解時注意從動量、能量的觀點出發，運用相應的規律進行分析和解答。綜述：電磁感應中有一類關于導軌的習題，涉及運動學、牛頓定律、動量守恒及動量定理、能量關系等相關知識，現按不同標準分類如下：一．按運動類型分1.1利用楞次定律的“阻礙”作用，分析問題。例1：MN、PO為固定水平光滑直導軌，a、b為金屬棒，磁場垂直導軌平面，⑴若磁場均勻，a棒有向右初速度V0，則b如何運動？⑵若a、b原先靜止，當磁場均勻變化時，它們如何運動？解析：⑴由楞次定律可知，b棒應向右加速，a則減速，最后兩者達到共速；并且在達到共速前，始終有Vb<Va；因為兩者所受安培力等值反向，所以整體合力為0，動量守恒，MaV0=(Ma+Mb)V共∴V共=MaV0/(Ma+Mb)⑵若磁場均勻變小，a、b分開運動，即反向運動；若磁場變大，它們相向運動。1.2在恒定外力作用下，做勻速運動例2：長為L、電阻r=0.3Ω、質量M=0.1㎏的金屬棒OD垂直跨在位于水平面上的兩條平行光滑金屬導軌上，兩導軌的間距也為L，棒與導軌接觸良好，導軌電阻不計，導軌左端接有R=0.5Ω的電阻，量程0～3.0A的電流表串接在一條導軌上，量程為0～1.0V的電壓表接在電阻R的兩端。垂直導軌平面的勻強磁場向下穿過平面，現用向右恒定的外力F使金屬棒以V=2m/s向右勻速滑動，觀察到電路中的一個電表正好滿偏，而另一個電表未滿偏，則滿偏的電表是哪個表？拉動金屬棒的外力F多大？解析：⑴應是電壓表滿偏。此時U=1.0V，I=U/R=2.0A<3.0A⑵電動勢ε=BLV=I(R+r)=1.6V∴BL=0.8又∵勻速F外=FA=BIL=0.8×2=1.6N1.3只在安培力作用下做變減速運動例3：在例2中，若撤去外力F，此后金屬棒將如何運動？從撤去外力開始，通過電阻R的電荷量Q是多少？解析：撤去外力后，金屬棒只受安培力而做加速度越來越小的變減速運動，逐漸慢下來，最后停下來。對金屬棒用動量定理，∴Q=mv/BL=0.25c1.4在恒定外力下做變加速運動例4：質量m,長度為L，電阻為R的金屬棒ab，接在豎直放置的“門”型金屬框架上組成閉合回路，框架置于磁感應強度為B的勻強磁場中，棒ab在框架上滑動始終保持水平，所受摩擦力為f，框架電阻不計，當棒ab從靜止下滑，達到穩定速度時，電路的電功率是多少？解析：棒ab下滑后，受到重力、摩擦力、安培力的作用做加速度減小的加速運動，直到達到穩定速度。穩定時，mg=f+FA,FA=BIL=B2L2V/R∴P=FAV=(mg-f)2R/(B2L2)例5：兩根豎直放置在絕緣地面上的金屬框架的上端接有一電容量為C的電容器，框架上有一質量為m，長度為L的金屬棒，平行于地面放置，與框架接觸良好且無摩擦，棒離地面的高度為h,磁感應強度為B的勻強磁場與框架平面垂直，開始時電容器不帶電，將棒由靜止釋放，則棒落地時速度多大？解析：對金屬棒分析：設其加速度為a，ma=mg－FA=mg－BIL在△t（△t→0）時間內，電容器上的電量變化為△Q=C△U=CBL△V=CBLa△t所以，I=△Q/△t=CBLa所以，ma=mg－BIL=mg－B2L2Caa==恒量，因此金屬棒作勻加速運動∴1.5在變力作用下做勻加速運動例6：如圖甲，一對平行光滑導軌放在水平面上，兩軌道間距L=0.20m,電阻R=1Ω；有一導體棒靜止放在軌道上，與兩軌道垂直，棒與軌道的電阻都忽略不計。現有一外力F沿軌道方向拉棒，使之做勻加速運動，測得力F與時間t的關系如圖乙所示。求棒的質量m和加速度a.解析：物體做勻加速運動，由牛頓第二定律可知F－FA=maFA=BIL=B2L2V/RV=at∴F=ma+B2L2at/R從圖線乙中任取兩組坐標[如（0s，1.5N）、(30s，4.5N)代入，可求得a=10m/s2,m=0.15㎏1.6外力以恒定功率拉動棒例7：兩光滑導軌水平放置在勻強磁場中。磁場垂直導軌所在平面，金屬棒ab可沿導軌自由滑動，導軌一端接一個定值電阻R，導軌電阻不計。現將金屬棒沿導軌由靜止向右拉，若保持拉力恒定，經時間t1后速度為v，加速度為a1，最終以速度2v做勻速直線運動；若保持拉力的功率恒定經時間t2后，速度為v，加速度為a2，最終也以速度2v做勻速直線運動，則a1與a2的關系怎樣？解析：F恒定時，ma1=F－FA速度為v時，FA=B2L2v/(R+r)r為金屬棒ab的電阻勻速時，速度為2v,a=0,F=B2L22v/(R+r)∴ma1=B2L2v/(R+r)拉力F的功率恒定時，ma2=F－FA速度為v時，F=P/vFA=B2L2v/(R+r)勻速時，a=0,F’=FA’=B2L22v/(R+r)=P/2v∴ma2=3B2L2v/(R+r)=3a1即a2=3a1二、按導軌是否固定分2.1導軌固定：上述所有例題都是導軌固定的情況。