方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦

通徑y(tǒng)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱

(0,0)拋物線的簡單幾何性質(zhì)課前回顧拋物線的焦點弦1.過焦點的直線與拋物線相交所得的弦叫做焦點弦.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),則有以下結(jié)論:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)當AB垂直于對稱軸時,焦點弦最短;(5)以AB為直徑的圓必與準線相切,以AF為直徑的圓必與y軸相切.2.做一做:(1)過拋物線y2=4x的焦點作一條直線與拋物線相交于A,B兩點,它們的橫坐標之和等于5,則這樣的直線(

)A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條C.有無窮多條 D.不存在(2)過拋物線y2=4x的焦點的直線交拋物線于A,B兩點,O為坐標原點,則

的值是(

)A.12 B.-12 C.3

D.-3解析:(1)由定義|AB|=5+2=7,∵|AB|min=4,∴這樣的直線有且僅有兩條.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),答案:(1)B

(2)D1.通過拋物線與其方程的學習,進一步體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.會用方程、數(shù)形結(jié)合思想解決直線與拋物線的位置關(guān)系.3.能運用直線與拋物線的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題.4.掌握拋物線中的定點與定值問題的求解方法.學習目標

一、直線與拋物線的位置關(guān)系問題1.類比直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系,思考直線與拋物線有幾種位置關(guān)系?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:直線與拋物線的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與拋物線方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的方程,利用方程的解來判斷.問題2.設(shè)直線l:y=kx+b與拋物線y2=2px(p>0),兩方程聯(lián)立消去y,會得到一個什么樣的方程?怎樣判斷這個方程的解的個數(shù)?提示:兩方程聯(lián)立消去y,得k2x2+2(kb-p)·x+b2=0.當k=0時,方程有一解;當k≠0時,Δ>0?方程有兩解;Δ=0?方程有一解;Δ<0?方程無解.問題與例題

問題3.如果直線與拋物線只有一個公共點,那么直線與拋物線一定相切嗎?提示:可能相切,也可能相交,當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時,直線與拋物線相交且只有一個公共點.填空:直線與拋物線的位置關(guān)系直線y=kx+b與拋物線y2=2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組

解的個數(shù),即方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的個數(shù).(1)當k=0時,直線與拋物線的對稱軸平行或重合,此時直線與拋物線有

一個公共點.(2)當k≠0時,Δ>0?直線與拋物線有兩個不同的公共點,此時稱直線與拋物線相交;Δ=0?直線與拋物線有一個公共點,此時稱直線與拋物線相切;Δ<0?直線與拋物線沒有公共點,此時稱直線與拋物線相離.例1、

已知拋物線的方程為y2=4x,直線l過定點P(-2,1),斜率為k,當k為何值時,直線l與拋物線y2=4x只有一個公共點?有兩個公共點?沒有公共點?分析:直線與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)“Δ”的正負判斷.解:由題意,直線l的方程為y-1=k(x+2),(2)當k≠0時,方程①的判別式為Δ=-16(2k2+k-1).【變式訓(xùn)練1】

若直線l:y=(a+1)x-1與曲線C:y2=ax(a≠0)恰好有一個公共點,試求實數(shù)a的取值集合.解:因為直線l與曲線C恰好有一個公共點,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,即(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0.①(1)當a+1=0,即a=-1時,方程①是關(guān)于x的一元一次方程,解得x=-1,(2)當a+1≠0,即a≠-1時,方程①是關(guān)于x的一元二次方程.令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,反思感悟

判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元,轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式,注意討論二項系數(shù)是否為0.若該方程為二次方程,利用判別式判斷方程解的個數(shù).例2、(1)已知過點Q(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,恰被點Q所平分,則AB所在直線的方程為

.

解析:(方法一)設(shè)以Q為中點的弦AB的端點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),消去x,得ky2-8y-32k+8=0,此方程的兩根就是線段端點A,B兩點的縱坐標,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=.又y1+y2=2,∴k=4.∴所求弦AB所在直線的方程為4x-y-15=0.答案:4x-y-15=0(2)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9.①求該拋物線的方程;分析:(1)方法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),用點差法求kAB;方法二:設(shè)直線AB的方程,聯(lián)立方程組求解.(2)①設(shè)出直線方程,直線方程與拋物線方程聯(lián)立,根據(jù)焦點弦長公式求解.由拋物線定義得,|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,從而拋物線方程是y2=8x.②由p=4,4x2-5px+p2=0可簡化為x2-5x+4=0,【變式訓(xùn)練2】

已知拋物線y2=2x,過點Q(2,1)作一條直線交拋物線于A,B兩點,試求弦AB的中點的軌跡方程.解法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中點為M(x,y),反思感悟

