14版數學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版第十一章第六節二項分布與超幾何分布第六節二項分布與超幾何分布【課程標準】1.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布.2.理解兩點分布和超幾何分布的意義,并能進行簡單的應用.【考情分析】考點考法:二項分布、超幾何分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學生應用相關公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現.核心素養:數據分析、數學運算、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】一、二項分布1.伯努利試驗只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗;將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.2.二項分布一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發生的次數,則X的分布列為P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).3.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超幾何分布一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,r=min{n,M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布.【微點撥】超幾何分布與二項分布的關系若將超幾何分布的概率模型改成:若有N件產品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,則其中恰有的次品件數X是服從二項分布的.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯題號123,41.(多維辨析)(多選題)下列結論正確的是 ()A.從4名男演員和3名女演員中選出4人,其中女演員的人數X服從超幾何分布B.n重伯努利試驗中各次試驗的結果必須相互獨立C.若X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數,則X服從二項分布D.二項分布是一個概率分布,其公式相當于(a+b)n二項展開式的通項公式,其中a=p,b=1-p【解析】選ABC.因為二項分布是一個概率分布,是一個用公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布,其公式相當于(a+b)n二項展開式的通項公式,其中a=1-p,b=p.2.(選擇性必修第三冊P77練習T2·變條件、變設問)雞接種一種疫苗后,有90%不會感染某種病毒,如果有5只雞接種了疫苗,則恰好有4只雞沒有感染病毒的概率約為 ()A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45【解析】選A.設5只接種疫苗的雞中沒有感染病毒的只數為X,則X~B5,所以PX=4=C54×0.94×0.1≈03.(“至少”問題理解錯誤)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨立,則該同學通過測試的概率為 ()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【解析】選A.3次投籃投中2次的概率為P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過測試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.634.(二項分布應用不準致誤)在一次招聘中,主考官要求應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,并獨立完成所抽取的3道題,乙能正確完成每道題的概率為23,且每道題完成與否互不影響,記乙能答對題數為Y,則Y的數學期望為________【解析】由題意Y~B(3,23),所以E(Y)=3×23答案:2【巧記結論·速算】利用n重伯努利試驗概率公式可以簡化求概率的過程,但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式PX=k=Cnk(1)在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p;(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗,而且各次試驗的結果是相互獨立的;(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率.【即時練】1.某人參加一次考試,共有4道試題,至少答對其中3道試題才能合格,若他答每道題的正確率均為0.5,并且答每道題之間相互獨立,則他能合格的概率為________.

【解析】4道試題中,答對的試題數X服從二項分布X~B4,12,所以PX≥3=PX=3+PX=4=答案:52.甲、乙兩羽毛球運動員要進行三場比賽,且這三場比賽可看作三次伯努利試驗,若甲至少取勝一次的概率為6364,則甲恰好取勝一次的概率為________【解析】設每次甲取勝的概率為p,由題意得,甲取勝的次數X~B(3,p),則有1-(1-p)3=6364,得p=3則甲取勝恰好發生一次的概率為C31×34×（1-34）答案:9【核心考點·分類突破】考點一n重伯努利試驗及其概率[例1](1)(2023·太原質檢)機械研究所對新研發的某批次機械元件進行壽命追蹤調查,隨機抽查的200個機械元件情況如表:使用時間/天10~2021~3031~4041~5051~60個數1040805020若以頻率估計概率,現從該批次機械元件中隨機抽取3個,則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為 ()A.1316 B.2764 C.2532 【解析】選D.由題意可知,該批次每個機械元件使用壽命在30天以上的概率為34,因此,從該批次機械元件中隨機抽取3個,至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為P=C32×（34）2×14+C33×(2)若某射手每次射擊擊中目標的概率均為23,每次射擊的結果相互獨立,則在他連續4次射擊中,恰好有兩次擊中目標的概率為 (A.49 B.827 C.481 【解析】選B.在某射手連續4次射擊中,恰好有兩次擊中目標的概率為C422(3)一袋中裝有5個白球,3個紅球,則從袋中往外取球,每次取出一個,記下球的顏色,然后放回,直到紅球出現10次停止,用X表示取球的次數,則P(X=12)=______________(填表達式).

