第二章數列

2.1數列的概念與簡單表示法

第1課時數列的概念與簡單表示法

1.理解數列及其有關概念.（數學抽象）

學

2.學會用列表法、圖象法、通項公式法表示數列.（數學抽象、

習

直觀想象）

目

3.理解數列是一種特殊的函數，能從函數的觀點研究數列.（數

標

學抽象）

必備知識?自主學習

項數無限的數

無窮數列

列

從第2項起,每

一項都大于它

遞增數列

的前一項的數

列

從第2項起,每

一項都小于它

遞減數列

的前一項的數

按項的

列

變化趨勢

各項相等的數

常數列

列

從第2項起,有

些項大于它的

擺動數列前一項，有些項

小于它的前一

項的數列

3.數列與函數的關系

從函數的觀點看,數列可以看作是特殊的函數,關系如表:

定義正整數集N*（或它的有限

域子集｛1,2,3,???,n｝）

解析數列的通項公式

式

由自變量從小到大依次取

值域值時對應的一列函數值構

成

⑴通項公式（解析

表示

法）；（2）列表法；（3）圖象

方法

法

思考？

數列的圖象有什么特點？

提示：數歹”的圖象是一系列孤立的點.

4.數列的通項公式

⑴定義:如果數列｛4｝的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來

表示,那么這個公式叫做這個數列的通項公式.

⑵本質：數列的通項公式實際就是數列的函數解析式.

⑶作用：①寫出數列的任意一項;②判斷一個數是否是數列的項;③分

析數列的性質.

卜基礎小測

1.辨析記憶（對的打“J”，錯的打“X”）.

（1）1,2,3,4和1,2,4,3是相同的數列.

⑵所有數列都能寫出其通項公式且一個數列的通項公式是唯一的.

⑶數列3,1,-1,-3,-5,-10的通項公式為an=5-2n.

提示：⑴X.兩個數列相同，每一項都必須相同，而且數列具有順序性.

⑵X.有的數列就沒有通項公式,而且有的數列的通項公式不唯一.

（3）X.第六項為-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此數列的通項公

式.

2

2.已知數列｛an｝的通項公式是an=n+l,則122是該數列的（）

A.第9項B.第10項C.第11項D.第12項

【解析】選C.令n2+l=122,貝"n=121,

所以n=ll或n=Tl（舍去）.

3.（教材二次開發:例題改編）數列…的一個通項

公式為an=.

【解析】因為ai=l=Vl,a2=2^V4,

a3=V7,a4=V10,a5=V13,所以an=J3n-2.

答案:^3n-2

關鍵能力-合作學習

類型一數列的概念以及分類（數學抽象）

。題組訓練、

1.（2020?蘭州高二檢測）下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列

的是

ill

A.-1,-2,-3,-4,B.-1,一,一,一,???

234

C.-1,-2,-4,-8,D.1,V2,V3,V4

n

2.若數列｛aj滿足an=2,則數列｛aj是

A.遞增數列B.遞減數列C.常數列D.擺動數

列

3.已知下列數列:

①2011,2012,2013,2014,2015,2016;

②冊1

2n-1

/.xn-1

-23(T)?九

③「差

2n-l

⑤2,4,8,16,32,??-;

⑥T,-1,-1,-1.

其中，有窮數列是,無窮數列是,遞增數列

是,遞減數列是,常數列是，擺動數列是

（填序號）.

【解析】1.選B.A,B,C中的數列都是無窮數列，但是A,C中的數列都是

遞減數列.

n+1nn

2.選A.an+1-an=2-2=2>0,所以an+1>an,即｛an｝是遞增數歹%

3.①為有窮數列且為遞增數列；②為無窮數列、遞減數列；③為無窮數

列、擺動數列；④為擺動數列，也是無窮數列；⑤為遞增數列，也是無窮

數歹4;⑥為有窮數列，也是常數列.

答案:①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

■解題策略I

理解數列概念要注意的三點

(1)區分集合:數列｛aj表示數列aba2,a3,?-?,a2…不是表示一個集合,

與集合表示有本質的區別.

⑵項的理解:從數列的定義可以看出，如果組成數列的數相同而排列

次序不同，那么它們就是不同的數列；在定義中，并沒有規定數列中的

數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.

⑶規律性:數列中各項的次序揭示了數列的規律性,是理解、把握數列

的關鍵.

【補償訓練】

1.下列數列中，既是無窮數列又是遞增數列的是

111

AA.1,,???

33233

c.71.2加.37r.47r

D.sin—,sin—,sm—,sin—,

13131313

111

c.-i,—,--,-—,???

41664

D.1,2,3,4,30

ill

【解析】選C.數列1,-，r，F，…是無窮數列，但它不是遞增數列，而是

33233

遞減數列；數列sin—,sin—,sin—,

131313

477

sin一,…是無窮數列，但它既不是遞增數列，又不是遞減數列；數列

13

ill

-1,--,-一，-一,…是無窮數列，也是遞增數列；數列1,2,3,4,…，30是

41664

遞增數列，但不是無窮數列.

