3/38.6.1-雙曲線的定義、方程與性質雙曲線的定義及應用【例1】（1）已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，則cos∠F1PF2＝；（2）已知F是雙曲線x24－y212＝1的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的一動點，則｜PF｜＋｜PA聽課記錄解題技法雙曲線定義的應用主要有兩個方面1.已知動點M（x，y）滿足（x+2）2＋y2－（xA.射線 B.直線C.橢圓 D.雙曲線的一支2.雙曲線x216－y29＝1的左、右焦點分別為F1，F2，在左支上過點F1的弦AB的長為5，那么△ABF2A.12 B.16C.21 D.26雙曲線的標準方程【例2】（1）雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）過點（2，3），且離心率為A.x2－y23＝1 B.x23C.x2－y23＝1 D.x23（2）在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A（－3，0），B（3，0），其內切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為（）A.x24－y25＝1（x＞2） B.x29－yC.x29＋y25＝1（0＜x＜2） D.x29＋y24聽課記錄解題技法求雙曲線標準方程的兩種方法（1）待定系數法：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出參數a，b，c的方程（組）并求出a，b，c的值；（2）定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出a的值，由定點位置確定c的值.提醒求雙曲線的標準方程時，若焦點位置不確定，要注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.1.焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線y24－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標準方程是2.經過點P（3，27），Q（－62，7）的雙曲線的標準方程為.雙曲線的幾何性質考向1雙曲線的漸近線【例3】（1）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距為25，且實軸長為2，A.y＝±12x B.y＝±2C.y＝±5x D.y＝±52（2）（2022·全國甲卷14題）若雙曲線y2－x2m2＝1（m＞0）的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m聽課記錄解題技法求雙曲線漸近線方程的方法（1）求雙曲線中a，b的值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（2）求a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（3）令雙曲線標準方程右側為0，將所得代數式化為一次式即為漸近線方程.提醒兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數，且兩條漸近線關于x軸，y軸對稱.考向2雙曲線的離心率【例4】（1）（2021·全國甲卷5題）已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，則C的離心率為（）A.72 B.C.7 D.13（2）（2022·全國甲卷15題）記雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點聽課記錄解題技法求雙曲線離心率的兩種方法1.設F1，F2是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P是雙曲線C右支上一點，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，A.3x±y＝0 B.2x±7y＝0C.3x±2y＝0 D.2x±3y＝02.已知點F1，F2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2A.（1，2） B.（1，1＋2）C.（2，＋∞） D.（1＋2，＋∞）3.（多選）已知雙曲線C：x22－y2＝λ（λ＜0），則（A.雙曲線C的實軸長為定值 B.雙曲線C的焦點在y軸上C.雙曲線C的離心率為定值 D.雙曲線C的漸近線方程為y＝±22參考答案與解析雙曲線的定義及應用【例1】（1）已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，則cos∠F1PF2＝34（2）已知F是雙曲線x24－y212＝1的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的一動點，則｜PF｜＋｜PA｜的最小值為解析：（1）∵由雙曲線的定義有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝22，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝42，則cos∠F1PF2＝｜PF1｜2（2）因為F是雙曲線x24－y212＝1的左焦點，所以F（－4，0），設其右焦點為H（4，0），則由雙曲線的定義可得｜PF｜＋｜PA｜＝2a＋｜PH｜＋｜PA｜≥2a＋｜AH｜＝4＋（4－1）2＋（0解題技法雙曲線定義的應用主要有兩個方面1.已知動點M（x，y）滿足（x+2）2＋y2－（xA.射線 B.直線C.橢圓 D.雙曲線的一支解析：A設F1（－2，0），F2（2，0），由題意知動點M滿足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，故動點M的軌跡是射線，故選A.2.雙曲線x216－y29＝1的左、右焦點分別為F1，F2，在左支上過點F1的弦AB的長為5，那么△ABF2A.12 B.16C.21 D.26解析：D依題意知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a＝8，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝8，∴（｜AF2｜－｜AF1｜）＋（｜BF2｜－｜BF1｜）＝16，又｜AB｜＝5，∴｜AF2｜＋｜BF2｜＝16＋（｜AF1｜＋｜BF1｜）＝16＋｜AB｜＝16＋5＝21.∴｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝21＋5＝26.即△ABF2的周長是26.故選D.