【解析】一次取球取到紅球的概率為38,取到白球的概率為58,前11次取球是11次獨立重復試驗,“取到紅球”的事件發生9次,其概率是C119×(38)9×(58)2.第12次取到紅球的概率是38,由相互獨立事件同時發生的概率乘法公式,得P(X=12)=C119×(38)9×(58)2×3答案:C119×(58)2×(【解題技法】n重伯努利試驗概率求解的策略(1)先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗,判斷時注意各次試驗之間是否相互獨立,并且每次試驗的結果是否只有兩種,在任何一次試驗中,某一事件發生的概率是否都相等,全部滿足n重伯努利試驗的要求才能用相關公式求解.(2)解此類題時常用互斥事件概率加法公式,相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.【對點訓練】1.(2023·河南模擬)接種疫苗是預防和控制傳染病最經濟、有效的公共衛生干預措施.根據試驗數據,人在接種某種病毒疫苗后,有80%的可能不會感染這種病毒,若有4人接種了這種疫苗,則最多1人被感染的概率為 ()A.512625 B.256625 C.113625 【解析】選A.由題得最多1人被感染的概率為C40 (45)4+C41 (15)2.(2023·保定模擬)甲、乙兩人各進行3次射擊,甲每次擊中目標的概率為12,乙每次擊中目標的概率為23,他們每次射擊是否擊中目標互不影響,則甲恰好比乙多擊中目標1次的概率為【解析】事件“甲恰好比乙多擊中目標1次”分為“甲擊中1次乙擊中0次”“甲擊中2次乙擊中1次”“甲擊中3次乙擊中2次”三種情形,其概率P=C312×(12)2×C30×(13)3+C32×(12)2×12×C31×23×(13)2+C33答案:11【加練備選】(2023·衡水模擬)一個口袋內有nn>3個大小相同的球,其中3個紅球和n-3個白球,已知從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p,6p∈N,若有放回地從口袋中連續4次取球(每次只取1個球),在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于827,則【解析】因為4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于827,所以C42p21-p2>827,所以p21-p2>所以13<p<23,所以2<6p<4,又因為6p∈N,所以6p=3,所以p=12.又因為從口袋中隨機取出1個球是紅球的概率為p=12,所以3n=答案:6考點二二項分布[例2](1)已知隨機變量ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,則D(3ξ)等于 ()A.83 B.8 C.12 D.【解析】選D.因為E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,所以p=13故D(3ξ)=32D(ξ)=9×12×13×(1-13(2)(2023·武漢重點中學聯考)在一次國際大型體育運動會上,某運動員報名參加了其中3個項目的比賽.已知該運動員在這3個項目中,每個項目能打破世界紀錄的概率都是23①求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率;②若該運動員能打破世界紀錄的項目數為X,求X的分布列及均值.【解析】①依題意知,該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件,并且每個事件發生的概率相同.設“該運動員至少能打破2項世界紀錄”為事件A,則有P(A)=C32(23)2(1-23)+②由①可知X~B(3,23),則P(X=0)=C30(1-23)P(X=1)=C31·23·(1-23)P(X=2)=C32·(23)2·(1-2P(X=3)=C33·(23)3=8X0123P1248所以均值E(X)=0×127+1×29+2×49+3×【解題技法】判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點(1)在每一次試驗中,事件發生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中,試驗的結果只有兩個,即發生與不發生.【對點訓練】1.(2023·海口模擬)某班50名學生通過安全教育平臺進行學習交流,為了方便師生互動,直播屏幕分為1個大窗口和5個小窗口,大窗口始終顯示老師講課的畫面,5個小窗口顯示5名不同學生的畫面.小窗口每5分鐘切換一次,即再次從全班隨機選擇5名學生的畫面顯示,且每次切換相互獨立.若一節課40分鐘,則該班甲同學一節課在直播屏幕上出現的時間的均值是 ()A.10分鐘 B.5分鐘C.4分鐘 D.2分鐘【解析】選C.每5分鐘算作一輪,每一輪甲同學出現在直播屏幕上的概率為550=110,設他在直播屏幕上出現的輪次為X,根據題意得,X~B(8,110),E(X)=8×110=0.8,設甲同學一節課在直播屏幕上出現的時間為Y(單位:分鐘),則E(Y)=E(5X2.(2023·海南模擬)青花釉里紅,是我國珍貴的品種之一.釉里紅的燒制工藝難度較大,因此燒制成功率較低.假設釉里紅瓷器開窯后經檢驗分為成品和廢品兩類,從某工匠燒制的一批釉里紅瓷器中,有放回地抽取兩次,每次隨機抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率為99100.記從該批瓷器中任取1件是成品的概率為(1)求p的值;(2)假設該工匠燒制的任意1件這種瓷器是成品的概率均為p,且每件瓷器的燒制相互獨立,這種瓷器成品每件利潤為10萬元,廢品的利潤為0元.現他燒制3件這種瓷器,設這3件瓷器的總利潤為X萬元,求X的分布列及數學期望.【解析】(1)設A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”,A1表示事件“取出的2件瓷器中無成品”,A2表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”,則P(A)=P(A1)+P(A2)=(1-p)2+C21p(1-p)=1-p2=99100,解得p(2)設這3件瓷器中成品的件數為Y.