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文檔簡介

習題12.4(A)組1.計算下列第一類曲面積分(1),其中為上半球面。解：下面考慮。曲面為上半球面，我們將其分為和，其中是位于面之前，方程是，而是位于面之后，方程是，和在面上投影區域相同，為由對稱性則因此。(2),其中為錐面與平面所圍成區域的整個邊界曲面。解：將曲面分為和，其中為的平面，為錐面，則和在面上投影區域相同為于是。(3),其中為圓柱面介于及之間的部分()。解：我們將c分為和，其中是位于面之前，方程是，而是位于面之后，方程是，和在面上投影區域相同，為曲面面積微元為于是。(4),其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部。解：S在上的投影為方程為，于是(5),其中S是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個邊界曲面。解：將S分為四個區域，分別是上的截面，為上的截面，于是在投影，方程是則。(6),其中為平面在第一卦限中的部分。解：S在平面上的投影區域為方程為，則。2.求由半球面與旋轉拋物面所圍成的立體的整個表面的面積。解：。3.求球面被柱面截下部分的面積。解：S在平面上的投影區域為，曲線方程為或，由對稱性得，則面積4.設拋物面殼的殼密度為，試求該殼的質量。解：由題意知。5.求均勻曲面的重心坐標。解：設均勻曲面的重心為，則由于曲面關于和面對稱，故則，故重心坐標為。(B)組1.當是xOy面內的一個閉區域時,曲面積分與二重積分有什么關系?解：設為對應的平面區域，則。2.設有一分布著質量的曲面,在點(x,y,z)處的面密度為(x,y,z),(1)用對面積的曲面積分表示這曲面對x軸的轉動慣量;(2)對原點的轉動慣量;(3)求均勻圓錐面

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