第5課時專題強化：圓周運動的臨界問題目標要求會分析水平面內、豎直面內和斜面上圓周運動的臨界問題。考點一水平面內圓周運動的臨界問題1．與摩擦力有關的臨界極值問題物體間恰好不發生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力。(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Ffm＝eq\f(mv2,r)，靜摩擦力的方向一定指向圓心。(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉動，其中一個物體存在一個恰不向內滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。2．與彈力有關的臨界極值問題(1)兩個接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力。例1(2024·安徽省合肥一中模擬)港珠澳大橋總長約55km，是世界上總體跨度最長、鋼結構橋體最長、海底沉管隧道最長的路海大橋，設計時速100km/h。如圖所示，該路段是港珠澳大橋的一段半徑r＝150m的圓弧形彎道，總質量m＝1800kg的汽車通過該圓弧形彎道時以速度v＝90km/h做勻速圓周運動(汽車可視為質點，路面視為水平且不考慮車道的寬度)。已知路面與汽車輪胎間的徑向最大靜摩擦力為汽車所受重力的eq\f(3,4)，重力加速度g取10m/s2，則()A．汽車過該彎道時受到重力、支持力、摩擦力、牽引力和向心力B．汽車過該彎道時所受徑向靜摩擦力大小為4000NC．汽車過該彎道時的向心加速度大小為4m/s2D．汽車能安全通過該彎道的最大速度為15eq\r(5)m/s答案D解析汽車過該彎道時受到重力、牽引力、支持力和摩擦力作用，摩擦力提供做圓周運動的向心力，故A錯誤；汽車過該彎道時所受徑向靜摩擦力大小為Ff＝meq\f(v2,r)＝7500N，故B錯誤；汽車過該彎道時的向心加速度大小為a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(25,6)m/s2，故C錯誤；汽車能安全通過該彎道速度最大時滿足eq\f(3,4)mg＝meq\f(vm2,r)，解得vm＝15eq\r(5)m/s，故D正確。例2(多選)(2023·陜西西安市慶安中學期中)如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為l，b與轉軸的距離為2l。木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是()A．b一定比a先開始滑動B．a、b所受的摩擦力始終相等C．ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開始滑動的臨界角速度D．當ω＝eq\r(\f(2kg,3l))時，a所受摩擦力的大小為kmg答案AC解析小木塊a、b做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。當角速度增大時，靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發生相對滑動，對木塊a有Ffa＝mωa2l，當Ffa＝kmg時，kmg＝mωa2l，ωa＝eq\r(\f(kg,l))；對木塊b有Ffb＝mωb2·2l，當Ffb＝kmg時，kmg＝mωb2·2l，ωb＝eq\r(\f(kg,2l))，則ω＝eq\r(\f(kg,2l))是b開始滑動的臨界角速度，即b比a先開始滑動，選項A、C正確；兩木塊滑動前轉動的角速度相同，則Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa<Ffb，選項B錯誤；ω＝eq\r(\f(2kg,3l))<ωa＝eq\r(\f(kg,l))，a沒有滑動，則Ffa′＝mω2l＝eq\f(2,3)kmg，選項D錯誤。拓展如圖所示，若在a、b之間拴一根輕繩，當輕繩恰好出現彈力時，角速度多大？當a、b開始滑動時，角速度多大，此時剪斷輕繩，分析a、b各做什么運動？答案若沒有輕繩時，b先滑動，b開始滑動時，a、b距離增大，此時若有輕繩，繩發生形變，開始有彈力，即ω＝eq\r(\f(kg,2l))時，輕繩開始有彈力；當a、b恰好開始滑動時，對b有kmg＋FT＝mω2·2l，對a有kmg－FT＝mω2·l，解得ω＝eq\r(\f(2kg,3l))，此時剪斷輕繩，b做離心運動，a仍和圓盤保持相對靜止。