專題14空間向量與立體幾何一、知識速覽二、考點速覽知識點1空間向量的概念及有關定理1、空間向量的有關概念（1）空間向量：在空間中，具有大小和方向的量；（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；（4）共線向量(或平行向量)：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量；（5）共面向量：平行于同一個平面的向量2、空間向量的有關定理（1）共線向量定理：對空間任意兩個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要條件是存在實數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.（2）共面向量定理：如果兩個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，那么向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使SKIPIF1<0.（3）空間向量基本定理：如果三個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，那么對空間任一向量SKIPIF1<0，存在有序實數組{x，y，z}，使得SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0叫做空間的一個基底．知識點2兩個向量的數量積及其運算1、空間向量的數量積及運算律（1）數量積及相關概念①兩向量的夾角：已知兩個非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在空間任取一點O，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則∠AOB叫做向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，記作SKIPIF1<0，其范圍是[0，π]，若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相垂直，記作SKIPIF1<0.②非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的數量積SKIPIF1<0．（2）空間向量數量積的運算律①結合律：SKIPIF1<0；②交換律：SKIPIF1<0；③分配律：SKIPIF1<0.2、空間向量的坐標表示及其應用設，，向量表示坐標表示數量積SKIPIF1<0SKIPIF1<0共線SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0SKIPIF1<0模SKIPIF1<0SKIPIF1<0夾角SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點3空間中的平行與垂直的向量表示1、直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量SKIPIF1<0的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量SKIPIF1<0為直線l的方向向量．（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0叫做平面α的法向量．2、空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線l的方向向量為SKIPIF1<0，平面α的法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面α，β的法向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點4利用空間向量求空間角1、異面直線所成角設異面直線a，b所成的角為θ，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是直線a，b的方向向量．2、直線與平面所成角如圖所示，設l為平面α的斜線，l∩α＝A，SKIPIF1<0為l的方向向量，SKIPIF1<0為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則SKIPIF1<0.3、二面角（1）若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，如圖a.（2）平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為SKIPIF1<0，平面β的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設二面角大小為φ，則SKIPIF1<0，如圖b，c.知識點5利用空間向量求空間距離1、點到直線的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．2、點到平面的距離已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內的任一點，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點，過點SKIPIF1<0作則平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0（如圖）.3、線面距和面面距線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。（1）直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。（2）兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。一、用基向量表示指定向量的方法（1）結合已知向量和所求向量觀察圖形．（2）將已知向量和所求向量轉化到三角形或平行四邊形中．（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【典例1】（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D.【典例2】（2021·全國·高三專題練習）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：B．【典例3】（2023秋·福建廈門·高三校考階段練習）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F分別為側棱PA，PB，PC的中點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個式子相加可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故選：D二、證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同過點Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【典例1】（2022·全國·高三專題練習）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：B，C，D三點共線．【答案】證明見解析【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為公共點，所以B，C，D三點共線．【典例2】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線；（2）若點SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0的中心，求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0有公共點A，故A、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線；（2）由題意，點SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0的中心，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0有公共點D，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線．【典例3】（2024·全國·高三專題練習）在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（2）證明：SKIPIF1<0四點共面；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不為0），SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0共面且有公共點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0四點共面；【典例4】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在幾何體ABCDE中，SKIPIF1<0ABC，SKIPIF1<0BCD，SKIPIF1<0CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；【答案】證明見解析【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0兩兩垂直，從而以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標系，又因為SKIPIF1<0均為邊長為2的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由空間向量基本定理可知：SKIPIF1<0共面，所以SKIPIF1<0四點共面；三、空間向量數量積的應用1、求夾角：設向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進而可求兩異面直線所成的角；2、求長度（距離）：運用公式SKIPIF1<0，可使線段長度的計算問題轉化為向量數量積的計算問題；3、解決垂直問題：利用SKIPIF1<0，可將垂直問題轉化為向量數量積的計算問題。【典例1】（2023·全國·高三對口高考）若SKIPIF1<0為非零向量，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0一定（）A．共線B．相交C．垂直D．不共面【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023·河南·校聯考模擬預測）如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0，側面SKIPIF1<0都是正方形，且二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】B【解析】在平行六面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故選：B.【典例3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）試用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；（2）求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值.【答案】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0角的余弦值為SKIPIF1<0.四、利用空間向量證明空間線面位置關系1、利用空間向量證明平行的方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題2.利用空間向量證明垂直的方法線線垂直證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示面面垂直證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；

