2005年考研數(shù)學(xué)(三)真題

一、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)

(1)極限limxsin—；---=.

Z8x+1

(2)微分方程“'+y=O滿足初始條件y⑴=2的特解為.

⑶設(shè)二元函數(shù)z=xe，"+(x+l)ln(l+y),那么dz=________.

(1,0)

⑷設(shè)行向量組(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān)，且awl,那么a=.

(5)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2,…,X中任取一個數(shù)，記為Y那么

p{y=2}=.

(6)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率分布為

01

00.4a

1b0.1

隨機事件｛X=0｝與｛X+y=l｝相互獨立，那么a=,b=.

二、選擇題(此題共8小題，每題4分，總分值32分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)〕

(7)當a取以下哪個值時，函數(shù)/(%)二2工3-9一+12X一。恰好有兩個不同的零點.

(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[]

22222

(8)設(shè)人=||cos^/x+yda,I2=||COS(Y+y)Jcr,/3=jjcos(x+^2)240,其中

DDD

￡>=｛(%,y)|x2+/<l｝,那么

(A)/3>/2>/(.(B)It>I2>I3.

(C)/2>/,>八.(D)/3>Z,>/2.[]

(9)設(shè)a“>0,〃=1,2「一，假設(shè)￡巴發(fā)散,

收斂，那么以下結(jié)論正確的是

n=lM=1

008

a(B)t的“收斂，￡>2,1發(fā)散?

(A)Z的,T收斂，Y2n發(fā)散.

n=l?=ln=]n=\

_Q0_

(C)\>2.-1+。2.)收斂?(D)1>2,“一。2”)收斂?(】

n=ln=l

(10)設(shè)/O)=xsin%+cosx,以下命題中正確的是

(A)f(0)是極大值，/(耳)是極小值.(B)f(0)是極小值，/(5)是極大值.

(C)f(0)是極大值，/(2)也是極大值.(D)f(0)是極小值，/(])也是極小值.

[1

(11)以下四個命題中，正確的是

(A)假設(shè)/'(X)在[0,1)內(nèi)連續(xù)，那么f(x)在(0,1)內(nèi)有界

(B)假設(shè)/(幻在(0,1)內(nèi)連續(xù)，那么f(x)在(0,1)內(nèi)有界.

(C)假設(shè)/'(X)在(0,1)內(nèi)有界，那么f(x)在(0,1)內(nèi)有界.

(D)假設(shè)/(幻在(0,1)內(nèi)有界，那么/'(X)在(0,1)內(nèi)有界.[]

7

(12)設(shè)矩陣A=(%)3X3滿足A*=A「，其中A*是A的伴隨矩陣，A■為A的轉(zhuǎn)置矩陣.假設(shè)

日],日2，%3為三個相等的正數(shù)，那么為1為

I

(A)—.(B)3.(C)(D)73.[]

33

(13)設(shè)4,4是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為名,％，那么%,A(?,+a2)

線性無關(guān)的充分必要條件是

(A)A,=0.(B)4=0.(C)4Ho.(D)/12Ho.[]

(14)設(shè)一批零件的長度服從正態(tài)分布N(〃,CT2),其中〃均未知.現(xiàn)從中隨機抽取16個零件，

測得樣本均值x=20(c〃z),樣本標準差s=l(cw),那么〃的置信度為0.90的置信區(qū)間是

(A)(20——/005(16),20+—05(16)).(B)(20--ZOI(16),20+—/01(16)).

(C)(20-^OO5(15),20+1/o05(15)).(D)(20-^0l(15),20+^0l(15)).[]

三、解答題(此題共9小題，總分值94分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(此題總分值8分)

求lim(上土-人).

a。l-e~xx

(16)(此題總分值8分)

設(shè)f(U)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(x,y)=/(2)+漢與，求/咨一產(chǎn)駕.

xydxdy

(17)(此題總分值9分)

計算二重積分“產(chǎn)其中O={(羽y)|0<x<l,O<y<l}.

D

(18)(此題總分值9分)

81

求募級數(shù)Z(-------1)/"在區(qū)間(一1,1)內(nèi)的和函數(shù)s(x).

?=i2〃+1

(19)(此題總分值8分)

設(shè)f(x),g(x)在[0,1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù),且可0)=0,./0)20送'(對20.證明：對任何ae[0,l],有

(20)(此題總分值13分)

齊次線性方程組

x}+2X2+3X3=0,

(i){2范+3%2+5元3=0,

%)+x2+ax3=0,

和

5)f+bx2+cx3=0,

2

2X1+hx2+(c+l)x3=0,

同解，求a,b,c的值.

