關于自回歸移動平均模型§4.1隨機時間序列的特征一、隨機時間序列模型簡介二、趨勢平穩與差分平穩三、時間序列平穩性的檢驗第2頁,共115頁，星期六，2024年，5月一、隨機時間序列模型簡介一個標有時間腳標的隨機變量序列被稱為時間序列(timeseries)。前提假設：時間序列是由某個隨機過程(Stochasticprocess)生成的。即，假定序列X1,X2,…,XT的每一個數值都是從一個概率分布中隨機得到。當收集到一個時間序列數據集時，就得到該隨機過程的一個可能結果或實現(realization)。

第3頁,共115頁，星期六，2024年，5月

假定某個時間序列是由某一隨機過程生成，即假定時間序列Xt的每一個數值都是從一個概率分布中隨機得到，如果時間序列Xt滿足：

1）均值E(Xt)=

是與時間t

無關的常數；

2）方差Var(Xt)=

2是與時間t

無關的常數；

3）協方差Cov(Xt,Xt+k)=

k

是只與時期間隔k有關，與時間t無關的常數；則稱該隨機時間序列是平穩的（stationary)，而該隨機過程是一平穩隨機過程（stationarystochasticprocess）。1.時間序列的平穩性第4頁,共115頁，星期六，2024年，5月經典計量模型的數學基礎是極限法則，以獨立隨機抽樣為樣本，如果模型設定正確，模型隨機誤差項滿足極限法則和由極限法則導出的基本假設，繼而進行的參數估計和統計推斷是可靠的。以時間序列數據為樣本，破壞了隨機抽樣的假定，則經典計量模型的數學基礎能否被滿足成為一個重要問題。對照極限法則和時間序列的平穩性條件研究發現，如果模型設定正確，并且所有時間序列是平穩的，時間序列的平穩性可以替代隨機抽樣假定，模型隨機誤差項仍然滿足極限法則。2.平穩性與經典回歸第5頁,共115頁，星期六，2024年，5月3.白噪聲和隨機游走由定義知：白噪聲序列是平穩的。

一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立同分布序列：Xt=

t

，

t~N(0,

2)

該序列常被稱為是一個白噪聲(whitenoise)。第6頁,共115頁，星期六，2024年，5月

另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走(randomwalk)，該序列由如下隨機過程生成：Xt=Xt-1+

t

這里，

t是一個白噪聲,

t~N(0,

2)。

該序列同均值，但方差不同：E(Xt

)=E(Xt-1)X1=X0

+

1X2=X1

+

2

=X0

+

1+

2

……Xt

=X0

+

1+

2

+…+

t

var(Xt

)=t

2，Xt的方差與時間t有關，而非常數，因此隨機游走是非平穩序列。第7頁,共115頁，星期六，2024年，5月4.齊次非平穩過程

如果一個時間序列是非平穩的，經過一次或多次差分后成為平穩序列，產生這樣的非平穩序列的隨機過程稱為齊次隨機過程。原序列轉化為平穩序列所需的差分次數稱為齊次的階數。對隨機游走序列Xt取一階差分(firstdifference)：由于

t是一個白噪聲，則序列{ΔXt

}是平穩的。這提示我們如果一個時間序列是非平穩的，常常可以通過取差分的方法形成平穩序列。第8頁,共115頁，星期六，2024年，5月

如果Yt是一階齊次非平穩過程，則序列：Wt=Yt

?Yt-1=Yt

就是平穩的。如果Yt是二階齊次非平穩過程，則序列：Wt=Yt

?Yt-1=2Yt

就是平穩的。第9頁,共115頁，星期六，2024年，5月5.單整與非單整

如果一個時間序列經過一次差分變成平穩序列，也稱原序列是1階單整(integratedof1)序列,記為I(1)過程。如果經過d次差分后變成平穩序列,則稱原序列是d階單整(integratedofd),記為I(d)。