直線與拋物線相交的弦長問題,設(shè)直線和拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線的斜率為k.(2)焦點弦長公式:當直線經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點時,弦長|AB|=x1+x2+p.(3)求解“中點弦”問題的兩種方法:ABFxyD圖3.3-5例3、經(jīng)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．分析：我們用坐標法證明這個結(jié)論，即通過建立拋物線及直線的方程，運用方程研究直線DB與拋物線對稱軸之間的位置關(guān)系．建立如圖3.3-5所示的直角坐標系，只要證明點D的縱坐標與點B的縱坐標相等即可．ABFxyD圖3.3-5ABFxyD圖3.3-5所以，直線DB平行于拋物線的對稱軸．ABFKxyABFKxyABFKxy反思感悟

直線與拋物線相交問題中有很多的定值問題,若該定值是個待求的未知量,則可以先利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出該定值,再證明該定值即為所求.目標檢測1.過點(2,4)作直線l,與拋物線y2=8x只有一個公共點,這樣的直線l有(

)A.1條 B.2條

C.3條 D.4條解析:由題意可知點(2,4)在拋物線y2=8x上,故過點(2,4)與拋物線y2=8x只有一個公共點的直線有兩條,一條是拋物線的切線,另一條與拋物線的對稱軸平行.答案:B2.與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程為(

)A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0得x2-2x-m=0.由Δ=4+4m=0,得m=-1,故切線方程為2x-y-1=0.故選D.答案:D3.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為(

)A.x=1

B.x=-1 C.x=2

D.x=-2答案:B4.設(shè)拋物線x2=12y的焦點為F,經(jīng)過點P(2,1)的直線l與拋物線相交于A,B兩點,又知點P恰為AB的中點,則|AF|+|BF|=

.

解析:分別過點A,B,P作準線的垂線(圖略),垂足分別為M,N,Q,根據(jù)拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準線的距離,得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PQ|=8.答案:8ABCMO1課后練習課本（第138頁）FMlMNMFlMFlAB5.過拋物線C:y2=12x的焦點作直線l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,若x1+x2=6,則|AB|=()

A.16 B.12 C.10 D.8解析:由題意知p=6,故|AB|=x1+x2+p=12.答案:B6.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線與拋物線C相交于P,Q兩點,與y軸交于點A,若,O為坐標原點,則△OPQ的面積為()

A. B. C. D.4解析:拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0),其準線方程為x=-1,

過點Q作QN垂直于直線x=-1,與y軸交于點M.

∵,∴F為AQ的中點,∴|QM|=2|OF|=2.∵|QM|=xQ,∴xQ=2.

∴yQ=,∴直線PQ的方程為y-0=(x-1),即y=2(x-1).

聯(lián)立拋物線直線方程解得x=2或x=,

∴|PQ|=x1+x2+p=.

又點O到直線PQ的距離d=,∴△OPQ的面積為S=|PQ|·d=.7.設(shè)拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是()

A. B.[-2,2]C.[-1,1] D.[-4,4]解析:準線x=-2,Q(-2,0),設(shè)l:y=k(x+2),聯(lián)立直線拋物線方程得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.當k=0時,x=0,即交點為(0,0),當k≠0時,Δ≥0,-1≤k<0或0<k≤1.綜上,k的取值范圍是[-1,1].答案:C8.過點(0,-2)的直線與拋物線y2=8x交于A,B兩點,若線段AB中點的橫坐標為2,則|AB|等于()

A. B. C. D.解析:設(shè)直線方程為y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立直線拋物線方程得k2x2-4(k+2)x+4=0.∵直線與拋物線交于A,B兩點,∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.又,∴k=2或k=-1(舍).∴|AB|=.答案:C9.已知拋物線C的方程為x2=y,過點A(0,-1)和點B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點,則實數(shù)t的取值范圍是()

A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.

C.D.解析:由題意可知t≠0.由已知可得直線AB的方程為y=x-1,聯(lián)立直線與拋物線方程消元整理得,由于直線與拋物線無公共點,即方程無解,故有,解得或.答案:D10.已知拋物線C的頂點為坐標原點,焦點在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點.若P(2,2)為AB的中點,則拋物線C的方程為

.

解析:設(shè)拋物線方程為y2=kx,與y=x聯(lián)立方程組,消去y,得x2-kx=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=k.∵P(2,2)為AB的中點,∴.∴k=4.∴y2=4x.答案:y2=4x11.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點,A,B是拋物線C上的兩個點,線段AB的中點為M(2,2),則△ABF的面積等于

.

解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,,

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).∵x1≠x2,∴.∴直線AB的方程為y-2=x-2,即y=x.將其代入y2=4x,A(0,0),B(4,4).∴|AB|=.又F(1,0)到y(tǒng)=x的距離為,∴S△ABF=.答案:21213、

已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,并滿足OA⊥OB,求證:(1)A,B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積分別都是一個定值;(2)直線AB經(jīng)過一個定點.證明:(1)因為AB的斜率不為0,所以設(shè)直線AB的方程