2.2導軌自由例8：矩形金屬線框abcd質量為4m,ab邊和cd邊的電阻均為R，ad邊bc邊足夠長且電阻不計。金屬棒ef質量m，電阻為R，與線框的ad邊和bc邊接觸良好，且無摩擦。開始時將線框靜止放在絕緣且光滑的水平面上，范圍足夠大的勻強磁場處置于線框平面，使金屬棒ef以初速度V0向右運動，求金屬棒ef最終的速度和其上產生的焦耳熱。解析：運動后某時刻，設ef中的電流是I，則abcd中的電流各為I/2，所以，ef所受的安培力FA=BIL，方向向左，abcd所受的安培力FA1=FA2=BIL/2，方向都向右，所以矩形框架abcd和金屬棒ef的合力等于0，系統動量守恒mV0=5mV,即V=V0/5所以ef的最終速度為V0/5，向右；由能量關系，系統產生的焦耳熱等于系統損失的動能，Q總=mV02/2－5mV2/2=2mV02/5,又Qab︰Qcd︰Qef=1︰1︰4∴Qef=4mV02/15例9：例8中若金屬線框固定，則ef的最終速度和其上產生的焦耳熱又是多少？解析：ef最終停下來，V=0Q總=mV02/2Qef=mV02/3三、按導軌所處平面分3.1導軌處于水平面內，如上面例1、2、3、6、7、8、9；3.2導軌處于豎直面內，如上面例4、5；3.3導軌處于斜面上例10：MN、PQ為相距L的光滑平行導軌，導軌平面于水平方向成θ角，導軌位于方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中。在時刻t1=0時，質量為m的導體棒ab由靜止下滑，在時刻t2=T，ab已在做速度為v的勻速直線，設M、P間接一阻值為R的電阻，其余電阻均不計，在時間T內，磁場力對ab的沖量大小為多少？磁感應強度多大？解析：由動量定理，mgsinθ·T－IA=mv－0∴IA=mgsinθ·T－mv勻速時合外力為0，mgsinθ=FA=B2L2v/R∴例11：在于水平面成θ角的矩形導電框架范圍內，有垂直于框架平面斜向上、磁感應強度為B的勻強磁場，框架ad、bc部分足夠長，且電阻不計，，ab、cd部分的電阻均為R，長度均為L，有一質量為m，電阻為2R，夾于ad、bc之間的金屬裸導線，從圖示位置無摩擦地平行于ab沿框架上沖，上沖初速度未知，其所能到達的離圖示位置的最大高度未h，此過程中ab上發熱Q，，求ab的最大發熱功率。解析：由動能定理，0－mV02/2=－mgh－WA=－mgh－Q總Qab︰Qcd︰Q棒=（I/2）2R︰（I/2）2R︰I22R=1Q︰1Q︰8Q∴Q總=10QV02=2gh+20Q/m又Pab=Iab2R=（0.5BLV/2.5R）2Rab棒一直做減速運動，所以速度為V0時最大，Pabmax=B2L2（20Q+2mgh）/25mR四、按導軌形狀分類4.1平行等距導軌，上述所有例題中的導軌都屬于此類別；4.2平行不等距導軌例12：無限長的光滑平行導體框架MON、xo’y水平放置，左右兩側的寬度分別為L1、L2，且L1=2L2=2L，勻強磁場垂直紙面向里，范圍足夠大，磁感應強度為B兩根金屬棒a、b的質量分別為Ma=2Mb=2m，電阻分別為Ra=2Rb=2R，導軌電阻不計，初始金屬棒a、b離OO’足夠遠。⑴若開始時金屬棒b靜止，而給金屬棒a一個水平向右的初速V0，求此時b棒的加速度？⑵若使棒a、b同時獲得相向的速度，大小分別為Va、Vb，且Vb=2Va=2V0，求在以后過程中b棒的最小速度。解析；⑴Vb=0，E=B2LV0，I=E/3R，FAb=BILa=2B2L2V0/3Mr⑵∵a、b棒所受安培力大小不相等，∴合外力不為0，動量不守恒。a、b棒所受安培力大小之比FAa︰FAb=L1︰L2=2︰1…①b棒的加速度之比a1︰a2=1︰1，又Vb=2Va=2V0所以，a先減速到0后反向（向左）加速，b一直減速，最終兩者一起勻速，勻速時b的速度為其最小速度。以向左為正方向，對a、b分別用動量定理a：FAa·t=2mVa’－(－2mV0)……②b：FAb·t=mVb’－m2V0…………③且勻速時應有△φ=B△S=0，即Va’·t·2L=Vb’·t·L∴Va’︰Vb’=1︰2………④聯立上述四式，解得Va’=V0/3向左Vb’=2V0/3向左4.3圓形導軌例13：一個粗細均勻、電阻為2R的金屬圓環，放置在垂直于紙面向里的勻強磁場中，其直徑為L，將長也L、電阻為R/2的金屬棒ab放置在金屬圓環上，并以速率v勻速向右，當ab運動到圖示位置時，θ=60°，ab兩端的電勢差為多少？