由題可知Y~B(3,110).因為X=10Y所以P(X=0)=P(Y=0)=C30(110)0(9P(X=10)=P(Y=1)=C31(110)1(9P(X=20)=P(Y=2)=C32(110)2(910)1=271000,P(X=30)=P(Y=3)=C所以X的分布列為X0102030P729243271所以E(X)=0×7291000+10×2431000【加練備選】(2023·福州聯考)福州紙傘是歷史悠久的中國傳統手工藝品,屬于福州三寶之一,紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面,第三步繪花刷油.一個優秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術要求,已知某工藝師在每個環節制作合格的概率分別為34,45,2(1)求該工藝師進行3次制作,恰有一件優秀作品的概率;(2)若該工藝師制作4次,其中優秀作品數為X,求X的概率分布列及期望.【解析】(1)由題意可知,制作一件優秀作品的概率為34×45×23所以該工藝師進行3次制作,恰有一件優秀作品的概率P=C31(25)(3(2)該工藝師制作4次,其中優秀作品數為X,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,由題意可知,X~B(4,25P(X=0)=C40(35P(X=1)=C41(25)(3P(X=2)=C42(25)2(3P(X=3)=C43(25)3P(X=4)=C44(25)4=16X01234P812162169616E(X)=4×25=8考點三超幾何分布[例3](2023·天津模擬)某大學生志愿者協會有6名男同學,4名女同學.在這10名同學中,3名同學來自數學學院,其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率;(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數,求隨機變量X的分布列及期望.【解析】(1)從這10名同學中隨機選取3名同學到希望小學進行支教,基本事件總數n=C10設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A,事件A包含的基本事件個數m=C31C則選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為P(A)=C31C(2)隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3,P(X=0)=C40C63C103=16P(X=2)=C42C61C103=310所以隨機變量X的分布列為X0123P1131E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1【解題技法】1.超幾何分布的兩個特點(1)超幾何分布是不放回抽樣問題.(2)隨機變量為抽到的某類個體的個數.2.超幾何分布的概率計算公式從古典概型的角度加以理解更容易記憶:P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn(k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},3.超幾何分布的應用超幾何分布是一個重要分布,其理論基礎是古典概型,主要應用于正品與次品,白球與黑球,男生與女生等實踐中的由差別明顯的兩部分組成的問題.【對點訓練】為宣傳航空科普知識,某校組織了航空知識競賽活動.活動規定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題目進行作答.假設在8道備選題中,小明正確完成每道題的概率都是34且每道題正確完成與否互不影響,小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率;(2)設隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數,求X的分布列及數學期望;(3)現規定至少完成其中3道題才能進入決賽,請你根據所學概率知識,判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參加市級比賽(活動規則不變)會更好,并說明理由.【解析】(1)記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A,則P(A)=C43(34)3×14+(2)X的可能取值為2,3,4.P(X=2)=C22C62P(X=3)=C21C63C84=40701570=314,X234P343數學期望E(X)=2×314+3×47+4×3(3)由(1)知,小明進入決賽的概率為P(A)=189256.記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B,則P(B)=47+314=1114.因為P(B)>P【加練備選】為推動乒乓球運動的發展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手2名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協會”,求事件A發生的概率;(2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列,并求E(X).【解析】(1)由已知,有P(A)=C22C所以事件A發生的概率為635(2)隨機變量X服從超幾何分布,X的所有可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=C5kC3故P(X=1)=C51C33C84=114P(X=3)=C53C31C84=37所以隨機變量X的分布列為X1234P1331所以E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1第七節正態分布【課程標準】1.