2025年高考數學大招秒殺基礎版-板塊1-集合與簡易邏輯【學案講義】SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h大招一巧用結論快速搞定集合問題一、集合相等結論若兩個集合相等，則一個集合所有元素的和與積應等于另一個集合所有元素的和與積.若兩個集合相等，則一個集合所有元素的和與積應等于另一個集合所有元素的和與積.若含有三個元素的集合可以表示為，也可表示為，求的值.分析：可直接根據上述結論求解，求值時要注意集合元素的互異性.解:，由集合相用等的定義可得，解得，顯然違背集合元素的互異性，∴評注：本題既是在各種資料上出現頻率較高的問題，又代表著一類題型，即含字母參數的集合相等問題，解答這類問題的常規方法是根據集合相等的定義對字母進行討論，以確定題目的解，利用上述方法巧妙地避免了分類討論和繁雜運算.例2、已知集合，若，求的值分析:要解決的求值問題，關鍵是要有方程的數學思想，此題應根據相等的各個集合的元素完全相同，及集合中元素的確定性、互異性、無序性建立關系式解：根據題意，分兩種情況進行討論:（1）若，消去，得當時，集合中的三個元素均為零，與元素的互異性相矛盾，故∴，即，此時中的三個元素又相同，∴∴此時無解.（2）若消去，得∵，即又評注：（1）解決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進行檢驗和修正.（2）有些數學問題很難從整體著手解決，需從分解入手，把整體科學合理地劃分為若干個局部獨立的問題，通過逐一判斷來解決這些問題，從而達到整體問題的解決，這種重要的數學方法，就是分類討論的方法，要學會這種思維方法.二、集合運算的相互轉化兩集合之間的關系與運算可以相互轉化，即兩集合之間的關系與運算可以相互轉化，即例3、已知集合.若，則實數的值是（） A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2解析:因為，所以，所以或.選C 例4、已知集合.若，則的取值范圍是（）. A. B. C. D.【答案】C.【解析】.三、整數集結論整數集整數集的元素可用表示；若分成兩類，則可用或表示，其中和都表示奇數；若分成三類則可用或表示，其中和表示一類數，和表示一類數；若分成四類則可用或表示，以此類推，其中的規律不難發現例5、設集合，則（） A. B. C. D.【答案】B【解析】，整數的范圍大于奇數的范圍.例6、已知集合，則之間的關系（） A. B. C. D.【解析】解法一：簡單列舉集合中的元素；∴，即，故選.解法二：判斷集合中元素的共性和差異.∵，故選.評注：辨析集合之間的關系應該從集合中元素的特點入手，可將元素列舉出來直觀分析，也可從描述法中認識集合中元素具備的特性，定性分析，以上兩種思想是解決此類問題的通法，應根據問題的具體情況合理選擇.四、子集個數結論結論一：設集合結論一：設集合中有個元素，則:的子集的個數是； 的真子集的個數是；的非空子集的個數是； 的非空真子集數為。結論二：設集合有個元素，集合有個元素，(1)若，則的個數是；(2)若，則的個數是；(3)若，則的個數是；(4)若，則的個數是。求滿足集合的個數.分析：依題意，集合中一定含有元素1，3，另外還可含有中的0個、1個、2個元素，所以本題可轉化為求集合的子集個數問題.解：依題意，集合的個數.即為集合的真子集個數，共有個.評注：抓住本質，轉化題意，有時可使問題迅速獲解.例8、同時滿足:=1\*GB3①；=2\*GB3②，則的非空集合有（）A.16個 B.15個 C.7個 D.6個【答案】C【解析】時，時，時，時，時，非空集合可能是:共7個.故選.五、補集結論設設為全集，集合是它的兩個子集則有:（交集的補集等于補集的并集)，(并集的補集等于補集的交集)，這兩個結論合稱“德摩根法則”通過這個法則，為了簡捷地解答問題，我們可以把求兩個集合補集的交集或并集問題轉化成求它們并集或交集的補集問題，或反之.例9、已知全集，集合.求分析：若先求補集再求并集，相當麻煩，因此考慮將轉化為求解.解:∵，∴或.評注:類似的結論還有等，適時將一種情形轉化為另一種情形后，方便理解和求解.例10、已知全集中有個元素，中有個元素.若非空，則的元素個數為（）A. B. C. D.[解析』D注意到.則中元素的個數為個