I(0)代表平穩時間序列。多次差分無法變為平穩的時間序列稱為非單整的(non-integrated)。第10頁,共115頁，星期六，2024年，5月

隨機時間序列Yt的自相關函數(autocorrelationfunction,ACF)：

k=

k

/

0

自相關函數是關于滯后期k的遞減函數。對一個隨機過程只有一個實現(樣本),因此，只能計算樣本自相關函數(Sampleautocorrelationfunction)：6.自相關函數、Q統計量第11頁,共115頁，星期六，2024年，5月

為了檢驗自相關函數的某個數值

ρk

是否為0，可以用Bartlett的研究結果：如果時間序列由白噪聲生成，則對所有k>0，

k~N(0,1/T

)

為了檢驗所有k>0的自相關函數ρk

都為0的聯合假設，可以采用Box-Pierce的Q統計量：

Q統計量近似地服從自由度為k的

分布。如果計算出Q值大于顯著性水平

α下的臨界值，就有1-α的把握拒絕所有

k(k>0)同時為0的原假設。第12頁,共115頁，星期六，2024年，5月1.確定性時間趨勢

描述非平穩經濟時間序列一般有兩種方法，一種方法是包含一個確定性時間趨勢：

(*)

其中ut是平穩序列；a+

t是線性趨勢函數。這種過程也稱為趨勢平穩的，因為如果從式(*)中減去

a+

t，結果是一個平穩過程。二、趨勢平穩與差分平穩隨機過程第13頁,共115頁，星期六，2024年，5月

一般時間序列可能存在一個非線性函數形式的確定性時間趨勢，例如可能存在多項式趨勢：

(**)t=1,2,

,T

同樣可以除去這種確定性趨勢，然后分析和預測去勢后的時間序列。對于中長期預測而言，能準確地給出確定性時間趨勢的形式很重要。如果Yt能夠通過去勢方法排除確定性趨勢，轉化為平穩序列，稱為退勢平穩過程。第14頁,共115頁，星期六，2024年，5月2.差分平穩過程

非平穩序列中有一類序列可以通過差分運算，得到具有平穩性的序列，考慮下式

(*)

也可寫成：

(**)

其中a是常數,ut是一個白噪聲序列。式(*)的差分序列是含漂移

a的隨機游走，說明yt的差分序列

yt是平穩序列。（**）式中L表示滯后算子。第15頁,共115頁，星期六，2024年，5月

實際上，以往討論的回歸方程的序列自相關問題暗含著殘差序列是一個平穩序列。因為如果殘差序列是一個非平穩序列，則說明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規則，隨著時間的變化有越來越大的偏離因變量均值的趨勢，這樣的模型是不能夠用來預測未來信息的。第16頁,共115頁，星期六，2024年，5月

殘差序列是一個非平穩序列的回歸被稱為偽回歸，這樣的一種回歸有可能擬合優度、顯著性水平等指標都很好，但是由于殘差序列是一個非平穩序列，說明了這種回歸關系不能夠真實的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關系，而僅僅是一種數字上的巧合而已。偽回歸的出現說明模型的設定出現了問題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進行差分，以使殘差序列達到平穩。一個可行的辦法是先把一個非平穩時間序列通過某種變換化成一個平穩序列。第17頁,共115頁，星期六，2024年，5月一個平穩的時間序列在圖形上往往表現出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩序列則往往表現出在不同的時間段具有不同的均值（如持續上升或持續下降）。1.平穩性檢驗的圖示判斷三、時間序列的平穩性檢驗平穩時間序列與非平穩時間序列圖第18頁,共115頁，星期六，2024年，5月