了解正態分布在實際生活中的意義和作用.2.了解正態分布的定義,正態曲線的特征,會求服從正態分布的隨機變量的概率.3.記住正態總體在常用區間上的取值的概率,并能在一些簡單的實際問題中應用.【考情分析】考點考法:正態分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境,主要考查學生應用相關公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現.核心素養:數據分析、數學運算、邏輯推理【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.正態分布的定義若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ則稱隨機變量X服從正態分布,記為X~N(μ,σ2).2.正態曲線的特點(1)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱;(2)曲線在x=μ處達到峰值1σ(3)當|x|無限增大時,曲線無限接近x軸.3.3σ原則(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4.正態分布的均值與方差若X~N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.【微點撥】(1)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;(2)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.【基礎小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12341.(多維辨析)(多選題)下列結論錯誤的是 ()A.正態曲線關于直線x=μ對稱,在x軸上方B.正態曲線關于直線x=σ對稱,只有當x∈(-3σ,3σ)時曲線才在x軸上方C.正態曲線和x軸圍成的面積隨μ的變化而變化D.正態曲線在x=μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低【解析】選BC.B曲線關于直線x=μ對稱,并且曲線始終在x軸上方×C正態曲線和x軸圍成的面積恒為1×2.(選擇性必修第三冊P87T3·變形式)隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+σ)= ()附:概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)近似值0.68270.95450.9973A.0.8186 B.0.4772 C.0.84 D.0.9759【解析】選A.由題意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.3.(對正態曲線的性質不清致誤)設隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,則P(-2≤ξ≤0)= ()A.12+p B.1-p C.12-p D.【解析】選C.由對稱性知P(ξ<-2)=p,所以P(-2≤ξ≤0)=1-2p24.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=______.

【解析】因為X~N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14【巧記結論·速算】若X服從正態分布,即X~Nμ,σ2,要充分利用正態曲線關于直線x=μ對稱和曲線與【即時練】1.已知隨機變量X~N5,σ2,若PX≥8=0.36,則PX>2A.0.36 B.0.18 C.0.64 D.0.82【解析】選C.因為X~N5,σ2,所以PX≤2=PX≥8=0.36,所以P2.(多選題)若隨機變量X~N(1,σ2),且正態分布N(1,σ2)的正態密度曲線如圖所示,則下列選項中,可以表示圖中陰影部分面積的是 ()A.12-P(XB.12-P(XC.12P(X≤2)-12P(D.12-P(1≤X【解析】選ABC.根據正態分布的性質可知,正態密度曲線關于直線x=1對稱,所以題圖中陰影部分的面積為12-P(X≤0),A正確;根據對稱性,P(X≤0)=P(X≥2),B正確;陰影部分的面積也可以表示為P陰影部分的面積也可以表示為P(0≤X≤1),而P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),D不正確.【核心考點·分類突破】考點一正態分布的性質[例1](1)(多選題)甲、乙兩類水果的質量(單位:kg)分別服從正態分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正態密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是A.甲類水果的平均質量為0.4kgB.甲類水果的質量分布比乙類水果的質量分布更集中于均值左右C.平均質量分布在[0.4,0.8]時甲類水果比乙類水果占比大D.σ2=1.99【解析】ABC.由題圖可知,甲類水果的平均質量為μ1=0.4kg,故A正確;由題圖可知,甲類水果的質量分布比乙類水果的質量分布更集中于均值左右,故B正確;由題圖可看出平均質量分布在[0.4,0.8]時甲類水果比乙類水果占比大,故C正確;乙類水果的質量服從的正態分布的參數滿足12πσ2=1.99,則σ2≠1(2)設有一正態總體,它的正態密度曲線是函數f(x)的圖象,且f(x)=18πe-(x-10)2A.10與8 B.10與2 C.8與10 D.2與10【解析】選B.因為f(x)=18π所以σ=2,μ=10,即正態總體的平均數與標準差分別為10與2.(3)(多選題)若隨機變量ξ~N(0,1),則下列結論正確的是 ()A.該正態曲線關于直線x=1對稱B.若P(ξ≤1.52)=0.9357,則P(ξ>1.52)=0.0643C.