(21)(此題總分值13分)

-AC

設(shè)。=,為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為機x”矩陣.

CTB

「E-A~'C

⑴計算P’OP,其中P=；

E,_

(ID利用⑴的結(jié)果判斷矩陣3-C'ATC是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.

(22)(此題總分值13分)

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為

求：⑴學(xué),丫)的邊緣概率密度心(%)，萬(丁)；

(IDz=2X—y的概率密度心(Z).

(iii)<-x<-}.

22

(23)(此題總分值13分)

設(shè)乂”乂2「、乂“(〃>2)為來自總體N(0,/)的簡單隨機樣本，K為樣本均值，記

匕=X,一月i=l,2,.

求：⑴匕的方差。匕,i=l,2,…

(ID匕與匕的協(xié)方差。。火匕，匕).

(III)假設(shè)C?+工＞是/的無偏估計量，求常數(shù)C.

2005年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析

一、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)

2x

(1)極限limxsinF——=_2_.

X-8x2+1

【分析】此題屬基此題型，直接用無窮小量的等價代換進行計算即可.

2r2x

【詳解】limxsin—^-=limxV-=2.

00X~+1X+1

(2)微分方程R+y=O滿足初始條件y⑴=2的特解為xy=2.

【分析】直接積分即可.

【詳解】原方程可化為(孫)'=0,積分得xy=C,

代入初始條件得C=2,故所求特解為xy=2.

(3)設(shè)二元函數(shù)z=xe"?+(x+l)ln(l+y),那么dz1。=2etir+(e+2)辦.

【分析】基此題型，直接套用相應(yīng)的公式即可.

【詳解】絲=e巾'+我中+ln(l+y),

dx

dzx+1

—=xet+yv+----,

dy1+y

于是dz(0=2edr+(e+2)dy.

⑷設(shè)行向量組(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān)，且awl,那么a=-.

2

【分析】四個4維向量線性相關(guān)，必有其對應(yīng)行列式為零，由此即可確定a.

【詳解】由題設(shè)，有

2II1

21aa11

=(。一1)(2。-1)=0,得a=l,a=—,但題設(shè)awl,故。=—.

321a22

4321

(5)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù)，記為X,再從1,2,…,X中任取一個數(shù)，記為Y,那么

13

P{y=2}=——.

48

【分析】此題涉及到兩次隨機試驗，想到用全概率公式，且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即

為完備事件組或樣本空間的劃分.

【詳解】P{y=2}=p{x=i}P{y=2|x=i}+P{x=2}尸{y=[x=2}

+P[X=3]P{Y=2|x=3}+P{X=4}P{y=2|x=4}

10111、13

=-x(0+-+-+—)=——

423448

(6)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率分布為

01

00.4a

1b0.1

隨機事件｛X=0｝與｛X+Y=l｝相互獨立，那么a=0.4,b=0J

【分析】首先所有概率求和為1,可得a+b=0.5,其次，利用事件的獨立性又可得一等式，由此可確定

a,b的取值.

【詳解】由題設(shè)，知a+b=0.5

又事件｛X=0｝與｛X+F=l｝相互獨立，于是有

p{x=o,x+y=1}=P{x=0}P{x+y=1},

即a=(0.4+?)(?+/?),由此可解得a=0.4,b=0.1

二、選擇題〔此題共8小題，每題4分，總分值32分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(7)當a取以下哪個值時，函數(shù)/。)=2/一9/+12》一。恰好有兩個不同的零點.

(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]

【分析】先求出可能極值點，再利用單調(diào)性與極值畫出函數(shù)對應(yīng)簡單圖形進行分析，當恰好有一個極

值為零時，函數(shù)f(x)恰好有兩個不同的零點.

【詳解】f\x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-2),知可能極值點為x=l,x=2,且

/(l)=5-a,/(2)=4—。，可見當a=4時，函數(shù)f(x)恰好有兩個零點，故應(yīng)選(B).

22222

(8)設(shè)I1=jjcosjx?+y2db,/2=cos(x+y)da,I3=JJcos(x+y)t/cr,其中

DDD

￡)={(x,y)|x2+y2<1},那么

(A)I3>I2>(B)Z1>/2>Z3.

