函數(shù)的應(yīng)用（二）

基礎(chǔ)通關(guān)一水平一》

（15分鐘30分）

1.（2020?寶雞高一檢測(cè)）調(diào)查說明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要

緣由，交通法規(guī)規(guī)定:駕駛員在駕駛機(jī)動(dòng)車時(shí)血液中酒精含量不得超

過mg/m/.假如某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將快速上升到

mg/m/,在停止喝酒后,血液中酒精含量就以每小時(shí)50%的速度削減,那

么他至少要經(jīng)過小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車.（）

【解析】選B.設(shè)n個(gè)小時(shí)后才可以駕車，由題得方程

1

0.8（150%）n=0.2,0.5n=-,

4

n=2,即至少要經(jīng)過2小時(shí)后才可以駕駛機(jī)動(dòng)車.

2.（2020?鄭州高一檢測(cè)）有一個(gè)盛水的容器，由懸在它的上方的一條

水管勻稱地注水,最終把容器注滿,在注水過程中，時(shí)刻t,水面高度y

如下圖，圖中PQ為一線段，與之對(duì)應(yīng)的容器的外形是（）

A

【解析】選B.由函數(shù)圖像可推斷出該容器必定有不同規(guī)那么外形，并

且一開頭先慢后快，所以下邊粗，上邊細(xì)，再由PQ為一線段，容器上端

必是直的一段，故排解A,C,D.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

（2020?福州高一檢測(cè)）某學(xué)校開展討論性學(xué)習(xí)活動(dòng)，一組同學(xué)獲得了

下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：

X48

y

現(xiàn)有如下4個(gè)模擬函數(shù)：

①y=0.6x0.2;②y=x?55x+8;③y=log2X；④y=2'3.02.

請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它比擬近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,應(yīng)

選（）

A.①B.②

C.③D.④

【解析】選C.依據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出圖像如圖:

O

通過圖像可看出，y=log2X能比擬近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.

3.依據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間簡(jiǎn)單度的上限M約為3嗎而可觀測(cè)宇

M

宙中一般物質(zhì)的原子總數(shù)N約為IO'。,那么以下各數(shù)中與m最接近的是

（參考數(shù)據(jù)：1g3仁0.48）

3353

7193

M3361

【解析】R=x=誦

兩邊取對(duì)數(shù)lgx=lg33611g1080=361XIg380,Igxt93.28,所以接近

1093.

4.在不考慮空氣阻力的狀況下，的最大速度v（米/秒）和燃料的質(zhì)量

M（千克）、（除燃料外）的質(zhì)量m（千克）的函數(shù)關(guān)系式是v=2

（M\

000-ln[l+當(dāng)燃料質(zhì)量是質(zhì)量的倍時(shí)，的最大速度可達(dá)

12千米/秒.（）

6616+161

【解析】選B.當(dāng)v=12000米/秒時(shí)，

（MX

2000?ln（l+-J=12000,

（M\M

所以|n（l+-J=6,所以巾二e61.

5.討論人員發(fā)覺某種物質(zhì)的溫度v（單位:攝氏度）隨時(shí)間x（單位:分

鐘）的變化規(guī)律是:y=2?2'+2飛20）經(jīng)過分鐘，該物質(zhì)溫度為5

攝氏度.（）

【解析】選A.某種物質(zhì)的溫度y（單位：攝氏度）隨時(shí)間x（單位：分鐘）

的變化規(guī)律是：

y=2?2x+21x（x^0）,

當(dāng)y=5時(shí)，2?2x+21x=5,

由x20,解得x=1.

所以經(jīng)過1分鐘，該物質(zhì)溫度為5攝氏度.

6.家用冰箱制冷使用的氟化物，釋放后破壞了大氣上層的臭氧層.臭

氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿意關(guān)系式Q=Q%-焉，其中Q。是臭氧的

初始量.

（1）隨時(shí)間的增加，臭氧的含量是增加還是削減？

（2）多少年以后將會(huì)有一半的臭氧消逝？（提示：In2-0.693,In3心

1.099）

【解析】（1）由于Q°>0，U<°，e>1,

4UU

所以Q=Q（）e-荻為減函數(shù)，

所以隨時(shí)間的增加，臭氧的含量是削減的.

（2）設(shè)x年以后將會(huì)有一半的臭氧消逝，

那么Q=Qoe-#,即e-缶1

一X1

取對(duì)數(shù)可得:頡二|叼

解得x=400ln2-277.2.

所以278年以后將會(huì)有一半的臭氧消逝.

?能力進(jìn)階一水平二》

（30分鐘60分）

一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共20分）

1.某企業(yè)產(chǎn)值連續(xù)三年持續(xù)增長,這三年年增長率分別為Pl,p2,P3,那

么這三年的年平均增長率為()

A.§(P1+P2+P3)

B.\JP1P2P3

c.vmu+P2)(i+P3)i

上l+§(Pi+P2+P3)

【解析】選C.設(shè)這三年的年平均增長率為X,企業(yè)產(chǎn)值的基數(shù)為a,

那么a(l+x)3=a(l+1)(1+P2)(1+P3),所以

+匕)。+。3)1.