單位根檢驗（unitroottest）是普遍應用的一類檢驗時間序列平穩性的方法，以ADF檢驗最為常用。(1)DF檢驗我們已知道，隨機游走序列Yt=Yt-1+

t

是非平穩的，其中

t是白噪聲。序列可看成是隨機模型Yt=

Yt-1+

t

中參數

=1時的情形。2.平穩性的單位根檢驗第19頁,共115頁，星期六，2024年，5月

也就是說，對式

Yt=

Yt-1+

t

（*）

回歸，如果確實發現

=1，就說隨機變量Yt有一個單位根。

（*）式可變成差分形式：

Yt=(

-1)Yt-1+

t=

Yt-1+

t

(**)

檢驗（*）式是否存在單位根

=1，也可通過（**）式判斷是否有

=0。第20頁,共115頁，星期六，2024年，5月一般地:

檢驗一個時間序列Yt的平穩性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型

Yt=

+

Yt-1+

t

（*）中的參數

是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式

Yt=

+

Yt-1+

t

（**）中的參數

是否小于0。

（*）式中的參數

>1或

=1時，時間序列是非平穩的；對應于（**）式，則是

>0或

=0。第21頁,共115頁，星期六，2024年，5月針對（**）式

Yt=

+Yt-1+

t

零假設

H0：

=0，即原序列存在單位根；備擇假設

H1：

<0，即原序列是平穩的；

上述檢驗可通過OLS法下的t

檢驗完成。Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統計量服從的分布（這時的t統計量稱為

統計量），即DF分布（見下表）。DF分布臨界值表第22頁,共115頁，星期六，2024年，5月

通過OLS法估計

Yt=

+Yt-1+

t

計算t統計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：如果：t<臨界值（左尾單側檢驗），則拒絕原假設H0：

=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩的。第23頁,共115頁，星期六，2024年，5月

DF檢驗的問題：在上述使用

Yt=

+Yt-1+

t

對時間序列進行平穩性檢驗中，實際上假定時間序列是由一階自回歸過程AR(1)生成的，并且隨機誤差項是白噪聲。

為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。(2)ADF檢驗第24頁,共115頁，星期六，2024年，5月ADF檢驗是通過以下3個模型完成的：3個模型檢驗的原假設都是：H0：

=0，即存在一單位根，備擇假設：H1:

<0。模型1：模型2：模型3：第25頁,共115頁，星期六，2024年，5月

同時估計出上述3個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設H0：

=0。

1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩的；

2）當3個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩的。檢驗原理與DF檢驗相同。Dicky和Fuller推導了3個模型所使用的ADF分布臨界值表。ADF檢驗也可判斷時間序列的單整階數。ADF檢驗過程：第26頁,共115頁，星期六，2024年，5月

例1：檢驗1978~2000年間中國支出法GDP時間序列的平穩性及單整性。1）經過償試，模型3取了2階滯后：

通過拉格朗日乘數檢驗對隨機誤差項的自相關性進行檢驗：LM(1)=0.92，LM(2)=4.16，小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2的

2分布的臨界值，可見不存在自相關性。

從

看，t>臨界值(查ADF分布表)，不能拒絕存在單位根的零假設。第27頁,共115頁，星期六，2024年，5月2）經試驗，模型2中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差不存在自相關性。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值(查ADF分布表)，不能拒絕存在單位根的零假設。第28頁,共115頁，星期六，2024年，5月3）經試驗，模型1中滯后項取2階：

LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關性，因此模型的設定是正確的。從GDPt-1的參數值看，其t統計量為正值，大于臨界值(查ADF分布表)，不能拒絕存在單位根的零假設。結論：根據ADF檢驗結果，可斷定中國支出法核算的GDP時間序列是非平穩的。第29頁,共115頁，星期六，2024年，5月DependentVariable:D(GDP)

Method:LeastSquares

Sample(adjusted):19812000

Includedobservations:20afteradjustments

CoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-1011.330805.7016-1.2552170.2286@TREND(1978)229.2673120.17971.9077040.0758GDP(-1)0.0092720.0295610.3136550.7581D(GDP(-1))1.4990940.1676208.9433900.0000D(GDP(-2))-1.0069410.203447-4.9494020.0002R-squared0.941735