解析：電動勢E=BLV，圓環左右兩部分并聯與cd部分串聯，Uac=Udb=BL（1－sinθ）V/2Ecd=BLsinθV圓環左右兩部分電阻分別為R1=4R/3，R2=2R/3，cd部分電阻為r=Rsinθ/2電路中電流I=Ecd/（R1//R2+r）Ucd=E－Ir=∴Uab=Uac+Udb+Ucd=，且b端電勢高。4.4三角形軌道例14：三角形金屬框架MON平面與勻強磁場B垂直，導體ab能緊貼金屬框運動，當導體從O點看勢向右勻速平動時，速率為V，則回路Obc中感應電動勢隨時間變化的函數關系怎樣？解析；E=BLcbV=B（V·t·tg30°）V=BV2tg30°·t4.5正弦形導軌例15：勻強磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B=0.40T，OCA導軌與OA直導軌分別在O點和A點接一阻值R1=3.0Ω和R2=6.0Ω幾何尺寸可忽略的定值電阻，導軌OCA的曲線方程為y=1.0sin(πx/3)(m)，金屬棒ab長1.5米，以速度v=5.0m/s水平向右勻速運動。（b點始終在x軸上），設金屬棒與導軌接觸良好，摩擦不計，電路中除了電阻R1、R2外，其余電阻不計，曲線OCA與x軸之間所圍面積越為1.9㎡。求：⑴金屬棒在導軌上運動時R1的最大功率⑵金屬棒在導軌上運動從x=0到x=3m的過程中通過金屬棒ab的電量⑶金屬棒在導軌上運動從x=0到x=3m的過程中，外力必須做多少功？解析：⑴金屬棒切割產生的電動勢ε=ByV=BVsin(πx/3)R1上產生的功率P1=ε2/R1當sin(πx/3)=1，即x=1.5m時P1max=（0.4×5.0×1）2/3.0=4/3w⑵Q=It=△φ/R總=BS（R1+R2）/R1R2=0.38C⑶由動能定理W外－WA=0－0WA=E有效2t/R總t=OA/v=0.6s而金屬棒產生的電動勢ε=BVsin(πx/3)是按正弦變化的∴∴W外=0.6J1.不等間距型圖中a1b1c1d1和a2b2c2d2為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌所在的平面(紙面)向里。導軌的a1b1段與a2b2段是豎直的．距離為小l1，c1d1段與c2d2段也是豎直的，距離為l2。x1y1與x2y2為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為m1和m2，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸。兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R。F為作用于金屬桿x1y1上的豎直向上的恒力。已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用于兩桿的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率。(04全國2)【解析】設桿向上運動的速度為，因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少。由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小①回路中的電流v②電流沿順時針方向。兩金屬桿都要受到安培力作用，作用于桿的安培力為③方向向上，作用于桿的安培力方向向下。當桿作勻速運動時，根據牛頓第二定律有⑤解以上各式，得⑥⑦作用于兩桿的重力的功率的大小⑧電阻上的熱功率v⑨由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得vv2在水平導軌上的“雙桿滑動”問題不等間距水平導軌，無水平外力作用（安培力除外）如圖所示，光滑導軌EF、GH等高平行放置，EG間寬度為FH間寬度的3倍，導軌右側水平且處于豎直向上的勻強磁場中，左側呈弧形升高。ab、cd是質量均為m的金屬棒，現讓ab從離水平軌道h高處由靜止下滑，設導軌足夠長。試求：(1)ab、cd棒的最終速度；(2)全過程中感應電流產生的焦耳熱。【解析】ab下滑進入磁場后切割磁感線，在abcd電路中產生感應電流，ab、cd各受