例3(多選)(2024·黑龍江哈爾濱市第二中學期中)質量為m的小球(視為質點)由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，當輕桿繞軸以角速度ω勻速轉動時，a繩與水平方向成θ角，b繩在水平方向上且長為l。重力加速度為g，下列說法正確的是()A．a繩的彈力隨角速度的增大而增大B．當角速度ω>eq\r(\f(g,ltanθ))時，b繩中產生彈力C．當b繩中產生彈力后，角速度再增大時a繩的彈力不變D．當b繩突然被剪斷時，a繩的彈力一定發生變化答案BC解析當b繩的彈力為零時，小球受重力和a繩的彈力，合力提供向心力，有eq\f(mg,tanθ)＝mlω2，解得ω＝eq\r(\f(g,ltanθ))，可知當角速度ω>eq\r(\f(g,ltanθ))時，b繩出現彈力，故B正確；根據豎直方向上受力平衡得Fasinθ＝mg，解得Fa＝eq\f(mg,sinθ)，可知a繩的彈力不變，故A錯誤，C正確；由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷時，a繩的彈力可能不變，故D錯誤。物體做圓周運動時，若物體的速度、角速度發生變化，會引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發生變化，進而出現某些物理量或運動狀態的突變，即出現臨界狀態，分析圓周運動臨界問題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各物理量的變化，找出臨界狀態。考點二豎直面內圓周運動的臨界問題1．豎直面內圓周運動的兩類模型輕繩模型輕桿模型常見類型小球最高點沒有支撐小球最高點有支撐最高點受力特征除重力外，物體受到的彈力方向：向下或等于零除重力外，物體受到的彈力方向：向下、等于零或向上最高點受力示意圖動力學方程mg＋F彈＝meq\f(v2,R)mg±F彈＝meq\f(v2,R)臨界特征F彈＝0mg＝meq\f(vmin2,R)即vmin＝eq\r(gR)①恰好過最高點，v＝0，F彈＝mg②恰好無彈力，F彈＝0，v＝eq\r(gR)過最高點的條件在最高點的速度v≥eq\r(gR)v≥02.解題技巧(1)物體通過圓周運動最低點、最高點時，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；(2)物體從某一位置到另一位置的過程中，用動能定理找出兩位置間的速度關系；(3)注意：求對軌道的壓力時，轉換研究對象，先求物體所受支持力，再根據牛頓第三定律求出壓力。例4(多選)(2023·陜西延安市黃陵中學模擬)如圖所示，一質量為m＝0.5kg的小球(可視為質點)，用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內做圓周運動，g＝10m/s2，下列說法正確的是()A．小球要做完整的圓周運動，在最高點的速度至少為2m/sB．當小球在最高點的速度為4m/s時，輕繩拉力大小為15NC．若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過4eq\r(2)m/sD．若輕繩能承受的最大張力為45N，小球的最大速度不能超過4m/s答案ABC解析設小球通過最高點時的最小速度為v0，則根據牛頓第二定律有mg＝meq\f(v02,R)，解得v0＝2m/s，故A正確；當小球在最高點的速度為v1＝4m/s時，設輕繩拉力大小為FT，根據牛頓第二定律有FT＋mg＝meq\f(v12,R)，解得FT＝15N，故B正確；小球在軌跡最低點處速度最大，此時輕繩的拉力最大，根據牛頓第二定律有FTm－mg＝meq\f(vm2,R)，解得vm＝4eq\r(2)m/s，故C正確，D錯誤。例5如圖所示，質量為1.6kg、半徑為0.5m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內，小球A和B(均可視為質點)的直徑略小于細圓管的內徑(內徑遠小于細圓管半徑)。小球A、B的質量分別為mA＝1kg、mB＝2kg。某時刻，小球A、B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為vA＝3m/s，此時桿對圓管的彈力為零，則B球的速度大小vB為(取g＝10m/s2)()A．2m/s B．4m/sC．6m/s D．