若P(ξ≤1.49)=0.9319,則P(ξ≤-1.49)=0.9319D.當x>0時,若P(ξ≥x)=φ(x),則P(|ξ|≥x)=2φ(x)【解析】選BD.由題設知,該正態曲線關于直線x=0對稱,故A錯誤;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.0643,故B正確;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=1-P(ξ≤1.49)=0.0681,故C錯誤;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由對稱性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正確.【解題技法】利用正態分布性質解題的關鍵點對X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意義不清楚,特別是對μ的認識不清楚,就會在解題時無從下手,導致隨便給出一個結果.這里μ是隨機變量X的均值,σ是標準差,x=μ是正態密度曲線的對稱軸.【對點訓練】1.(多選題)某次市教學質量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數眾多,成績分布的直方圖可視為正態分布),則由圖中曲線可得下列說法中正確的是 ()A.甲、乙、丙的總體的平均數相同B.乙科總體的標準差及平均數都居中C.丙科總體的平均數最小D.甲科總體的標準差最大【解析】選AD.由題中圖象可知三科總體的平均數(均值)相同,由正態密度曲線的性質,可知σ越大,正態曲線越“矮胖”,σ越小,正態曲線越“瘦高”,故三科總體的標準差從大到小依次為甲、乙、丙.2.已知三個正態密度函數φi(x)=12πσie-(x則 ()A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】選D.由正態曲線關于直線x=μ對稱,知μ1<μ2=μ3;σ的大小決定曲線的形狀,σ越大,總體分布越分散,曲線越“矮胖”,σ越小,總體分布越集中,曲線越“瘦高”,則σ1=σ2<σ3.實際上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),即12πσ1=12πσ2>12πσ3,亦可推知考點二服從正態分布的概率計算[例2](1)已知隨機變量ξ服從正態分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)= ()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】選C.由題意可知μ=1,正態分布曲線關于直線x=1對稱,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1.根據對稱性可知P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,所以P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.(2)(2023·運城質檢)在某項測量中,測量結果ξ服從正態分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)內取值的概率為0.6,則ξ在[2,+∞)內取值的概率為 ()A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2【解析】選D.因為ξ服從正態分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲線的對稱軸是直線x=1,又ξ在(0,2)內取值的概率為0.6,根據正態曲線的性質,則ξ在[2,+∞)內取值的概率為P(ξ≥2)=1-0.6(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測量結果服從正態分布N(10,σ2),下列結論中不正確的是 ()A.σ越小,該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等【解析】選D.對于A,σ2為數據的方差,所以σ越小,數據在μ=10附近越集中,所以測量結果落在(9.9,10.1)的概率越大,故A正確;對于B,由正態密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5,故B正確;對于C,由正態密度曲線的對稱性可知該物理量在一次測量中小于9.99的概率與大于10.01的概率相等,故C正確;對于D,該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯誤.【解題技法】正態分布的概率計算的關鍵點正態分布的特點可結合圖象記憶,并可根據μ和σ的不同取值得到不同的圖象,特別地,當μ=0時,圖象關于y軸對稱.【對點訓練】1.已知隨機變量X服從正態分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),則k的值為 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選B.因為隨機變量X服從正態分布N(5,4),所以其圖象關于x=5對稱,又因為P(X>k)=P(X<k-4),所以k+k-42.陜西洛川蘋果享譽國內外,據統計,陜西洛川蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑X(單位:mm)服從正態分布N(70,52),則直徑在(80,85]內的概率為 ()附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.0214 B.0.0430C.0.8185 D.0.6826【解析】選A.由題可設直徑在(80,85]內的概率為P,則P=P(μ-3σ≤3.已知隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),若P(X<3)+P(X≤1)=1,則μ=______.

