第三章圓錐曲線的方程我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是一個圓．如果改變圓錐的軸與截平面所成的角，那么會得到怎樣的曲線呢？如圖，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線．我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線（conicsections）．3.1.1橢圓及其標準方程探究取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是一個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點F1，F2（圖3.1-1），套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什么？把細繩的兩端拉開一段距離，筆尖移動的過程中，細繩的長度保持不變，即筆尖到兩個定點的距離的和等于常數．MF1F2這兩個定點叫做橢圓的焦點（focus），兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距（focusdistance），焦距的一半稱為半焦距．由橢圓的定義可知，上述移動的筆尖（動點）畫出的軌跡是橢圓．問題1：橢圓的定義，完成以下表格做一做:下列說法正確的是(

)A.到F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B.到F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和為6的點的軌跡是橢圓C.到F1(-4,0),F2(4,0)兩點的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓D.到F1(-4,0),F2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓解析:A中,|F1F2|=8,故到F1,F2兩點的距離之和為常數8的點的軌跡是線段F1F2;B中,到F1,F2兩點的距離之和6小于|F1F2|,故這樣的軌跡不存在;C中,根據橢圓的定義,知軌跡是橢圓;D中,點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.答案:COMxyF1F2圖3.1-2思考觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？設為2a能為問題研究帶來方便．OPxyF1F2圖3.1-3OxyF1F2圖3.1-4M這個方程也是橢圓的標準方程．問題2：橢圓的標準方程，完成以下表格

做一做:已知橢圓的焦點坐標為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(

)A你還能用其他方法求它的標準方程嗎？試比較不同方法的特點．變式：求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別為(-4,0)和(4,0),且橢圓經過點(5,0);分析:求橢圓的標準方程關鍵是確定焦點的位置及a,b的值,若不能確定焦點位置,則要討論焦點在x軸上還是在y軸上.解:(1)∵橢圓的焦點在x軸上,(3)(方法一)①當橢圓的焦點在x軸上時,②當橢圓的焦點在y軸上時,反思感悟

1.利用待定系數法求橢圓的標準方程:(1)先確定焦點位置;(2)設出方程;(3)尋求a,b,c的等量關系;(4)求a,b的值,代入所設方程.2.當焦點位置不確定時,可設橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因為它包括焦點在x軸上(m<n)或焦點在y軸上(m>n)兩類情況,所以可以避免分類討論,從而簡化了運算.ODPMyx圖3.1-5ODPMyx思考由例2我們發現，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓．你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎？如何“拉伸”？由此你能發現橢圓與圓之間的關系嗎？OABMxy圖3.1-6OABMxy圖3.1-614ABAB4.如圖，圓