【答案】證明見解析【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面BCD，故以C為原點，CB為x軸，CD為y軸，過點C作DA的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為平面BCD的法向量可取為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面BCD，所以PQSKIPIF1<0平面BCD．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0是直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】證明見解析【解析】因為平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0是平面EFG的法向量，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0是平面PBC的法向量，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平面EFG∥平面PBC．【典例3】（2024·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）以A為原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為四邊形SKIPIF1<0為正方形，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．五、用向量法求異面直線所成角的一般步驟（1）建立空間直角坐標系；（2）用坐標表示兩異面直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．【典例1】（2023秋·江西撫州·高三校考開學考試）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】不妨設SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故選：A【典例2】（2023·四川眉山·仁壽一中校考模擬預測）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0互相垂直，以SKIPIF1<0為原點，分別以SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：C.【典例3】（2023·海南·統考模擬預測）如圖，四棱錐SKIPIF1<0內接于圓柱，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為圓柱的兩條母線，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為正方形，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，當四棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示：設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，此時SKIPIF1<0，建立如圖所示空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0六、用向量法求解直線與平面所成角的方法如圖所示，設直線l的方向向量為SKIPIF1<0，平面α的法向量為SKIPIF1<0，直線l與平面α所成的角為φ，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為θ，則有SKIPIF1<0.【典例1】（2023·河北保定·統考二模）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0點．則SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，建立空間直角坐標系：SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,2,SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,2,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知菱形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角.

【答案】SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0，因為菱形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在的平面互相垂直，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0點為坐標原點，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，過SKIPIF1<0點且平行于SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸正方向，建立空間直角坐標系，因為在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0軸垂直于平面SKIPIF1<0，因此可得平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直線直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考階段練習）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D，E，F分別是棱SKIPIF1<0，BC，AC的中點，SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）在SKIPIF1<0中，因為E，F分別是BC，AC的中點，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．以B為坐標原點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設平面ABD的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為平面ABD的一個法向量，所以SKIPIF1<0，所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為SKIPIF1<0．七、利用向量法解二面角問題的策略1、找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小；2、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（）A．－SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．－SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設正方體棱長為1，以B為坐標原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系B-xyz，則MSKIPIF1<0，NSKIPIF1<0，SKIPIF1<0.解法一

取MN的中點G，連接BG，AG，則GSKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB為兩平面夾角或其補角．又因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，設平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則SKIPIF1<0.故所求兩平面夾角的余弦值為SKIPIF1<0.解法二

設平面AMN的法向量SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是SKIPIF1<0，同理可求得平面BMN的一個法向量SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，設平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則SKIPIF1<0.故所求兩平面夾角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023秋·重慶·高三統考階段練習）在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，側面SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0.（1）求證：SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，而SKIPIF1<0，故平行四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0為等邊三角形且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）法一：∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩垂直，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸，建立如上圖所示空間直角坐標系，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量可取為SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則取SKIPIF1<0，設二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖知：二面角SKIPIF1<0為銳角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.法二：由（1）知，∵面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，如圖，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為二面角SKIPIF1<0的平面角，設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.易錯點1忽視零向量點撥：在進行空間向量相關概念判斷時，要注意零向量的特殊性，如零向量與任意向量平行等。【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在下列命題中：①若向量SKIPIF1<0共線，則向量SKIPIF1<0所在的直線平行；②若向量SKIPIF1<0所在的直線為異面直線，則向量SKIPIF1<0一定不共面；③若三個向量SKIPIF1<0兩兩共面，則向量SKIPIF1<0共面；④已知空間的三個向量SKIPIF1<0，則對于空間的任意一個向量SKIPIF1<0總存在實數SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0其中正確命題的個數是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】對于①，若向量SKIPIF1<0共線，則向量SKIPIF1<0所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面，例如空間直角坐標系SKIPIF1<0軸所在的向量兩兩共面，但是顯然SKIPIF1<0軸不共面，故③錯誤；對于④，若SKIPIF1<0共線時，顯然SKIPIF1<0共面，于是SKIPIF1<0只能表示和SKIPIF1<0共面的向量，對于空間中的任意向量SKIPIF1<0則不一定成立，故④錯誤.于是四個選項都是錯的.故選：A【典例2】（2023秋·重慶萬州·高二校考階段練習）（多選）以下四個命題中錯誤的是（）A．向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若空間向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．對于空間向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若SKIPIF1<0，則P、A、B、C四點共面【答案】ABD【解析】當SKIPIF1<0為零向量時，滿足SKIPIF1<0