Meandependentvar4228.060AdjustedR-squared0.926198

S.D.dependentvar3774.675S.E.ofregression1025.448

Akaikeinfocriterion16.91597Sumsquaredresid15773165

Schwarzcriterion17.16490Loglikelihood-164.1597

Hannan-Quinncriter.16.96456F-statistic60.61136

Durbin-Watsonstat2.306026Prob(F-statistic)0.000000

支出法GDP時間序列的平穩性ADF檢驗模型3結果：第30頁,共115頁，星期六，2024年，5月Eviews中，GDP平穩性ADF檢驗結果：NullHypothesis:GDPhasaunitroot

Exogenous:Constant,LinearTrend

LagLength:2(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=4)

t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic

0.313655

0.9972Testcriticalvalues:1%level

-4.498307

5%level

-3.658446

10%level

-3.268973

*MacKinnon(1996)one-sidedp-values.

第31頁,共115頁，星期六，2024年，5月Eviews中，GDP平穩性ADF檢驗結果（續）：AugmentedDickey-FullerTestEquation

DependentVariable:D(GDP)

Method:LeastSquares

Sample(adjusted):19812000

Includedobservations:20afteradjustments

CoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDP(-1)0.0092720.0295610.3136550.7581D(GDP(-1))1.4990940.1676208.9433900.0000D(GDP(-2))-1.0069410.203447-4.9494020.0002C-1011.330805.7016-1.2552170.2286@TREND(1978)229.2673120.17971.9077040.0758R-squared0.941735

Meandependentvar4228.060AdjustedR-squared0.926198

S.D.dependentvar3774.675S.E.ofregression1025.448

Akaikeinfocriterion16.91597Sumsquaredresid15773165

Schwarzcriterion17.16490Loglikelihood-164.1597

Hannan-Quinncriter.16.96456F-statistic60.61136

Durbin-Watsonstat2.306026Prob(F-statistic)0.000000

第32頁,共115頁，星期六，2024年，5月4）中國支出法GDP的單整性。

經過試算，發現中國支出法GDP是1階單整的，適當的檢驗模型為：第33頁,共115頁，星期六，2024年，5月DependentVariable:D(GDP,2)

Method:LeastSquares

Sample(adjusted):19812000

Includedobservations:20afteradjustments

CoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-1177.177590.5488-1.9933610.0636@TREND(1978)261.250761.784554.2284150.0006D(GDP(-1))-0.4948930.095513-5.1814240.0001D(GDP(-1),2)0.9655080.1503086.4235400.0000R-squared0.750052

Meandependentvar298.1000AdjustedR-squared0.703187

S.D.dependentvar1828.426S.E.ofregression996.1368

Akaikeinfocriterion16.82250Sumsquaredresid15876616

Schwarzcriterion17.02165Loglikelihood-164.2250

Hannan-Quinncriter.16.86138F-statistic16.00445

Durbin-Watsonstat2.213135Prob(F-statistic)0.000045

支出法GDP時序一階差分后的平穩性ADF檢驗模型3結果：第34頁,共115頁，星期六，2024年，5月NullHypothesis:D(GDP)hasaunitrootExogenous:Constant,LinearTrend

LagLength:1(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=5)

t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic-5.181424

0.0026Testcriticalvalues:1%level

-4.498307

5%level

-3.658446

10%level

-3.268973

結論：根據ADF檢驗結果，可斷定中國支出法核算的GDP的一階差分序列是平穩的，即I(1)。Eviews中，ΔGDP序列ADF檢驗模型3的檢驗結果：第35頁,共115頁，星期六，2024年，5月

例2：檢驗關于人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩性及單整性。第36頁,共115頁，星期六，2024年，5月1)對中國人均國內生產總值GDPP來說，經過償試，三個模型的適當形式分別為：模型3：ADF檢驗過程：第37頁,共115頁，星期六，2024年，5月模型2：模型1：第38頁,共115頁，星期六，2024年，5月3個模型中參數的估計值的t統計量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設。

