第七章

隨機變量及其分布§7.1條件概率與全概率公式§7.2離散型隨機變量及其分布列§7.3離散型隨機變量的數字特征§7.4二項分布與超幾何分布§7.5正態分布7.4.1二項分布【引例1】在拋硬幣的時候，我們設隨機變量X為硬幣的某一面朝上，那么X有幾種結果？答：兩種，正面或反面【引例2】在新冠疫情做核酸檢測的時候，設隨機變量Y為檢測結果，那么Y有幾種結果？答：兩種，陰性或陽性上述兩個引例有什么共同點？上述兩個引例中，它們只包含兩個可能結果。我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗。我們將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗。特點：（1）同一個伯努利試驗重復做n次；

（2）各次試驗的結果相互獨立。以X表示n重伯努利試驗中事件A發生的次數，X是一個隨機變量，我們來求它的分布律。X所有可能取的值為0，1，2，…，n。由于各次試驗是相互獨立的，因此事件A在指定的k（0<k<n）次試驗中發生，在其他n-k次試驗中A不發生（例如在前k次試驗中A發生，而后n-k次試驗中A不發生）的概率為這種指定的方式共有

種，它們是兩兩互不相容的，故在n次試驗中A發生k次的概率為如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)。由二項式定理，容易得到特別地，在二項分布中，若n=1，則這就是兩點分布。

二項分布的應用非常廣泛。例如，生產過程中的質量控制和抽樣方案，都是以二項分布為基礎的；參加某保險的人群中發生保險事故的人數，試制藥品治愈某種疾病的人數，感染某種病毒的家禽數等，都可以用二項分布來描述。二項分布的期望和方差：隨機變量X服從二項分布X～B(n，p)，則（1）E(X)=np（2）D(X)=np(1-p)【例1】將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：（1）恰好出現5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現的頻率在[0.4，0.6]內的概率。【分析】拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現“正面朝上”和“反面朝上”兩種結果且可能性相等，這是一個10重伯努利試驗。因此，正面朝上的次數服從二項分布。解：設A=“正面朝上”，則P(A)=0.5。用X表示事件A發生的次數，則隨機變量X服從二項分布X~B(10，0.5)。（1）恰好出現5次正面朝上等價于X=5，于是（2）正面朝上出現的頻率在[0.4，0.6]內等價于4≤X≤6，于是【例2】甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？解：設X表示甲贏的次數，則隨機變量X服從二項分布X~B(n，0.6)。（1）若采用3局2勝制，則n=3，所以甲贏下比賽的概率為（2）若采用5局3勝制，則n=5，所以甲贏下比賽的概率為顯然，P2>P1，5局3勝對甲更有利?！纠?】若同時派出多架飛機去轟炸一目標，每架飛機是否投中目標是相互獨立的，且每架飛機投中目標的概率為0.6。若派出五架飛機，求（1）只有一架投中目標的概率；（2）5架飛機都投中目標的概率。解：設X表示5架飛機中投中目標的次數，則X服從二項分布X~B(5，0.6)。（1）只有一架投中目標的概率：（2）5架飛機都投中目標的概率：7.4.2超幾何分布【引例】已知100件產品中有8件次品，分別采用有放回和不放回的方式隨機抽取4設抽取的4件產品中次品數為X，求隨機變量的分布列?！痉治觥浚?）若采用又放回的方式，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結果相互獨立，此時X服從二項分布，即X～B(4，0.08)。（2）若采用不放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一個試驗而且各次抽取的結果也不獨立，不符合n重伯努利試驗的特征，因此X不服從二項分布。根據古典概型，若采用不放回抽樣，則X的分布列可以表示為X01234P0.712570.256210.029890.001310.00002

一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品。從N件產品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產品中的次品數，則的分布列為其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}。如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布。超幾何分布的期望和方差：隨機變量X服從超幾何分布，則【例4】從50名學生中隨機選出5名學生代表，求甲被選中的概率。解：設X表示選出的5名學生中含甲的人數（只能取0或1），則X服從超幾何分布，且N=50，M=1，n=5。因此甲被選中的概率為【例5】一批零件共有30個，其中有3個不合格，隨機抽取10個零件進行檢測，求至少有1件不合格的概率。解：設抽取的10個零件中不合格品數為X，則X服從超幾何分布，且N=30，M=3，n=10。X的分布列為至少有1件不合格的概率為【例6】一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中隨機例6地摸出20個球作為樣本。用X表示樣本中黃球的個數，分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列。解：（1）對于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗之間的結果是獨立的，因此X~B(20，0.4)，X的分布列為（2）對于不放回摸球，各次試驗的結果不獨立，X服從超幾何分布，X的分布列為

二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產品中次品數的分布規律，并且二者的均值相同。對于不放回抽樣，當n遠遠小于N時，每抽取一次后，對