(C)I2>/,>/3.(D)/3>/,>Z2.[A]

【分析】關(guān)鍵在于比擬Jx2+y2、/+y2與(/+y2)2在區(qū)域。={(乂切,2+丁24]}上的大小

【詳解】在區(qū)域￡>={(X,y),2+/<]}上，有04x2+y2<i,從而有

TT

由于cosx在(0,—)上為單調(diào)減函數(shù)，于是

2

)db<jjcos(x2+y2)2db,故應(yīng)選(A).

DDD

(9)設(shè)a“>0,〃=l,2,???，假設(shè)發(fā)散，￡(-1)〃一%〃收斂，那么以下結(jié)論正確的是

?=1"=1

(A)￡>2,T收斂，發(fā)散.(B)t的“收斂，發(fā)散

n=ln=ln=ln=\

_oo_g_

(C)工(“2"-1+外,,)收斂?(D)W?4,“一國)收斂?[D]

〃=1ZI=i

【分析】可通過反例用排除法找到正確答案.

【詳解】取句,，那么￡明發(fā)散，之(一1尸”，收斂，

〃n=ln=1

000000

但與均發(fā)散，排除(A),(B)選項，且工(。2".1+%")發(fā)散，進一步排除(C),故應(yīng)選(D).

w=in=ln=l

事實上，級數(shù)-。2“)的局部和數(shù)列極限存在。

n=\

(10)設(shè)/(x)=xsinx+cosx,以下命題中正確的是

(B)f(0)是極大值，是極小值.(B)f(0)是極小值，/(10是極大值.

(C)f(0)是極大值，/(1)也是極大值.(D)f(0)是極小值，也是極小值.

[B]

【分析】先求出/'(x),/〃(x),再用取極值的充分條件判斷即可.

【詳解】人人…用…山—然八。)=。,尸弓)=。，

又了—且/(。)=1>。,/〃電話<。，故f⑼是極小值，嗎)是極大值,

應(yīng)選(B).

(11)以下四個命題中，正確的是

(A)假設(shè)/'(X)在[0,1)內(nèi)連續(xù)，那么f(x)在(0,1)內(nèi)有界.

(B)假設(shè)/(X)在(0,1)內(nèi)連續(xù),那么f(x)在(0,1)內(nèi)有界.

(C)假設(shè)/'(X)在(0,1)內(nèi)有界，那么f(x)在[0,1)內(nèi)有界.

(D)假設(shè)/(x)在(0,1)內(nèi)有界，那么/'(X)在(0,1)內(nèi)有界.fC]

【分析】通過反例用排除法找到正確答案即可.

【詳解】設(shè)f(x)=L那么f(x)及/'(處二-士均在(0,1)內(nèi)連續(xù)，但f(x)在(0,1)內(nèi)無界，排除

XX

(A)、(B);又/(》)=?在(0,1)內(nèi)有界，但尸(x)=」產(chǎn)在(0,1)內(nèi)無界，排除(D).故應(yīng)選(C).

2y1x

(12)設(shè)矩陣A=(他)3,3滿足A*=AL其中A*是A的伴隨矩陣，4,為A的轉(zhuǎn)置矩陣.假設(shè)

。「。吐，。”為三個相等的正數(shù)，那么為

(A)—.(B)3.(C)(D)V3.[A]

【分析】題設(shè)與A的伴隨矩陣有關(guān)，一般聯(lián)想到用行列展開定理和相應(yīng)公式：

AA'=AA=網(wǎng)E.

【詳解】由A*=A，及A4*=A*A=|HE,有%=&,i,j=1,2,3,其中Ai}為a..的代數(shù)余子式，

且=|A|En|A『=|A『n|A|=0或同=1

而同+q2A2+013、=3。；]，于是同=1，且=—.故正確選項為(A).

(13)設(shè)4,4是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為%,。2,那么%，4%+。2)

線性無關(guān)的充分必要條件是

(A)4=°-(B)22=0.(C)4N0.(D)Z,*0.[D]

【分析】討論一組抽象向量的線性無關(guān)性，可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可.

【詳解】方法一：令kiai+k2A{a}+?2)=0,那么

匕％++k242a2=0，（占+k24）%+k2X2a2=0.

由于%,a2線性無關(guān)，于是有

當4力。時，顯然有匕=0,自=0，此時%，4區(qū)+%)線性無關(guān)；反過來，假設(shè)%,

4%+%)線性無關(guān)，那么必然有；I?#0(,否那么，/與4%+4)=4/線性相關(guān))，故應(yīng)選(B).