結論:人均國內生產總值(GDPP)是非平穩的。

經過進一步檢驗發現，人均國內生產總值(GDPP)和人均居民消費(CONSPP)都是二階單整序列，I(2)第39頁,共115頁，星期六，2024年，5月Eviews中GDPP序列ADF檢驗給出的模型3的檢驗結果：NullHypothesis:GDPPhasaunitroot

Exogenous:Constant,LinearTrend

LagLength:2(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=6)

t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic-0.038831

0.9922Testcriticalvalues:1%level

-4.498307

5%level

-3.658446

10%level

-3.268973

AugmentedDickey-FullerTestEquation

DependentVariable:D(GDPP)

Method:LeastSquares

Sample(adjusted):19812000

CoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDPP(-1)-0.0017940.046202-0.0388310.9695D(GDPP(-1))0.8802580.2187184.0246320.0011D(GDPP(-2))-0.5748490.239245-2.4027610.0297C5.27130419.117900.2757260.7865@TREND(1978)8.1323406.5271171.2459310.2319R-squared0.841967

Meandependentvar151.3000AdjustedR-squared0.799825

S.D.dependentvar79.09023S.E.ofregression35.38567

Akaikeinfocriterion10.18281Sumsquaredresid18782.19

Schwarzcriterion10.43174Loglikelihood-96.82809

Hannan-Quinncriter.10.23140F-statistic19.97927

Durbin-Watsonstat1.840754Prob(F-statistic)0.000007

第40頁,共115頁，星期六，2024年，5月2）對于人均居民消費CONSP時間序列來說，3個模型的適當形式為：模型3：模型2：第41頁,共115頁，星期六，2024年，5月3個模型中參數CONSPt-1的t統計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間序列存在單位根的假設。

結論：可判斷人均居民消費序列CONSP是非平穩的。模型1：第42頁,共115頁，星期六，2024年，5月Eviews中CONSP序列ADF檢驗給出的模型3的檢驗結果：NullHypothesis:CONSPhasaunitroot

Exogenous:Constant,LinearTrend

LagLength:0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=7)

t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic

0.317837

0.9974Testcriticalvalues:1%level

-4.440739

5%level

-3.632896

10%level

-3.254671

AugmentedDickey-FullerTestEquation

DependentVariable:D(CONSP)

Method:LeastSquares

Sample(adjusted):19792000

CoefficientStd.Errort-StatisticProb.

CONSP(-1)0.0316390.0995440.3178370.7541C9.16919630.716620.2985090.7686@TREND(1978)1.9287435.3338630.3616030.7216R-squared0.337576

Meandependentvar58.86364AdjustedR-squared0.267847

S.D.dependentvar40.26234S.E.ofregression34.45085

Akaikeinfocriterion10.04307Sumsquaredresid22550.36

Schwarzcriterion10.19185Loglikelihood-107.4737

Hannan-Quinncriter.10.07812F-statistic4.841264

Durbin-Watsonstat1.420701Prob(F-statistic)0.019989

第43頁,共115頁，星期六，2024年，5月Eviews中CONSP序列ADF檢驗給出的模型2的檢驗結果：NullHypothesis:CONSPhasaunitroot

Exogenous:Constant

LagLength:0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=7)

t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic

3.160028

1.0000Testcriticalvalues:1%level

-3.769597

5%level

-3.004861

10%level

-2.642242

AugmentedDickey-FullerTestEquation

DependentVariable:D(CONSP)

Method:LeastSquares

Sample(adjusted):19792000

CoefficientStd.Errort-StatisticProb.