雙曲線的標準方程【例2】（1）雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）過點（2，3），且離心率為A.x2－y23＝1 B.x23C.x2－y23＝1 D.x23（2）在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點A（－3，0），B（3，0），其內切圓圓心在直線x＝2上，則頂點C的軌跡方程為（）A.x24－y25＝1（B.x29－y25＝1（C.x29＋y25＝1（0＜D.x29＋y24＝1（0＜答案：（1）A（2）A解析：（1）因為e＝ca＝2，所以c＝2a，b＝c2－a2＝3a，則雙曲線的方程為x2a2－y23a2＝1，將點（2，3）的坐標代入雙曲線的方程，得2a2－33a2＝1a2（2）如圖，設△ABC與圓的切點分別為D，E，F，則有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝4.根據雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支（右頂點除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以頂點C的軌跡方程為x24－y25＝1（x解題技法求雙曲線標準方程的兩種方法（1）待定系數法：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出參數a，b，c的方程（組）并求出a，b，c的值；（2）定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出a的值，由定點位置確定c的值.提醒求雙曲線的標準方程時，若焦點位置不確定，要注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.1.焦點在x軸上，焦距為10，且與雙曲線y24－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標準方程是x25－解析：設所求雙曲線的標準方程為y24－x2＝－λ（λ＞0），即x2λ－y24λ＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ2.經過點P（3，27），Q（－62，7）的雙曲線的標準方程為y225－x2解析：設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0），因為所求雙曲線經過點P（3，27），Q（－62，7），所以9m+28n=1，72m雙曲線的幾何性質考向1雙曲線的漸近線【例3】（1）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距為25，且實軸長為2，則雙曲線CA.y＝±12x B.y＝±2C.y＝±5x D.y＝±52（2）（2022·全國甲卷14題）若雙曲線y2－x2m2＝1（m＞0）的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝解析：（1）由題意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，則ba＝2.故該雙曲線C（2）雙曲線的漸近線方程為x±my＝0，圓x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化為x2＋（y－2）2＝1，則圓心坐標為（0，2），半徑r＝1.∵雙曲線的漸近線與圓相切，∴圓心到漸近線的距離d＝｜0±2m｜1+m2＝1解題技法求雙曲線漸近線方程的方法（1）求雙曲線中a，b的值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（2）求a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程；（3）令雙曲線標準方程右側為0，將所得代數式化為一次式即為漸近線方程.提醒兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數，且兩條漸近線關于x軸，y軸對稱.考向2雙曲線的離心率【例4】（1）（2021·全國甲卷5題）已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，則C的離心率為（A）A.72 B.C.7 D.13（2）（2022·全國甲卷15題）記雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點”的e的一個值2（答案不唯一，（1，解析：（1）設｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，則｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cos60°＝7m，所以C的離心率（2）雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax，若直線y＝2x與雙曲線C無公共點，則2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈（1，5解題技法求雙曲線離心率的兩種方法1.設F1，F2是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P是雙曲線C右支上一點，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，A.3x±y＝0 B.2x±7y＝0C.3x±2y＝0 D.2x±3y＝0解析：C∵F1，F2是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線右支上，∴由雙曲線的定義可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又知｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，∴｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推論可得cos60°＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2?|F1F2｜22｜PF1｜·｜PF2｜，即12＝（3a）2＋a2－4c22×3a×a，∴3a22.已知點F1，F2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2A.（1，2） B.（1，1＋2）C.（2，＋∞） D.（1＋2，＋∞）解析：B依題意，得0＜∠AF2F1＜π4，故0＜tan∠AF2F1＜1，則b2a2c＝c2－a22ac＜1，即e－1e＜2，e2－2e－1＜0，（e－1）2＜2，又3.（多選）已知雙曲線C：x22－y2＝λ（λ＜0），則（A.雙曲線C的實軸長為定值B.雙曲線C的焦點在y軸上C.雙曲線C的離心率為定值D.雙曲線C的漸近線方程為y＝±22解析：BCD對于A、B，由雙曲線C：x22－y2＝λ（λ＜0），整理可得y2－λ－x2－2λ＝1（λ＜0），所以雙曲線的焦點在y軸上，且a2＝－λ，b2＝－2λ（λ＜0），實軸長不是定值，所以A錯誤，B正確；對于C，離心率e＝ca＝1+b2a2＝3為定值，C正確；對于1.方程x22+m－y21－m＝1表示雙曲線A.－2＜m＜1B.m＞1C.m＜－2 D.