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第十一章重積分11.1二重積分的概念與性質11.1.1二重積分的概念柱體體積

=底面積×高

平頂柱體問題11.1求曲頂柱體的體積曲頂柱體體積=?D曲頂柱體以xOy面上的閉區域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側面以頂是曲面且在D上連續).x0z

yDSS:z=f(x,y)1.任意分割區域

D,化整為零2.以平代曲

ix0z

yDS:z=f(x,y)3.積零為整2.

以平代曲1.任意分割區域

D,化整為零

ix0z

yDS:z=f(x,y)4.取極限

i2.

以平代曲1.任意分割區域

D,化整為零V=3.積零為整x0z

yS:z=f(x,y)4.取極限V2.以平代曲V=1.任意分割區域

D,化整為零3.積零為整也表示它的面積,定義(1)將閉區域

D任意分成n個小閉區域

(2)作乘積

(3)并作和D設是有界閉區域

D的有界函數,積分區域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素若和式則稱函零時,如果當各小閉區域的直徑中的最大值

趨近于的極限存在,記為即(4)數在區域D上可積，在閉區域D上的二重積分,此極限為函數曲頂柱體體積曲頂

即在底D上的二重積分,二重積分的幾何意義當被積函數小于零時,柱體體積,又可看成是D的面積.數值上既可看成是以D為底,以1為高的二重積分是柱體的體積的負值．特別地例1

設D為圓域二重積分=解

上述積分等于由二重積分的幾何意義可知，是上半球面上半球體的體積:RD2.在直角坐標系下用平行于坐二重積分可寫為注定積分中1.重積分與定積分的區別:重積分中可正可負.則面積元素為D標軸的直線網來劃分區域D,性質1(二重積分的線性性質)二重積分與定積分有類似的性質11.1.2二重積分的性質性質2(積分對區域的可加性)

oxyD1D2D1與D2除分界線外無公共點.D性質3(保號性)

例的值=().(A)為正(B)為負(C)等于0(D)不能確定為負B進而有性質4(積分估值定理)性質5(積分中值定理)則設

,分別是

在有界閉區域D上的最大值和最小值，為D的面積.則在D上至少存在一點使得

為D的設函數在有界閉區域D上連續,面積,解區域D的面積例2

不作計算,估計的值,其中D是橢圓閉區域：在D上，由性質5知解故于是

三角形斜邊方程例3

比較積分與的大小,其中D是三角形閉區域,三頂點各為(1,0),(1,1),(2,0).因此

在D內有

(B)

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