CONSP(-1)0.0667760.0211313.1600280.0049C0.79339119.730670.0402110.9683R-squared0.333017

Meandependentvar58.86364AdjustedR-squared0.299668

S.D.dependentvar40.26234S.E.ofregression33.69388

Akaikeinfocriterion9.959017Sumsquaredresid22705.55

Schwarzcriterion10.05820Loglikelihood-107.5492

Hannan-Quinncriter.9.982382F-statistic9.985775

Durbin-Watsonstat1.456762Prob(F-statistic)0.004925

第44頁,共115頁，星期六，2024年，5月Eviews中CONSP序列ADF檢驗給出的模型1的檢驗結果：NullHypothesis:CONSPhasaunitroot

Exogenous:None

LagLength:0(AutomaticbasedonSIC,MAXLAG=7)

t-Statistic

Prob.*AugmentedDickey-Fullerteststatistic

8.998848

1.0000Testcriticalvalues:1%level

-2.674290

5%level

-1.957204

10%level

-1.608175

AugmentedDickey-FullerTestEquation

DependentVariable:D(CONSP)

Method:LeastSquares

Sample(adjusted):19792000

CoefficientStd.Errort-StatisticProb.

CONSP(-1)0.0675670.0075088.9988480.0000R-squared0.332963

Meandependentvar58.86364AdjustedR-squared0.332963

S.D.dependentvar40.26234S.E.ofregression32.88319

Akaikeinfocriterion9.868189Sumsquaredresid22707.38

Schwarzcriterion9.917782Loglikelihood-107.5501

Hannan-Quinncriter.9.879872Durbin-Watsonstat1.457686

第45頁,共115頁，星期六，2024年，5月中國人均居民消費與人均國內生產總值的單整性：

經過試算，發現中國人均國內生產總值GDPP是2階單整的，適當的檢驗模型為：

CONSP也是2階單整的，適當的檢驗模型為：第46頁,共115頁，星期六，2024年，5月§4.2隨機時間序列分析模型一、模型的一般形式及其適用性二、模型的平穩性條件三、模型的識別四、模型的參數估計五、模型的檢驗第47頁,共115頁，星期六，2024年，5月

隨機時間序列模型（TimeSeriesModeling）一般形式為：

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,

t)

建立具體的時間序列模型的三個問題：

(1)模型的具體形式

(2)時序變量的滯后期

(3)隨機擾動項的結構一、隨機時間序列模型的一般形式及適用性第48頁,共115頁，星期六，2024年，5月

例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（

t=

t），模型將是一個1階自回歸過程AR(1)：

Xt=Xt-1+

t

(

t特指白噪聲)

一般的，p階自回歸過程AR(p)為：

Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…+

pXt-p+

t(*)(1)如果隨機擾動項是一個白噪聲(

t=

t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程(pureAR(p)process)。第49頁,共115頁，星期六，2024年，5月

(2)如果

t不是一個白噪聲，通常認為它是一個q階的移動平均(movingaverage)過程MA(q)：

t=

t

?

1

t-1?

2

t-2?

?

q

t-q

該式給出了一個純MA(q)過程(pureMA(q)process)。

一般的p階自回歸過程AR(p)是：

Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…+

pXt-p+

t(*)

將純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動平均(autoregressivemovingaverage)過程ARMA(p,q)：

Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…+

pXt-p

+

t

-

1

t-1-

2

t-2-

-

q

t-q第50頁,共115頁，星期六，2024年，5月ARMA(p,q)：

該式表明：（1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋。（2）如果該序列是平穩的，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。

Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…+

pXt-p

+

t

-

1

t-1-

2

t-2-

-

q

t-q第51頁,共115頁，星期六，2024年，5月經典回歸模型的問題：（1）經典的計量經濟學模型是以因果關系為基礎，且具有一定的模型結構，因此也常稱為結構式模型（structuralmodel）。（2）然而，如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，則利用結構式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能。