8m/s答案B解析對A球，合外力提供向心力，設管對A的支持力為FA，由牛頓第二定律有FA－mAg＝mAeq\f(vA2,R)，代入數據解得FA＝28N，由牛頓第三定律可得，A球對管的力豎直向下，為28N，設B球對管的力為FB′，由管的受力平衡可得FB′＋28N＋m管g＝0，解得FB′＝－44N，負號表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，管對B球的力FB為44N，方向豎直向下，對B球由牛頓第二定律有FB＋mBg＝mBeq\f(vB2,R)，解得vB＝4m/s，故選B。分析豎直平面內圓周運動臨界問題的思路考點三斜面上圓周運動的臨界問題物體在斜面上做圓周運動時，設斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等。物體在轉動過程中，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。例6如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的角速度ω轉動，盤面與水平面的夾角為37°，盤面上離轉軸距離1.0m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，小物體的質量為1.0kg，小物體與盤面間的動摩擦因數為0.8(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)。則當ω達到最大值時，小物體運動到最高點時所受摩擦力的大小為(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)()A．5.6NB．6.0NC．6.4ND．8.0N答案A解析經分析，當物體運動到最低點時，摩擦力達到最大值，角速度達到最大值，根據牛頓第二定律得μmgcos37°－mgsin37°＝mrωm2在最高點，根據牛頓第二定律得Ff＋mgsin37°＝mrωm2，聯立以上兩式并代入數據得Ff＝－5.6N負號表示摩擦力的方向沿盤面向上，大小為5.6N，故選A。課時精練1.(2023·福建三明市模擬)如圖所示，當汽車通過拱橋頂點的速度為10m/s時，汽車對橋頂的壓力為車重力的eq\f(3,4)，如果要使汽車在粗糙的橋面經過橋頂時，恰好不受摩擦力作用，則汽車通過橋頂的速度應為()A．15m/sB．20m/sC．25m/sD．30m/s答案B解析如果要使汽車在粗糙的橋面經過橋頂時，不受摩擦力作用，即汽車只受重力作用，則有mg＝meq\f(v′2,R)，當汽車通過拱橋頂點的速度為10m/s時，汽車對橋頂的壓力為車重力的eq\f(3,4)，即支持力為eq\f(3,4)mg，則有mg－eq\f(3,4)mg＝meq\f(v2,R)，聯立解得v′＝20m/s，所以B正確，A、C、D錯誤。2．(2024·江蘇南京市中華中學月考)如圖甲所示為“鐵籠飛車”的特技表演，其抽象出來的理想模型為如圖乙所示的內壁光滑的圓球，其中a、b、c分別表示做圓周運動時的不同軌道，a軌道與b軌道均水平，c軌道豎直，一個質點在球內繞其光滑內壁做圓周運動時，下列有關說法正確的是()A．沿a軌道可能做變速圓周運動B．沿c軌道運動的最小速度為0C．沿a軌道運動的速度比沿b軌道運動的速度大D．沿a軌道運動的周期比沿b軌道運動的周期大答案D解析沿a軌道運動，設彈力與豎直方向的夾角為θ，根據牛頓第二定律得mgtanθ＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r，r＝Rsinθ解得v＝eq\r(gRsinθtanθ)，T＝2πeq\r(\f(Rcosθ,g))沿a軌道一定做勻速圓周運動，θ越小，v越小，周期越大，沿a軌道運動的速度比沿b軌道運動的速度小，周期大，A、C錯誤，D正確；沿c軌道在最高點，根據牛頓第二定律得mg＝meq\f(vmin2,R)，解得vmin＝eq\r(gR)，故在最高點的最小速度為eq\r(gR)，B錯誤。3.(多選)(2023·遼寧阜新市模擬)如圖為杭州亞運會體操賽場場景，“單臂大回環”是體操運動中的高難度動作，運動員單臂抓杠，以單杠為軸完成圓周運動，不考慮手和單杠之間的摩擦和空氣阻力，將人視為處于重心的質點，將“單臂大回環”看成豎直平面內的圓周運動，等效半徑為L，重力加速度為g，下列說法正確的是()A．單杠對手臂既可能提供拉力，也可能提供支持力B．從最高點到最低點的過程中，單杠對人的作用力不做功C．若運動員恰好能夠完成圓周運動，則運動員在最低點受單杠作用力大小為6mgD．