－1＜m＜2解析：A因為方程x22+m－y21－m＝1表示雙曲線，所以（2＋m）（1－m）＞0，即（m＋2）（m－1）＜0，解得－2.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），離心率e＝2，A.y＝2x B.y＝3xC.y＝±2x D.y＝±3x解析：Dba＝c2－a2a2＝e2－1＝33.若雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）滿足ba＝52，且與橢圓x212＋A.x24－y25＝1 B.C.x25－y24＝1 D.解析：A由題意可得橢圓的焦點坐標為（－3，0），（3，0），則在雙曲線C中，有ba＝52，c=3，c4.已知點A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若動點M（x，y）滿足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，則點M的軌跡方程為（）A.y2－x23＝1 B.y2－x23＝1（C.x2－y23＝1 D.x2－y23＝1（解析：B設M（x，y），因為｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋32＋[2?(?2）]2，即｜MA｜－｜MB｜＝2＜4.故點M（x，y）的軌跡是以A（0，2），B（0，－2）為焦點的雙曲線的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程為y2－5.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，點A是圓O：x2＋y2＝c2上一點，線段F2A交雙曲線C的右支于點B，｜F2A｜＝a，F2A＝3A.62 B.C.362 解析：A如圖，由題意可知｜F2B｜＝a3，｜AB｜＝2a3，由雙曲線的定義可知｜BF1｜＝a3＋2a＝7a3，易得∠F1AF2＝90°，則在△ABF1中，由勾股定理可得｜AF1｜＝5a，在Rt△AF1F2中，（5a）2＋a2＝（2c）2，所以6.（多選）已知雙曲線C的方程為x216－y29＝1，A.雙曲線C的實軸長為8B.雙曲線C的漸近線方程為y＝±34C.雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3D.雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為9解析：ABC因為a2＝16，所以a＝4，2a＝8，故A正確；因為a＝4，b＝3，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax＝±34x，故B正確；因為c＝a2＋b2＝16+9＝5，所以焦點坐標為（－5，0），（5，0），焦點（5，0）到漸近線3x－4y＝0的距離為｜15｜32＋(?4）2＝3，故C7.雙曲線y2m－x2n＝1（m＞0，n＞0）的漸近線方程為y＝±22x，實軸長為2，則m－n＝解析：因為雙曲線的實軸長為2m，所以2m＝2，所以m＝1，又漸近線方程為y＝±22x，所以mn＝22，解得n＝2，所以m－n8.試寫出一個中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，漸近線方程為y＝±2x的雙曲線方程為x2－y24＝1（答案不唯一）解析：因為漸近線方程為2x±y＝0，設雙曲線方程為4x2－y2＝λ，λ≠0，所以雙曲線的方程可以為x2－y29.設雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，如圖所示，直線l：x＝a2c與兩條漸近線交于P，Q兩點，N為PQ的中點，如果△PQF是直角三角形解析：由題意知右焦點F（c，0），直線l：x＝a2c，漸近線y＝±bax.聯立x＝a2c，y＝±bax，可得P（a2c，abc），Q（a2c，－abc），∴｜FP｜＝｜FQ｜，即△PQF是等腰三角形.∵△PQF是直角三角形，∴∠PFQ＝90°，N為PQ的中點，∴｜PN10.中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2，且｜F1F2｜＝213，橢圓的長半軸與雙曲線的實半軸之差為4，離心率之比為3∶7.（1）求這兩個曲線的方程；（2）若P為這兩個曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值.解：（1）由已知c＝13，設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為a，b，雙曲線的實半軸長、虛半軸長分別為m，n.則a解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.所以橢圓的方程為x249＋y236＝1，雙曲線的方程為（2）不妨設F1，F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點，則｜PF1｜＋｜PF2｜＝14，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，所以｜PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，又｜F1F2｜＝213，所以cos∠F1PF2＝｜PF1｜211.如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為1033，下底座外直徑為239A.22π B.3πC.23π D.4π解析：C該金杯主體部分的上口外直徑為1033，下底座外直徑為2393，且杯身最細之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，可設M（533，2m），N（393，－m），代入雙曲線方程可得253a2－4m2b2＝1，133a2－m2b2＝1，即2512a2－m2b2＝112.（多選）雙曲線C：x24－y22＝1的右焦點為F，點P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標原點，則下列說法正確的是A.雙曲線C的離心率為6B.雙曲線y24－x28C.若PO⊥PF，則△PFO的面積為2D.｜PF｜的最小值為2解析：ABC因為a＝2，b＝2，所以c＝a2＋b2＝6，所以e＝ca＝62，故A正確；雙曲線y24－x28＝1的漸近線方程為y＝±22x，雙曲線C的漸近線方程為y＝±22x，故B正確；因為PO⊥PF，點F（6，0）到漸近線2x－2y＝0的距離d＝｜2×6｜6＝2，所以｜PF｜＝2，所以｜PO｜＝（6）2?(2）2＝2，所以△PFO的面積為12×2×2＝13.已知雙曲線x216－y24＝1的左、右焦點分別為F1（1）若點M在雙曲線上，且MF1·MF2＝0，求點M（2）若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點，且過點（32，2），求雙曲線C的方程.解：（1）不妨設M在雙曲線的右支上，M點到x軸的距離為h，∵MF1·MF2＝0，∴MF1設｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由雙曲線的定義知m