時間序列分析模型的適用性

在這些情況下，采用另一條預測途徑：通過時間序列的歷史數據,得出關于其過去行為的有關結論，進而對時間序列未來行為進行推斷。

隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢。第52頁,共115頁，星期六，2024年，5月1.AR(p)模型的平穩性條件

如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩的，就說該AR(p)模型是平穩的，否則，就說該AR(p)模型是非平穩的。二、隨機時間序列模型的平穩性條件第53頁,共115頁，星期六，2024年，5月考慮p階自回歸模型AR(p)

Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…+

pXt-p+

t

(*)引入滯后算子（lagoperator）L：

LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式變換為(1-

1L-

2L2-…-

pLp)Xt=

t

記

(L)=(1-

1L-

2L2-…-

pLp)，稱多項式方程

(z)=(1-

1z-

2z2-…-

pzp)=0，為AR(p)的特征方程(characteristicequation)?？梢宰C明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩的。

第54頁,共115頁，星期六，2024年，5月例，AR(1)模型的平穩性條件對1階自回歸模型AR(1):

由于Xt僅與

t相關,因此,E(Xt-1

t)=0。如果該模型平穩,則有E(Xt2)=E(Xt-12),從而上式可變換為：在平穩條件下,該方差是一非負的常數,從而有|

|<1

第55頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)的特征方程：的根為z=1/

AR(1)穩定,即

|

|<1,意味著特征根大于1,根的模大于1。

對高階自回歸模型AR(p)：

(1)AR(p)模型穩定的必要條件是：

1+

2++

p<1

(2)由于

i(i=1,2,p)可正可負,AR(p)模型穩定的充分條件是：

|

1|+|

2|++|

p|<1

第56頁,共115頁，星期六，2024年，5月對于移動平均模型MA(q)：

Xt=

t

-

1

t-1-

2

t-2-

-

q

t-q

其中，

t是一個白噪聲，于是2.MA(q)模型的平穩性

當滯后期大于q時，Xt的自協方差系數為0。因此：有限階移動平均模型總是平穩的。γq+1=cov(Xt,Xt-q-1)=E(XtXt-q-1)=E[(

t

-

1

t-1-

2

t-2-

-

q

t-q

)*(

t-q-1

-

1

t-q-2

-

2

t-q-3

-

-

q

t-2q-1)]=0第57頁,共115頁，星期六，2024年，5月

由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：

Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…+

pXt-p

+

t

-

1

t-1-

2

t-2-

-

q

t-q3.ARMA(p,q)模型的平穩性

而MA(q)模型總是平穩的，因此ARMA(p,q)模型的平穩性取決于AR(p)部分的平穩性。

當AR(p)部分平穩時，則該ARMA(p,q)模型是平穩的，否則，不是平穩的。第58頁,共115頁，星期六，2024年，5月

（1）一個平穩的時間序列總可以找到生成它的平穩的隨機過程或模型；（2）一個非平穩的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩的，對差分后平穩的時間序列也可找出對應的平穩隨機過程或模型。如果將一個非平穩時間序列通過d次差分,將它變為平穩的，然后用一個平穩的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個自回歸單整移動平均（autoregressiveintegratedmovingaverage）時間序列，記為ARIMA(p,d,q)。

4.ARIMA(p,d,q)模型第59頁,共115頁，星期六，2024年，5月

隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平穩的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型，即判斷該時間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程。

所使用的工具主要是時間序列的自相關函數（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關函數（partialautocorrelationfunction，

PACF

）。三、隨機時間序列模型的識別第60頁,共115頁，星期六，2024年，5月1.AR(p)過程(1)自相關函數ACF1階自回歸模型AR(1)：Xt=Xt-1+

t

的k階滯后自協方差為：k=1,2,…AR(1)模型的自相關函數為：k=1,2,…

由AR(1)的穩定性知|

|<1,因此,k

時,ACF呈指數形衰減,直到零。這種現象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinitememory）。