若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最高點處時，手臂與單杠之間無作用力答案AB解析運動員在做圓周運動的過程中，單杠對手臂可能提供拉力，也可能提供支持力，如在最高點，當運動員的重力恰好提供向心力時，有mg＝meq\f(v2,L)，可得v＝eq\r(gL)，當運動員在最高點的速度大于eq\r(gL)時，單杠對運動員的力為拉力，當運動員在最高點的速度小于eq\r(gL)時，單杠對運動員的力為支持力，故A正確；從最高點到最低點的過程中，單杠對人的作用力一直與速度方向垂直，不做功，故B正確；若運動員恰好能夠完成此圓周運動，則運動員在最高點的速度為零，此時手臂與單杠之間支持力大小等于運動員的重力大小，故D錯誤；從最高點到最低點，根據動能定理有mg·2L＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝2eq\r(gL)，在最低點，有F－mg＝meq\f(v2,L)，所以F＝5mg，故C錯誤。4.(2023·湖南岳陽市第十四中學檢測)如圖所示，疊放在水平轉臺上的物體A、B及物體C能隨轉臺一起以角速度ω勻速轉動，A、B、C的質量分別為3m、2m、m，A與B、B和C與轉臺間的動摩擦因數都為μ，A和B、C離轉臺中心的距離分別為r和1.5r。最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，物體A、B、C均可視為質點，重力加速度為g，下列說法正確的是()A．B對A的摩擦力一定為3μmgB．B對A的摩擦力一定為3mω2rC．轉臺的角速度需要滿足ω≤eq\r(\f(μg,r))D．若轉臺的角速度逐漸增大，最先滑動的是A物體答案B解析由于物體A、B及物體C能隨轉臺一起勻速轉動，則三個物體受到的均為靜摩擦力，由靜摩擦力提供向心力，則B對A的摩擦力一定為FfA＝3mω2r，又有0<FfA≤Ffmax＝3μmg，由于角速度大小不確定，B對A的摩擦力不一定達到最大靜摩擦力3μmg，A錯誤，B正確；若物體A達到最大靜摩擦力，則3μmg＝3mω12r，解得ω1＝eq\r(\f(μg,r))，若轉臺對物體B達到最大靜摩擦力，對A、B整體有5μmg＝5mω22r，解得ω2＝eq\r(\f(μg,r))，若物體C達到最大靜摩擦力，則μmg＝mω32×1.5r，解得ω3＝eq\r(\f(2μg,3r))，可知ω1＝ω2>ω3，由于物體A、B及物體C均隨轉臺一起勻速轉動，則轉臺的角速度需要滿足ω≤ω3＝eq\r(\f(2μg,3r))，該分析表明，當角速度逐漸增大時，物體C所受摩擦力先達到最大靜摩擦力，即若轉臺的角速度逐漸增大，最先滑動的是C物體，C、D錯誤。5．(2023·四川綿陽市診斷)如圖所示，輕桿長3L，在桿兩端分別固定質量均為m的球A和B(均可視為質點)，光滑水平轉軸穿過桿上距球A為L處的O點，外界給系統一定能量后，桿和球在豎直平面內轉動，球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力。忽略空氣阻力，重力加速度為g，則球B在最高點時()A．球B的速度為零B．球A的速度大小為eq\r(2gL)C．水平轉軸對桿的作用力為1.5mgD．水平轉軸對桿的作用力為2.5mg答案C解析球B運動到最高點時，桿對球B恰好無作用力，即僅重力提供向心力，則有mg＝meq\f(vB2,2L)，解得vB＝eq\r(2gL)，故A錯誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)，故B錯誤；B球在最高點時，對桿無彈力，此時A球受到的重力和桿的彈力的合力提供向心力，有F－mg＝meq\f(vA2,L)，解得F＝1.5mg，由牛頓第三定律可知桿受到A球的彈力大小為1.5mg，則水平轉軸對桿的作用力為1.5mg，故C正確，D錯誤。6.(2024·江蘇揚州市江都中學檢測)如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B，mA＝4kg，mB＝1kg，它們分居在圓心兩側，與圓心距離為rA＝0.1m，rB＝0.2m，中間用水平細線相連，A、B與圓盤間的動摩擦因數均為μ＝0.2，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，若圓盤從靜止開始繞中心轉軸非常緩慢地加速轉動，g＝10m/s2，以下說法正確的是()A．A的摩擦力先達到最大B．當ω1＝2eq\r(5)rad/s，細線開始出現張力C．當ω1＝eq\r(30)rad/s，A、B兩物體出現相對圓盤滑動D．