大招二對空集的全方位解讀解讀一、空集是不含任何元素的集合空集是不含任何元素的集合，故不能用列舉法或描述法把它表示出來，我們只能用一個專用符號來表示空集.例給出下列關系式:=1\*GB3①若，則；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④=5\*GB3⑤設全集，則.其中正確關系式的序號是________分析：只需根據空集的兩個特征：空集是集合，空集不含任何元素判斷即可.解:由空集的定義可得，空集都是不含任何元素的集合，故所有的空集都是相等的，故(1)正確；和都是集合，其中不含任何元素，而是以集合為元素的集合，即是集合的集合，它有一個元素，故，故(2)錯誤，同理(3)錯誤；因為方程無解，所以，故(4)正確；因為全集，所以是一個不含任何元素的集合，所以，故(5)正確.綜上，正確關系式的序號是：=1\*GB3①=4\*GB3④=5\*GB3⑤評注：集合是一組元素組成的整體，其中元素可以是數、點、實物，也可以是集合.解讀二、空集是任何集合的子集即對于任一集合（包括空集本身)，都有（或).例2、已知，求使得的實數的取值集合.分析:因為集合中含有參數，故是不確定的，首先要考慮的情形，當時，可借助數軸來解答.解:(1)當時，滿足，此時應有，解得；(2)當時，若使，須滿足，解得.綜上，實數的取值集合是.評注:對于此類問題，忽視空集是一類常見錯誤，請同學們切記.在研究集合之間的關系問題時，Venn圖和數軸是兩個常用的圖形工具，用它們反映集合之間的關系形象、直觀，便于發現和研究問題.解讀三、空集是任何非空集合的真子集即對于任一不是空集的集合，都有（或）.例3、集合的真子集的個數是________分析:首先把集合求出，然后寫出其所有真子集，即可確定真子集的個數.解:∵，∴集合的真子集有共15個.評注：在寫集合的子集時，為避免重復和遺漏，可按元素個數的多少，從小到大寫，千萬不要忘記空集.一個共有個元素的集合的子集個數為.去掉其本身，即得的真子集的個數為-1；去掉空集，即得的非空子集的個數亦為-1；兩個都去掉，即得的非空真子集的個數為-2.了；利用上述結論，可快速求各類子集個數.解讀四、空集與任何集合的交集仍是空集即對于任一集合，都有.例4、已知集合，若，則實數的取值組成的集合是（） (A) (B) (C) (D)分析：因為方程中含有參數，其解集不確定，又因空集既然是任何集合的子集，故首先考慮的就是的情形.解:(1)當時，方程無解，∴，滿足；(2)當時，方程的解為，欲使，須，或，解得，或.綜上，，或，或，故的取值組成的集合是，選D項.評注：在通常情況下，往往把等價轉化為來研究.解讀五、空集與任何集合的并集仍是集合即對于任一集合，都有.例5、已知，求使得的實數的取值集合.分析：和例四相仿，首先考慮的也是的情形.解:，(1)當時，滿足，由得；(2)當時，欲使，須使或.若，由得；若，由得.綜上，實數的取值集合為.評注:在通常情況下，往往把等價轉化為來研究.例2、例4和例5都運用了分類討論，討論時要注意編上序號，按一定的順序討論，以避免重復和遺漏.

大招三充要條件的集合模型解釋集合模型解釋設集合滿足條件滿足條件，則有:(1)若，則是的充分條件，若，則是的充分不必要條件.(2)若，則是的必要條件，若，則是的必要不充分條件.(3)若，則是的充要條件.例1、下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（） A. B. C. D.思路:求的充分不必要條件，則這個條件能夠推出，且不能被推出。可以考慮驗證四個選項。A選項可以推出，而不一定能夠得到(比如)，所以符合條件。對于兩個選項均不能推出，所以直接否定。而選項雖然可以得到，但是也能推出，所以是的充要條件，不符題意答案：A已知，非空集合，若是的必要條件，則的取值范圍為_________【解析】由，得，所以，由是的必要條件，知，則，所以所以當時，是的必要條件，即所求的取值范圍是.例3、數列滿足，則“”是“數列成等差數列”的（） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件思路:當時，可得，即成等差數列。所以“"是“數列成等差數列”的充分條件。另一方面，如果成等差數列，則成等差數列，所以有，代入可得:，解得或，經檢驗，時，，利用數學歸納法可證得，則也為等差數列（公差為0），所以符合題意。從而由“數列成等差數列”無法推出“"，所以“"是“數列成等差數列”的不必要條件答案：A例對任意的實數，若表示不超過的最大整數，則“”是“”的（） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】若，設，則，其中，所以，因為，所以，所以，所以，即由能推出成立；反之，例如，滿足，但，即由推不出成立.因此“”是“”的必要不充分條件.故選B.

大招四充要條件之逆否命題判定法注意區分：“甲是乙的充分條件（甲乙）"“甲的充分條件是乙（乙甲）"等價于非；等價于非；等價于非例1、錢大姐常說“便宜沒好宣貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（） A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B.【解析】根據等價命題，便宜沒好貨，等價于，好貨不便宜，故選B.例2、祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題，意思是兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等。設為兩個同高的幾何體，，的體積不相等，在等高處的截面積不恒相等，根據祖暅原理可最知，是的（）充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】如果在等高處的截面積恒相等，則的體積相等，即，因此有，但，例如，把兩個相同的錐體放在一個平面上，再把其中一個錐體翻轉底向上，頂點在原底面所在平面，雖然在等高處的截面積不恒相等，但體積相等.故是的充分不必要條件.故選.點撥：破解此類題的關鍵:一是讀懂數學文化的背景的含義；二是利用“以小推大”的技巧來破解充分必要條件的判斷.例3、已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.現有下列命題:(1)是的充要條件；(2)是的充分條件而不是必要條件；(3)是