【解析】因為X服從正態分布N(μ,σ2),所以P(X<3)+P(X≥3)=1,所以P(X≤1)=P(X≥3),由正態曲線的對稱性知對稱軸為x=2,所以μ=2.答案:2考點三正態分布的綜合應用[例3](1)某地高三學生有15000名,在一次測試中,這些學生的數學成績ξ服從正態分布N(100,σ2),已知P(80<ξ≤100)=0.35,若按成績用分層隨機抽樣的方法抽取100份試卷進行分析,則應從120分及以上的試卷中抽取 ()A.5份 B.10份 C.15份 D.20份【解析】選C.因為數學成績ξ服從正態分布N(100,σ2),P(80<ξ≤100)=0.35,所以P(80<ξ<120)=2×0.35=0.70,所以P(ξ≥120)=12×(1-0.70)=0.15,所以應從120分及以上的試卷中抽取100×0.15=15(份)(2)為了檢測某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取并檢測零件的直徑尺寸,根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件直徑尺寸x(cm)服從正態分布N18,4,若x落在(20,22]內的零件個數為2718,則可估計所抽取的這批零件中直徑x高于22的個數為__________(附:若隨機變量ξ服從正態分布Nμ,σ2,則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,Pμ-2σ≤ξ【解析】由正態分布N18,4可知μ=18,所以μ+σ=20,μ+2σ=22.所以P20<x≤22≈0.Px>22≈1-0所以直徑x高于22的個數大約為2718÷0.1359×0.02275=455.答案:455(3)從某企業生產的某種產品中抽取1000件,測量這些產品的一項質量指標值,由測量結果得頻率分布表和頻率分布直方圖.分組頻數頻率[2.5,7.5)20.002[7.5,12.5)m0.054[12.5,17.5)1060.106[17.5,22.5)1490.149[22.5,27.5)352n[27.5,32.5)1900.190[32.5,37.5)1000.100[37.5,42.5)470.047合計10001.000①求m,n,a的值;②求出這1000件產品質量指標值的樣本平均數x(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表);③由直方圖可以認為,這種產品的質量指標值Z服從正態分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數x,σ2近似為樣本方差s2,其中已計算得σ2=52.6.如果產品的質量指標值位于區間(10.50,39.50),企業每件產品可以獲利10元,如果產品的質量指標值位于區間(10.50,39.50)之外,企業每件產品要損失100元,從該企業一天生產的產品中隨機抽取20件產品,記X為抽取的20件產品所獲得的總利潤,求E(X).附:52.6≈7.【解析】①結合題中頻率分布表可以得到m=54,n=0.352,a=0.195=0②抽取的1000件產品質量指標值的樣本平均數x=5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.19+35×0.1+40×0.047=25.③因為52.6≈7.25,由②知Z~N(25,52.6),從而P(10.50<Z<39P(25-2×7.25<Z<25+2×7.25)≈0.9545.設Y為隨機抽取20件產品質量指標值位于(10.50,39.50)之外的件數,依題意知Y~B(20,0.0455),則E(Y)=20×0.0455=0.91,所以E(X)=-100×E(Y)+10×20×0.9545=99.9.【解題技法】解決正態分布問題有三個關鍵點(1)對稱軸x=μ;(2)標準差σ;(3)分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值;由μ,σ,分布區間的特征進行轉化,使分布區間轉化為3σ特殊區間,從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x=0.【對點訓練】1.在某校高三年級的高考全真模擬考試中,所有學生考試成績的取值X(單位:分)是服從正態分布N(502,144)的隨機變量,模擬“重點控制線”為490分(490分及490分以上都是重點),若隨機抽取該校一名高三考生,則這名同學的成績不低于“重點控制線”的概率為 ()(附:若隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.6827 B.0.65865C.0.84135 D.0.34135【解析】選C.因為P(502-12≤X≤502+12)≈0.6827,所以P(X<490)≈1-0.68272=0.15865,即P(2.對一個物理量做n次測量并以測量結果的均值作為該物理量的最后結果.已知最后結果的誤差εn~N(0,2n),為使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要測量________次.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤2σ)≈0.【解析】根據正態曲線的對稱性知要使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,則(μ-2σ,μ+2σ)?(-0.5,0.5),又μ=0,σ=2n,所以0.5≥22n?n答案:323.在某質量檢測考試中,高二年級學生的數學成績X服從正態分布N(98,100).已知參加本次考試的全市高二年級學生約100000人.某學生在這次考試中的數學成績是108分,那么他的數學成績大約排在全市第________名.