當ω1＝5eq\r(2)rad/s，A、B兩物體出現相對圓盤滑動答案D解析A達到最大靜摩擦力時的臨界角速度滿足μmAg＝mAω0A2rA，解得ω0A＝2eq\r(5)rad/s，同理可得，B達到最大靜摩擦力時的臨界角速度為ω0B＝eq\r(10)rad/s，則當圓盤轉動的速度逐漸變大時，B先達到角速度臨界值，則B的摩擦力先達到最大，選項A錯誤；當B的摩擦力達到最大，轉速再增加時，細線出現張力，即當ω1＝eq\r(10)rad/s時，細線開始出現張力，選項B錯誤；當A、B兩物體出現相對圓盤滑動時，B受到的摩擦力方向背離圓心，A受到的摩擦力方向指向圓心，則對A有FT＋μmAg＝mAω12rA，對B有FT－μmBg＝mBω12rB，解得ω1＝5eq\r(2)rad/s，選項C錯誤，D正確。7.(2023·河南鄭州市外國語學校模擬)越野滑雪集訓隊在某雪上項目室內訓練基地，利用工作起來似巨型“陀螺”的圓盤滑雪機模擬一些特定的訓練環境和場景，滑雪機轉速和傾角根據需要可調。一運動員的某次訓練過程簡化為如圖模型：圓盤滑雪機繞垂直于盤面的固定轉軸以恒定的角速度ω轉動，盤面上離轉軸距離為10m處的運動員(保持如圖滑行姿勢，可看成質點)與圓盤始終保持相對靜止，運動員質量為60kg，與盤面間的動摩擦因數為0.5，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，盤面與水平面的夾角為15°，g取10m/s2，已知sin15°≈0.260，cos15°≈0.966。則下列說法正確的是()A．運動員隨圓盤做勻速圓周運動時，一定始終受到兩個力的作用B．ω的最大值約為0.47rad/sC．ω取不同值時，運動員在最高點受到的摩擦力一定隨ω的增大而增大D．某次運動員轉到最低點時恰好不滑動，若運動員離轉軸距離變為11m處，則運動員仍可隨圓盤做勻速圓周運動答案B解析運動員隨圓盤做勻速圓周運動時，在最高點位置可能只受到重力和支持力，二者的合力恰好提供向心力，其他位置一定受重力、支持力、摩擦力三個力，三者的合力提供向心力，故A錯誤；在圓盤最低點，根據μmgcos15°－mgsin15°＝mωmax2r，解得ωmax≈0.47rad/s，故B正確；ω取不同數值時，設摩擦力指向圓心，則有mgsin15°＋Ff＝mω12r，設摩擦力背離圓心，則有mgsin15°－Ff′＝mω22r，由兩式可知ω取不同數值時，運動員在最高點受到的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C錯誤；運動員轉到最低點時恰好不滑動，有μmgcos15°－mgsin15°＝mωmax2r，若此時半徑變大，合力不足以提供向心力，運動員將會做離心運動，故D錯誤。8．(多選)(2024·廣東東莞市第四中學月考)如圖所示，半徑R＝3l的光滑圓筒豎直固定，長度為5l的輕繩，一端固定在圓筒軸線上一點，另一端懸掛可視為質點、質量為m的小球。現使小球在水平面內做勻速圓周運動，小球始終在圓筒內，重力加速度為g。下列說法正確的是()A．小球角速度越大，輕繩的拉力越大B．小球角速度ω＝eq\r(\f(g,l))時，輕繩的拉力為5mgC．小球角速度ω＝eq\r(\f(2g,9l))時，小球受兩個力的作用D．小球角速度ω＝eq\r(\f(g,2l))時，筒壁與小球之間作用力大小為eq\f(3,4)mg答案CD解析當小球角速度較小時，此時小球與圓筒未接觸，對小球受力分析得繩子拉力為FT＝eq\f(mg,cosθ)，可知此時隨著小球角速度越大θ越大，繩子的拉力越大，當小球與圓筒接觸后，小球角速度再大時θ不變，故此時繩子的拉力不變，故A錯誤；當小球與圓筒剛好接觸時有mgtanθ＝mω2R，tanθ＝eq\f(3l,\r(5l2－3l2))＝eq\f(3,4)，解得ω＝eq\r(\f(g,4l))，故可知當ω>eq\r(\f(g,4l))時，小球此時與圓筒間有彈力，故當小球角速度ω＝eq\r(\f(g,l))時，此時小球與圓筒間有彈力，繩子的拉力為FT＝eq\f(mg,cosθ)＝eq\f(mg,\f(4,5))＝eq\f(5,4)mg，當小球角速度ω＝eq\r(\f(2g,9l))<eq\r(\f(g,4l))時，小球未與圓筒接觸，此時只受重力和繩子的拉力兩個力的作用，故B錯誤，C正確；當小球角速度ω＝eq\r(\f(g,2l))時，此時小球與圓筒間有彈力作用，對小球受力分析FTsinθ＋FN＝mω2R，FTcosθ＝mg，解得筒壁與小球之間作用力大小為FN＝eq\f(3,4)mg，故D正確。9．(2024·安徽六安一中模擬)如圖所示，豎直面內的圓形管道半徑R遠大于橫截面的半徑，有一小球直徑比管橫截面直徑略小，在管道內做圓周運動。小球過最高點時，小球對管壁的彈力大小用F表示、速度大小用v表示，當小球以不同速度經過管道最高點時，其F－