2.假設(shè)鐳經(jīng)過100年后剩余原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過

x年后剩余量為y,那么x,y的函數(shù)關(guān)系式是()

x/>100x

6荻。

(0.9576丫x

Jy\100)4荻

【解析】選A.設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的百分比為t,

那么有0.9576=1-(1-0,9576焉，

所以y=(l-t)*x=0.957$高.

3.某新品牌電視機(jī)投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái),其次個(gè)月銷售

200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，那么以下函數(shù)模

型中能較好反映銷量y(臺(tái))與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間的關(guān)系的是

()

A.y=100x

B.y=50x250x+100

C.y=50X2x

D.y=1001og2x+100

【解析】選C.由題意，對(duì)于A中的函數(shù)，當(dāng)x=3或4時(shí)，誤差較大.

對(duì)于B中的函數(shù)，當(dāng)x=4時(shí)，誤差也較大.

對(duì)于C中的函數(shù)，當(dāng)x=1,2,3時(shí)，誤差為0,x=4時(shí)，誤差為10,誤差很

小.

對(duì)于D中的函數(shù)，當(dāng)x=4時(shí)，y=300,與實(shí)際值790相差很大.

綜上，只有C中的函數(shù)誤差最小，應(yīng)選C.

4.（2020?濰坊高一檢測(cè)）將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分

鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線ynaeC假設(shè)過5分鐘后甲桶

和乙桶的水量相等，假設(shè)再過m分鐘甲桶中的水只有那么m的值為

（）

【解析】；=ae5n,

令:ae”\即\

11

由于2V故E

故t=15,m=155=10.

二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的

得3分,有選錯(cuò)的得0分）

5.如圖1是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖像.由于目

前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議,如圖2,3

所示.你能依據(jù)圖像推斷以下說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

①圖2的建議為削減運(yùn)營本錢

②圖2的建議可能是提高票價(jià)

③圖3的建議為削減運(yùn)營本錢

④圖3的建議可能是提高票價(jià)

A.①B.②C.③D.④

【解析】選BC.依據(jù)題意和圖2知，兩直線平行即票價(jià)不變，直線向上

平移說明當(dāng)乘客量為0時(shí)，收入是0但是支出的變少了，即說明白此建

議是降低本錢而保持票價(jià)不變；由圖3看出，當(dāng)乘客量為。時(shí)，支出不

變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘客量時(shí)收入變大，即票價(jià)提高

了，即說明白此建議是提高票價(jià)而保持本錢不變，綜上可得①④正確，

②③錯(cuò)誤.

6.某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種

..1

溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進(jìn)行過濾,每過濾一次雜質(zhì)含量削減

那么使產(chǎn)品到達(dá)市場(chǎng)要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù)：1g3

0.301,1g3仁0.477)()

【解析】選BC.設(shè)經(jīng)過n次過濾，產(chǎn)品到達(dá)市場(chǎng)要求,

2

刃日么一X

100

2

nigIg20,

即n(lg21g3)W(1+lg2),

1+Ig2

得n2右7.4.

Ig3-lg2

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖某池塘中的浮萍擴(kuò)散的面積y（m2）與時(shí)間t（月）的關(guān)系:y=a：以

下表達(dá)中正確的選項(xiàng)是（）

A.這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2

B.第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積超過30m2

C.浮萍從4Hi?擴(kuò)散到12in?需要經(jīng)過個(gè)月

D.浮萍每個(gè)月增加的面積都相等

［解析］選AB.對(duì)于A,由圖像知，t=2時(shí)，y=4,所以a2=4,故a=2,故A

正確；

對(duì)于B,當(dāng)t=5時(shí)，y=25=32>30,故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)y=4時(shí)，由2G=4,知ti=2,

當(dāng)y=12時(shí)，由2t2=12,知t2=log212=Iog24+1og23=2+log23,那么

12tkIog23羊1.5,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,浮萍每月增加的面積不相等，實(shí)際上增長速度越來越快，故D

錯(cuò)誤.

三、填空題（每題5分，共10分）

7.為綠化生活環(huán)境,某市開展植樹活動(dòng).今年全年植樹萬棵,方案3年

后全年植樹萬棵.假設(shè)植樹的棵數(shù)每年的增長率均為a,那么

a=.

【解析】由題意可知6.4(1+a)J12.5,

1255

所以(1+a),所以1+a=-,

644

,1

故a=-=25%.

4

答案:25%

8.某項(xiàng)討論說明：在考慮行車平安的狀況下,某路段車流量F（單位時(shí)

間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí)）與車流速度v（假設(shè)車輛以相

同速度v行駛,單位:米/秒）、平均車長/（單位:米）的值有關(guān),其公式

80720v

為F=3+i8”而假設(shè)，=6-°，那么最大車流量為輛/時(shí).