2.下列數列

(1)1,2,22,23,-,263;

(2)0,10,20,30,1000;

(3)2,4,6,8,10,??-;

(4)-1,1,-1,1,-1,?-?;

(5)7,7,7,7,???;

(6)-,

392781

其中有窮數列是,無窮數列是,遞增數列是:

遞減數列是，擺動數列是,常數列是.(填序

號)

【解析】根據數列的概念知有窮數列是(1)(2),無窮數列是

(3)(4)(5)(6),遞增數列是⑴(2)⑶，遞減數列是(6),擺動數列是

(4),常數列是(5).

答案：⑴⑵(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(6)(4)(5)

類型二歸納法求數列的通項公式(邏輯推理)

一…角.度工…根根數列的前幾項歸納通項公式一

【典例】寫出下列數列的一個通項公式：

(D-.2,-,8,

222

(2)1,-3,5,-7,9,?-?;

(3)9,99,999,9999,…；

22-l32-242-352-4

(4)————-：

(5)—,—,—,名…；

1X22X33X44X5

(6)4,0,4,0,4,0,

【思路導引】首先要熟悉一些常見數列的通項公式,然后對于復雜數列

的通項公式,其項與序號之間的關系不容易發現,要將數列各項的結構

形式加以變形，將數列的各項分解成若干個常見數列對應項的

“和”“差”“積”“商”后再進行歸納.

【解析】(1)數列的項有的是分數，有的是整數，可先將各項都統一成分

149162，T12

數再觀察…，所以，它的一個通項公式為a=—.

22222n2

⑵數列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…是連續的正奇數，其通項公

式為2n-1;考慮(7),具有轉換符號的作用，所以數列的一個通項公式

n+1

為an=(-1)(2n-1).

⑶各項加1后，分別變為10,100,1000,10000,此數列的通項公式為

n

10；可得原數列的一個通項公式為an=10-1.

(4)數列中每一項均由三部分組成，分母是從1開始的奇數列，其通項公

式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數的平方，其通項公式為

(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數，其通項公式為n,綜合得原

2

(n+1)-n_n2+n+l

數列的一個通項公式為a=i

n2n-l2n-l

⑸這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數，且

奇數項為負，偶數項為正，所以它的一個通項公式是劣=(7”.赤?

(6)由于該數列中，奇數項全部都是4,偶數項全部都是0,因此可用分段

4,n為奇數,

函數的形式表示通項公式，即an=

0,n為偶數.

又因為數列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通項公式

n+1

又可表示為an=2+2X(-1).

?變式探究I

將本例(6)的數列改為“3,5,3,5,3,5,…”,如何寫出其通項公式？

【解析】此數列為擺動數列，奇數項為3,偶數項為5,故通項公式可寫

3(九為奇數)，，，，」『「一

此數列兩項與的平均數為——二奇數項為

為an=354,

5(n為偶數).2

n

4-1,偶數項為4+1,故通項公式還可寫為an=4+(-l).

一…角一度2—根據圖形歸納通項公式…一

【典例】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數,例如:

他們研究過圖⑴中的1,3,6,10,-,由于這些數能表示成三角形,將其

稱為三角形數;與之類似，稱圖⑵中的1,4,9,16,…這樣的數稱為正方

形數.下列數中既是三角形數又是正方形數的是

13610

(1)

I4916

(2)

A.289B.1024C.1225D.1378

【思路導引】首先確定兩個數列的通項公式，再驗證哪個選項符合要

求.

【解析】選C.由題圖形可得三角形數構成的數列通項公式為=也上上,

2

同理可得正方形數構成的數列通項公式加二I?,而所給的選項中只有1

49x50

2

225滿足a49=----=b35=35=l225.

2

，解例略|

1.依項的特征求通項公式

⑴分式中分子、分母的特征；

⑵相鄰項的變化特征；

⑶拆項后的特征；

⑷各項符號特征等,并對此進行歸納、聯想,從而求出通項公式.

2.轉化到基本數列

觀察、分析數列中各項的特點，觀察出項與序號之間的關系、規律，通

過對項的適當變形轉化到我們熟知的一些基本數列(如自然數列、奇偶

數列等)對于正負符號變化,可用(-IL或(-1)用來調整.

題組訓練、

1.根據如圖所示的圖形及相應的點數，寫出點數構成的數列的一個通

項公式an=.

161116

【解析】由ai=l=5Xl-4,a2=6=5X2-4,23=11=5X3-4,…，歸納an=5n-4.

答案：5n-4

2.寫出下列數列的一個通項公式：

(1)0,3,8,15,24,???;

(3)1,11,111,1111,

【解析】⑴觀察數列中的數，可以看到

0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一個通項公式是

2

an=n-1(n￡N*).

