第四章指數函數與對數函數4.5函數的應用(二)4.5.2用二分法求方程的近似解學習目標素養要求1．探索用二分法求方程近似解的思路邏輯推理2．能用二分法求出方程的近似解數學運算邏輯推理|自學導引|

二分法的定義對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且________________的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間______________，使所得區間的端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)＜0

一分為二【預習自測】二分法求函數的零點的近似值適合于 (

)A．零點兩側函數值異號 B．零點兩側函數值同號C．都適合 D．都不適合【答案】A【解析】由函數零點的存在定理可知選A．

二分法求函數零點近似值的步驟f(a)·f(b)＜0

f(c)＝0

f(c)·f(b)＜0

a＝c

【預習自測】用“二分法”求方程x3＋x－4＝0在區間(1，2)內的實數根，第一步取區間中點x＝1.5進行判斷，那么下一個取的點是x＝____________．【答案】1.25|課堂互動|題型1二分法概念的理解

(1)下列函數中，不能用二分法求零點的是 (

)

A

B

C

D(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區間(1，3)內的根，取區間的中點為x0＝2，那么下一個有根的區間是____________．【答案】(1)B

(2)(1，2)【解析】(1)觀察圖象與x軸的交點，若交點附近的函數圖象連續，且在交點兩側的函數值符號相異，則可用二分法求零點，故B不能用二分法求零點．(2)設f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零點所在的區間為(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的區間是(1，2)．運用二分法求函數的零點應具備的條件(1)函數圖象在零點附近連續不斷．(2)在該零點左右的函數值異號．只有滿足上述兩個條件，才可用二分法求函數零點．1．下列函數中不能用二分法求零點的是 (

)A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx【答案】C【解析】f(x)＝|x|≥0，函數圖象上不存在兩側函數值符號相異的點．故選C．題型2用二分法求函數的零點用二分法求函數f(x)＝x3－x－1在區間[1，1.5]內的一個零點．(精確度0.01)解：經計算，f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函數在[1，1.5]內存在零點x0．取區間(1，1.5)的中點x1＝1.25，經計算f(1.25)＜0，因為f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)．如此繼續下去，得到函數的一個零點所在的區間，如下表：(a，b)(a，b)的中點中點函數值符號(1，1.5)1.25f(1.25)＜0(1.25，1.5)1.375f(1.375)＞0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)＜0(1.3125，1.375)1.34375f(1.34375)＞0(1.3125，1.34375)1.328125f(1.328125)＞0(1.3125，1.328125)1.3203125f(1.3203125)＜0因為|1.328125－1.3203125|＝0.0078125＜0.01，所以函數f(x)＝x3－x－1的一個精確度為0.01的近似零點可取為1.328125．用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則(1)需依據圖象估計零點所在的初始區間[m，n](一般采用估計值的方法完成)．(2)取區間端點的平均數c，計算f(c)，確定有解區間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區間的“長度”，直到區間的長度不大于精確度，終止計算，得到函數零點的近似值．2．證明函數f(x)＝2x＋3x－6在區間(1，2)內有唯一一個零點，并求出這個零點．(精確度0.1)解：因為f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又因為f(x)在(1，2)內單調遞增，所以函數f(x)＝2x＋3x－6在區間(1，2)內有唯一的零點，則方程6－3x＝2x在區間(1，2)上有唯一一個實數解，設該解為x0，則x0∈(1，2)，下面用二分法求解．因為|1.1875－1.25|＝0.0625＜0.1，所以函數f(x)＝2x＋3x－6的精確度為0.1的近似零點可取為1.25．題型3用二分法求方程的近似解用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一個正實數近似解．(精確度0.1)解：令f(x)＝2x3＋3x－3，經計算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，所以函數f(x)在(0，1)內存在零點，即方程2x3＋3x＝3在(0，1)內有解．取(0，1)的中點0.5，經計算，f(0.5)＜0，又因為f(1)＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)內有解．如此繼續下去，得到方程的正實數根所在的區間，如表：由于|0.6875－0.75|＝0.0625＜0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一個精確度為0.1的正實數近似解可取為0.6875．用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)思路：求方程f(x)＝0的近似解，可按照用二分法求函數零點近似值的步驟求解．(2)方法：對于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉化成求函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點的近似值，然后按照用二分法求函數零點的近似值的步驟求解．3．用二分法求方程x2＝2x＋1的一個近似解．(精確度0.1)解：設f(x)＝x2－2x－1．因為f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以可以確定區間(2，3)作為計算的初始區間．用二分法逐步計算，列表如下：由上表的計算可知，|2.375－2.4375|＝0.0625＜0.1．因此可以選取區間(2.375，2.4375)上的任意一個數，例如取2.4作為函數的一個零點，從而方程x2＝2x＋1的一個近似解為2.4．易錯警示函數零點存在定理使用不當若函數f(x)在區間[－2，2]上的圖象是連續不斷的曲線，且f(x)在(－2，2)內有一個零點，則f(－2)·f(2)的值 (

)A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不能確定錯解：由函數零點存在定理知f(－2)·f(2)＜0，故選B．易錯防范：沒有正確理解函數零點的含義及存在性，若函數f(x)在(－2，2)內有一個零點，且該零點為“變號零點”，則f(－2)·f(2)＜0，否則f(－2)·f(2)≥0．防范措施是正確理解“零點存在定理”，即如果函數f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么函數f(x)在區間(a，b)內有零點．函數零點又分為“變號零點”和“不變號零點”，函數零點定理僅適用于“變號零點”，對“不變號零點”無能為力．正解：f(x)可能在端點處取得零點，即f(－2)·f(2)可以等于0；f(x)＝x2在x＝0處取得零點，但f(－2)·f(2)＞0；f(x)＝x在x＝0處取得零點，但f(－2)·f(2)＜0．故選D．|素養達成|1．二分法就是通過不斷地將所選區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，直至找到零點附近足夠小的區間，根據所要求的精確度，用此區間的某個數值近似地表示真正的零點(體現了邏輯推理核心素養)．2．并非所有函數都可以用二分法求其零點，只有滿足下面個條件，方可采用二分法求得零點的近似值．(1)在區間[a，b]上連續不斷；(2)f(a)·f(b)＜0．1．(題型1)下列函數中能用二分法求零點的是 (

)【答案】C

A

B

C

D

【解析】在A和D中，函數雖有零點，但它們均是不變號零點，因此它們都不能用二分法求零點．在B中，函數無零點．在C中，函數圖象是連續不斷的，且圖象與x軸有交點，并且其零點為變號零點，所以C中的函數能用二分法求其零點．2．(題型2)某同學用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)內近似解的過程中，設f(x)＝3x＋3x－8，且計算f(1)＜0，f(2)＞0，f(1.5)＞0，則該同學在第二次應計算的函數值為 (

)A．f(0.5) B．f(1.125)C．f(1.25) D．f(1.75)【答案】C3．(題型1)(2022年葫蘆島期末)用二分法求函數f(x)＝x3＋5的零點可以取的初始區間是 (

)A．[－2，1] B．[－1，0]C．[0，1] D．[1，2]【答案】A【解析】f(－2)＝(－2)3＋5＝－8＋5＝－3＜0，f(1)＝1＋5＝6＞0，∴f(－2)·f(1)＜0．故選A．4．(題型2)某方程有一無理根在區間D＝(1，3)內，若用二分法求此根的近似值，將D等分____________次后，所得近似值可精確到0.1．【答案】55．(題型3)判定方程3x－x2＝0在區間[1，2]內是否有實數解．若有，求出精確