(參考數值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)【解析】因為考試的成績X服從正態分布N(98,100),所以μ=98,σ=10,所以108=μ+σ,則P(X>108)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-σ答案:15865【重難突破】概率與統計中的決策問題【考查形式】試題多以相互獨立事件的概率、隨機變量的期望、二項分布等作為載體,考查數據處理能力、運算求解能力及數學的應用與創新意識.重點考查邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析等核心素養.【解題關鍵】(1)會“評價”:在數據分析的基礎上能夠基于數字特征給出統計意義上的評價結論.(2)會“決策”:在基于數字特征給出有意義評價的基礎上,分析利弊、觀察風險,進而做出切實可行的合理決策方案或建議.類型一與回歸分析相關的預測性問題[例1]2021年6月,公安部推出國家級反詐防騙“王炸”系統——“國家反詐中心APP”,這是一款能有效預防詐騙、快速舉報詐騙內容的軟件,用戶通過學習里面的防詐騙知識可以有效避免各種網絡詐騙的發生。某省自“國家反詐中心APP”推出后,持續采取多措并舉的推廣方式,積極推動全省“國家反詐中心APP”安裝注冊工作.經統計,省反詐中心發現全省每月網絡詐騙舉報件數y(單位:件)與推廣時間有關,并記錄了經推廣x個月后每月舉報件數的數據:推廣月數x/個1234567y/件891888351220200138112(1)現用y=a+bx(2)分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網絡詐騙舉報件數降至接近于零嗎?參考數據(其中ti=1xi【解析】(1)由題意知y=17令t=1x,設y關于t的經驗回歸方程為y=t+,則=1000,則=400-1000×0.37=30,所以y=1000t+30,又t=1x,所以y關于x的經驗回歸方程為y=1(2)僅從現有統計數據所得回歸方程y=1000x+30,可發現當推廣時間越來越長時,即x越來越大時,【解題技法】預測問題的解題策略(1)求經驗回歸方程;(2)利用經驗回歸方程進行預測,把回歸直線方程看作一次函數,求函數值.【對點訓練】為了鞏固拓展脫貧攻堅的成果,某知名電商平臺決定為脫貧鄉村的特色水果開設直播帶貨專場.該特色水果的熱賣黃金時段為2023年7月10日至9月10日,為了解直播的效果和關注度,該電商平臺統計了已直播的2023年7月10日至7月14日時段中的相關數據,這5天的第x天到該電商平臺專營店購物的人數y(單位:萬人)的數據如下表:日期7月10日7月11日7月12日7月13日7月14日第x天12345人數y(單位:萬人)75849398100(1)依據表中的統計數據,請判斷該電商平臺的第x天與到該電商平臺專營店購物的人數y(單位:萬人)是否具有較高的線性相關程度;(參考:若0.3<|r|<0.75,則線性相關程度一般,若|r|>0.75,則線性相關程度較高,計算r時精確度為0.01)(2)求購買人數y與直播的天數x的線性回歸方程,用樣本估計總體,請預測從2023年7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(單位:萬人).參考數據:【解析】(1)由題表中數據可得x=3,y=90,所以又所以≈0.97>0.75,所以該電商平臺直播黃金時段的天數x與購買人數y具有較高的線性相關程度.所以可用線性回歸模型擬合人數y與天數x之間的關系.(2)求購買人數y與直播的第x天的經驗回歸方程.用樣本估計總體,預測從2023年7月10日起的第38天到該專營店購物的人數(單位:萬人).由表中數據可得則=y-x=90-6.4×3=70.8,所