方法二:由于[%,4（囚+a）]=[a,Aa+Aa]=[a,a]i4

2ii]22x2o4

1%

可見%,A(%+。2)線性無關(guān)的充要條件是=幾2W0.故應(yīng)選(D).

o4

(14)設(shè)一批零件的長度服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃,。2均未知.現(xiàn)從中隨機抽取16個零件,

測得樣本均值x=20(c〃z),樣本標準差s=l(cm),那么"的置信度為0.90的置信區(qū)間是

(A)(20——?005(16),20+—1005(16)).(B)(20——Zo](16),20+—Z01(16)).

C]

(C)(20-^005(15),20+1Z005(15)).(D)(20-^0I(15),20+^01(15)).[

【分析】總體方差未知，求期望的區(qū)間估計，用統(tǒng)計量：=幺~/(〃一1).

幾

【詳解】由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知，=幺~1),故〃的置信度為0.90的置信區(qū)間是

%

(彳一二fa(〃-1)，元+3fa(〃一1))，即(20—1%05(15)20+!八05(15)).故應(yīng)選(C).

-Jn2yln244

三、解答題(此題共9小題，總分值94分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(此題總分值8分)

求lim(上工-')?

a。]-e-xx

【分析】"8—8"型未定式，一般先通分，再用羅必塔法那么.

『』初,r/]+%x+x2-1-^-e

L詳解]lim(----------)=lrim---------------

xx

…i-e-x5x(l-e~)

x+x2-i+e~x

=lim

XTO

1+2x—c

=lim-----------

io2x

2+e-x3

=lim

x->022

(16)(此題總分值8分)

o2o2

設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(x,y)=/(2)+才(￡)，求，冷一產(chǎn)駕.

xydxdy

【分析】先求出二階偏導(dǎo)數(shù)，再代入相應(yīng)表達式即可.

【詳解】由條件可得

察=々八馬+廣心，

dxxxy

空=之八馬+4/ff<-)+-/*(-)，

oxx'xxyyy

空」/g)+/(WY)，

dyxxyyy

（4=4f"（-）-4/（土）+4/*（-）+4n-），

oyxxyyyyyy

所“Y232gQ2

所以X^-y獷

=至r（—+4/7-）+—/"（-）-4/ff（2）-—/"（-）

XXX-yyyXyy

=生八馬.

XX

（17）（此題總分值9分）

計算二重積分0卜2+y2_“db,其中。={（x,y）|0<X<1,O<^<1}.

D

【分析】被積函數(shù)含有絕對值，應(yīng)當作分區(qū)域函數(shù)看待，利用積分的可加性分區(qū)域積分即可.

【詳解】記。]={（%,）0,2+y2?],Q,y）e0,

2

D2={（x,j）|x+y2>1,（x,y）e￡>},

222

于是JJF+y-ijtZcr=-1|(x+V_l)dxdy+(x+y—l)dxdy

DDio,

￡j

_1呵（/-1）心+『爐+y2-l)dxdy-JJ(x2+/-Y)dxdy

oO|

成++/-1）辦-￡河（產(chǎn)-=

（18）（此題總分值9分）

81

求某級數(shù)二（五口-1）/"在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的和函數(shù)S（x）.

【分析】募級數(shù)求和函數(shù)一般采用逐項求導(dǎo)或逐項積分，轉(zhuǎn)化為幾何級數(shù)或函數(shù)的幕級數(shù)展開式，從

而到達求和的目的.

【詳解】設(shè)

81

S（x）=Z（=T*'，

”=]2〃+1

S|(X)=￡^7Xn9S?(x)=，

n=\2〃+1n=l

那么5(x)=S}(x)-S2(x),xG(-1,1).

由于

sr2

§2。)=￡廠〃="T，

〃=l1—X

oo2

(xS|(x))'=￡/"=,xe(-1,1),

?=il-x

因此xS,(x)-1',dt=-x+—hi

1J。1—產(chǎn)2l-x

又由于S|(0)=0,故

11+x_]?H<]

ln_

所以S(x)=S,(x)-S2(x)=fc]T^1_x2'

0,x=8

(19)(此題總分值8分)

設(shè)f(x),g(x)在[0,1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且出0)=0,/'(幻20送口)20.證明：對任何ae[0,1],有

【分析】可用參數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式證明，或根據(jù)被積函數(shù)的形式，通過分部積分討論.