⑵此數列的整數部分1,2,3,4,…恰好是序號n,分數部分與序號n的

關系為‘一,故所求的數列的一個通項公式為an=n+-^-="+2"(n￡N*).

n+1n+1n+1

(3)原數歹U的各項可變為—義9,-X99,-X999,-X9999,易知數列

9999

9,99,999,9999,…的一個通項公式為aklCT-l,所以原數列的一個通

1

項公式為a=-(10n-1)(n￡N*).

n9

【補償訓練】

1.圖中由火柴棒拼成的一列圖形中,第n個圖形由n個正方形組

成:

□m□□□

w=ln=2w=3

w=4

通過觀察可以發現:在第n個圖形中，火柴棒有根.

【解析】第1個圖形中，火柴棒有4根；

第2個圖形中，火柴棒有4+3根；

第3個圖形中，火柴棒有4+3+3=4+3X2根；

第4個圖形中，火柴棒有4+3+3+34+3X3根；

第n個圖形中，火柴棒有4+3(nT)=3n+1根.

答案：3n+1

2.根據下面數列的前幾項的值,寫出數列的一個通項公式:

(1)3,5,7,9,11,13,-;

⑵....

,3,15,35,63,995'

(3)0,1,0,1,0,1,??-;

(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,--?;

(5)2,-6,12,-20,30,-42,….

【解析】(1)從3開始的奇數列，an=2n+1.

⑵分子為偶數，分母為相鄰兩奇數的積

_2n

3n=~~7

(2n-l)(2n+l)

⑶二二」-或二.n-1

anansin——n

22

(4)將數列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,

1+(T)

所以a=n+

n2

(5)將數列變形為1X2,-2X3,3X4,-4X5,5X6,

n+1

所以an=(-1)n(n+1).

類型三數列通項公式的簡單應用(邏輯推理、數學抽象)

［典例】已知數列｛aj的通項公式為a=—.

n3n+l

⑴求ai0;

⑵判斷乙是否為該數列中的項.若是，它為第幾項？若不是,請說明理

10

由；

(3)求證:O〈aWL

3X10-228

【解析】(1)根據題意可得aw=---------=—

3X10+131

73n-2_7

(2)令a--,即

n3n+l10'

解得n=3,

7

所以行為數列｛aj中的項,為第3項.

⑶由題意知a喏H島，

因為n￡N*,所以3n+1>3,

3

所以0<——<1,

371+1

3

所以0<1--------<1,即0<an<1.

3n+l

，解的略|

1.利用數列的通項公式求某項的方法

數列的通項公式給出了第n項也與它的位置序號n之間的關系，只要用

序號代替公式中的n,就可以求出數列的相應項.

2.判斷某數值是否為該數列的項的方法

先假定它是數列中的第n項,然后列出關于n的方程.若方程解為正整

數則是數列的一項；若方程無解或解不是正整數，則不是該數列的一

項.

跟蹤訓練、

在數列｛aj中，ai=2,ai7=66,通項公式是關于n的一次函數.

(1)求數列｛an｝的通項公式；

(2)求&2017；

(3)2018是否為數列｛aj中的項？

【解析】⑴設akkn+b(kH0),則有｛'

117k+b=66,

解得k=4,b=-2.

所以an=4n-2.

(2)a2017=4X2017-2=8066.

⑶令2018=4n-2,解得n=505eN*,

所以2018是數列｛aj的第505項.

【補償訓練】

4

已知數列｛aj的通項公式為an=-^—.

n2+3n

⑴寫出數列的第4項和第6項.

⑵試問工是該數列的項嗎?若是,是第幾項?若不是,請說明理由.

10

4

【解析】(1)因為a0二F-，

n2+3n

所”以,a=---4--1

442+3X47

42

a=-----=—.

662+3X627

41

(2)令-----=—,貝“n2+3n-40=0,

n2+3n10

解得n=5或n=-8,注意到nEN*,

故將n=-8舍去，所以一是該數列的第5項.

10

課堂檢測-素養達標

1.有下列命題：

①數列三,之；,三,…的一個通項公式是an=—;

3456n+1

②數列的圖象是一群孤立的點；

③數列1,T,1,T,…與數列T,1,-1,1,…是同一數列；

④數列工,工,…，工是遞增數列.

242n

其中正確命題的個數為

A.1B.2C.3D.0

i2

【解析】選A.由通項公式知ai=-W二,故①不正確；易知②正確；由于兩

23

數列中數的排列次序不同，因此不是同一數列，故③不正確；④中的數

列為遞減數歹J,所以④不正確.

2.600是數列1X2,2X3,3X4,4X5,…的

A.第23項B.第24項

C.第25項D.第26項

【解析】選B.an=n（n+1）=600=24X25,所以n=24.

3.在數列｛aj中，an=5T則23等于.

【解析】由已知得a3=5"=一.

25

答案」

25

4.（教材二次開發:練習改編）根據數列的通項公式填表：

n12???5??????n

??