【解析】當(dāng)/=6.05時(shí),

80720

80720v

C--------------------=121

v2+18v+121v+V+18>

121121

i±JTv+—^2^121=22,當(dāng)且僅當(dāng)v=—,

―80720

^-——=2018.

22+18

答案:2018

四、解答題（每題10分，共20分）

9.(2020?吉林高一檢測(cè))我國參加WT0時(shí),依據(jù)達(dá)成的協(xié)議,某產(chǎn)品的

市場(chǎng)供給量P與市場(chǎng)價(jià)格x的關(guān)系近似滿意

1

P(x)=2(l-kt)(x-b)2(其中t為關(guān)稅的稅率，且t￡[0,x為市場(chǎng)價(jià)

格,b,k為正常數(shù)).當(dāng)t1時(shí)的市場(chǎng)供給量曲線如下圖.

O

(1)依據(jù)圖像求b,k的值.

1

(2)當(dāng)關(guān)稅的稅率t=莉時(shí),求市場(chǎng)供給量P不低于1024時(shí),市場(chǎng)價(jià)格

至少為多少？

，(1-飆5-獷

乙—

【解析】(1)由圖可知,2。-/7-力2，

I乙乙

解得k=6,b=5,

(2)由(1)可得P(x)=2(l-6。(％-5尸，

設(shè)m=(16t)(x5)；

12

當(dāng)時(shí)，m=R(x5)2,

1UD

由于市場(chǎng)供給量P不低于1024時(shí)，

所以024,解得m210,

2

所以三(x5)2210,解得x210.

5

故市場(chǎng)供給量P不低于1024時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格至少為10.

10.為了預(yù)防新冠病毒疫情,某學(xué)校對(duì)教室采納藥熏消毒法進(jìn)行消毒,

藥物燃燒時(shí)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間x(min)成正

k

比例，藥物燃燒完后滿意y=?如下圖,現(xiàn)測(cè)得藥物8min燃畢,此時(shí)室

內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6mg,請(qǐng)按題中所供給的信息,解答以

下各題.

⑴求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)討論說明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時(shí)間不

低于10min時(shí)才能有效殺滅空氣中的病毒,那么此次消毒是否有效?

為什么？

【解析】(1)當(dāng)0WxW8時(shí)，

設(shè)y二人x,代入(8,6),

3

解得人二疝

q

3

所以y=-x(0WxW8).

4

k

當(dāng)X28時(shí)，將(8,6)代入yq,

可得k=48,

|x,0<%<8,

484

所以y=所以y=48

(2)當(dāng)x￡[0,8]時(shí),：x=3,解得x=4,

4

48

當(dāng)x>8時(shí)，一=3,解得x=16.

X

所以空氣中每立方米的含藥量不低于3mg時(shí)的持續(xù)時(shí)間為

164=12(min)>10,所以此次消毒有效.

"創(chuàng)新遷移》

1.在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，小明同學(xué)進(jìn)行了糖塊溶于水的試驗(yàn):將一塊質(zhì)

量為7克的糖塊放入肯定量的水中，測(cè)量不同時(shí)刻未溶解糖塊的質(zhì)量,

得到假設(shè)干組數(shù)據(jù),其中在第5分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為克.

聯(lián)想到教科書中討論“物體冷卻”的問題，小明發(fā)覺可以用指數(shù)型函

數(shù)S=aekYa,k是常數(shù)）來描述以上糖塊的溶解過程，其中S（單位:克）

代表t分鐘末未溶解糖塊的質(zhì)量.

（1）求a的值.

⑵求k的值.

⑶設(shè)這個(gè)試驗(yàn)中t分鐘末已溶解的糖塊的質(zhì)量為M,請(qǐng)畫出M隨t變

化的函數(shù)關(guān)系的草圖，并簡(jiǎn)要描述試驗(yàn)中糖塊的溶解過程.

【解析】（1）由題意,t=0,S=a=7.

⑵由于5分鐘末測(cè)得未溶解糖塊的質(zhì)量為3.5克，

[n2

所以3.5=7e：解得k=—.

5

（3）M隨t變化的函數(shù)關(guān)系的草圖如下圖.

溶解過程，隨著時(shí)間的增加，漸漸溶解，溶解的速度越來越慢.

2.（2020?上海高一檢測(cè)）從金山區(qū)走出去的陳馳博士，在？自然——可

持續(xù)性?雜志上發(fā)表的論文中指出：地球正在變綠，中國通過植樹造林

和提高農(nóng)業(yè)效率,在其中起到了主導(dǎo)地位.某種樹木的高度f（t）（單位:

米）與生常年限t（單位:年,tfN*）滿意如下的規(guī)律斯蒂函

6

數(shù)：f(C)=l+e-a5t+2,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)?設(shè)該樹栽下的時(shí)刻

為0.(In5?1.61)

(1)需要經(jīng)過多少年,該樹的高度才能超過5米？(精確到個(gè)位