【詳解】方法一：設(shè)

F(x)=/(x)g(l),

那么F(x)在[0,1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且

k(x)=g(x)/(x)—―⑴=((x)[g(x)—g⑴]，

由于xe[0,1]時，f'(x)>0,g'(x)>0,因此產(chǎn)'(x)10,即F(x)在[0,1]上單調(diào)遞減.

注意到

尸⑴=￡g(t)『(t)dt+￡/⑺g‘⑺分一/⑴g⑴，

而fg⑺r⑺力==g(t)f(t)'-(f(t)g'(t)dt

=/a)g⑴-

故F(l)=0.

因此xe[0,1]時，F(xiàn)(x)>0,由此可得對任何ae[0,1],有一

方法二：[g(x)f'(x)dx=g(%)/(%)|fkx)g\x)dx

*00()

=f(a)g(a)-￡f{x}g'(x)dx,

Ju

=/(a)g(a)-￡/(x)g'Q)dx+￡f(x)g'(x)dx

由于尤e[0,1]時，g,（x）＞0,因此

/(x)g'(x)>/(a)g'(x),xe[a,l],

￡f(x)g'(x)dx>ff(a)g'(x)dx=/(a)[g⑴-g(?)]，

從而^g(x)f\x)dx+￡f(x)g'(x)dx

(20)(此題總分值13分)

齊次線性方程組

X]+2X2+3X3=0,

⑴2玉+3X2+5x3=0,

x,+x2+ax3=0,

和

x+bx+cx=0,

(ii)l23

2

2$+bx2+(c+l)x3=0,

同解，求a,b,c的值.

【分析】方程組（ii）顯然有無窮多解，于是方程組（i）也有無窮多解，從而可確定a,這樣先求出

（i）的通解，再代入方程組（ii）確定b,c即可.

【詳解】方程組（ii）的未知量個數(shù)大于方程個數(shù)，故方程組方程組（ii）有無窮多解.因為方程組⑴

與（ii）同解，所以方程組（i）的系數(shù)矩陣的秩小于3.

對方程組⑴的系數(shù)矩陣施以初等行變換

1

ci—2

從而a=2.此時，方程組⑴的系數(shù)矩陣可化為

123101

235—>011

112000

故（-1,-11）'是方程組（i）的一個根底解系.

將內(nèi)=-1,々=一1,當=1代入方程組⑴）可得

〃=l,c=2或力=0,c=l.

當。=l,c=2時，對方程組(ii)的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有

112]F101

213廠11

顯然此時方程組(i)與(ii)同解.

當b=O,c=l時,對方程組(ii)的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有

1011「101

202J|_000

顯然此時方程組(i)與(ii)的解不相同.

綜上所述，當a=2,b=l,c=2時，方程組⑴與(ii)同解.

(21)(此題總分值13分)

4C

設(shè)。=T為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為〃zx〃矩陣.

CrB

(I)計算P'DP,其中「

。E”

(II)利用⑴的結(jié)果判斷矩陣8-C'ATC是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.

【分析】第一局部直接利用分塊矩陣的乘法即可；第二局部是討論抽象矩陣的正定性,一般用定義.

O

【詳解】⑴因P有

-CTA-'E._

oA-A-'c

TEm

PDP=7

TC'B\[oE_

-CA-'E“n

4C話-A-'C

T

0B-CA-'C][OEn

Ao

oB-CTA']C

(ID矩陣8—。丁4一1。是正定矩陣.

由(I)的結(jié)果可知，矩陣D合同于矩陣

又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣.

因矩陣M為對稱矩陣，故3-。7-七為對稱矩陣.對X=(0,0,…T及任意的

丫=(%,必，…,y,,),工0，有

（X'yT）］B；4_（［：）=丫7'（8-。7-|。丫>0.故5-。"一|。為正定矩陣.

（22）（此題總分值13分）

設(shè)二維隨機變量（X,Y）的概率密度為

求：⑴途,丫）的邊緣概率密度心（幻，力（30；

（IDz=2x—y的概率密度心（Z）.

1

（in）p{y<-x<-}.

222

【分析】求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機變量函數(shù)的概率密度，一般用分布函數(shù)法,

即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度；直接用條件概率公式計算即可.

【詳解】（I）關(guān)于X的邊緣概率密度

<X<1,

其他.

2x,0<x<1,

一10,其他

關(guān)于Y的邊緣概率密度

dx,0<y<2,

4（y）=「/（x，y）dx=<v

0,其他

1-2.0<y<2,