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文檔簡介

習題12.4(A)組1.計算下列第一類曲面積分(1),其中為上半球面。解:下面考慮。曲面為上半球面,我們將其分為和,其中是位于面之前,方程是,而是位于面之后,方程是,和在面上投影區域相同,為由對稱性則因此。(2),其中為錐面與平面所圍成區域的整個邊界曲面。解:將曲面分為和,其中為的平面,為錐面,則和在面上投影區域相同為于是。(3),其中為圓柱面介于及之間的部分()。解:我們將c分為和,其中是位于面之前,方程是,而是位于面之后,方程是,和在面上投影區域相同,為曲面面積微元為于是。(4),其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部。解:S在上的投影為方程為,于是(5),其中S是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個邊界曲面。解:將S分為四個區域,分別是上的截面,為上的截面,于是在投影,方程是則。(6),其中為平面在第一卦限中的部分。解:S在平面上的投影區域為方程為,則。2.求由半球面與旋轉拋物面所圍成的立體的整個表面的面積。解:。3.求球面被柱面截下部分的面積。解:S在平面上的投影區域為,曲線方程為或,由對稱性得,則面積4.設拋物面殼的殼密度為,試求該殼的質量。解:由題意知。5.求均勻曲面的重心坐標。解:設均勻曲面的重心為,則由于曲面關于和面對稱,故則,故重心坐標為。(B)組1.當是xOy面內的一個閉區域時,曲面積分與二重積分有什么關系?解:設為對應的平面區域,則。2.設有一分布著質量的曲面,在點(x,y,z)處的面密度為(x,y,z),(1)用對面積的曲面積分表示這曲面對x軸的轉動慣量;(2)對原點的轉動慣量;(3)求均勻圓錐面

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