注意，

<0時，呈振蕩衰減狀。第61頁,共115頁，星期六，2024年，5月一般地，p階自回歸模型AR(p):Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…

pXt-p

+

tk期滯后協方差為:從而有自相關函數

:

無論k有多大，

k的計算均與其1到p階滯后的自相關函數有關，因此呈拖尾狀。如果AR(p)是穩定的,則|

k|遞減且趨于零。第62頁,共115頁，星期六，2024年，5月

其中：zi=1/λi是AR(p)特征方程

(z)=0的特征根，由AR(p)平穩的條件知，|λi|<1或|zi|>1;

因此，當zi均為實數根時，

k呈幾何型衰減（單調或振蕩）；當存在虛數根時，則一對共扼復根構成通解中的一個阻尼正弦波項，

k呈正弦波衰減。事實上，自相關函數是一p階差分方程，其通解為第63頁,共115頁，星期六，2024年，5月(2)偏自相關函數

Xt與Xt-k間的偏自相關函數(partialautocorrelation,簡記為PACF)是消除了中間變量Xt-1，…，Xt-k+1

帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關系的度量。第64頁,共115頁，星期六，2024年，5月

Xt與Xt-k之間的條件相關性。其相關程度用偏自相關系數

k,k度量。在k階滯后下估計偏自相關系數的計算公式如下（*）其中：rk是在k階滯后時的自相關系數估計值。（**）這是偏自相關系數的一致估計。第65頁,共115頁，星期六，2024年，5月66

要得到

k,k的更確切的估計，需要進行回歸

t

=

1,2,

,T

（*）因此滯后k階的偏自相關系數是當Xt

對Xt-1，…，Xt-k作回歸時Xt-k的系數。稱之為偏相關是因為它度量了k期間距的相關而不考慮k-1期的相關。第66頁,共115頁，星期六，2024年，5月

從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機擾動項

t，顯然它與Xt-2無關，因此Xt與Xt-2的偏自相關系數為零，記為

在AR(1)中，

同樣，在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關系數為零。

AR(p)的一個主要特征是：k>p時，

k*=Corr(Xt,Xt-k)=0

即

k*在p以后截尾。第67頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(p)隨機時間序列的識別原則：若Xt的偏自相關函數在p以后截尾,即k>p時，

k*=0，而它的自相關函數

k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。第68頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，時序圖

=1第69頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，樣本自相關函數和偏自相關函數圖

=1第70頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，時序圖

=0.8第71頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，樣本自相關函數和偏自相關函數圖

=0.8第72頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，時序圖

=-0.8第73頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，樣本自相關函數和偏自相關函數圖

=-0.8第74頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，時序圖

=0.2第75頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，樣本自相關函數和偏自相關函數圖

=0.2第76頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，時序圖

=-0.2第77頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，樣本自相關函數和偏自相關函數圖

=-0.2第78頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，時序圖

=1.02第79頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(1)過程，樣本自相關函數和偏自相關函數圖

=1.02第80頁,共115頁，星期六，2024年，5月對MA(1)過程2.MA(q)過程它的自協方差系數：

于是，MA(1)過程的自相關函數為：可見，當k>1時，

k>0，即Xt與Xt-k不相關，MA(1)自相關函數是截尾的。第81頁,共115頁，星期六，2024年，5月MA(1)過程可以等價地寫成

t關于無窮序列Xt，Xt-1，…的線性組合的形式：或（*）(*)是一個AR()過程，它的偏自相關函數非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數是非截尾但卻趨于零的。

第82頁,共115頁，星期六，2024年，5月其自協方差系數為:

一般地，q階移動平均過程MA(q)相應的自相關函數為:當k>q時，Xt與Xt-k不相關,

k=0,即存在截尾現象,這是MA(q)的一個特征?？梢愿鶕韵嚓P系數是否從某一點開始一直為0來判斷MA(q)模型的階數。MA(q)過程的偏自相關函數是非截尾但趨于零的。第83頁,共115頁，星期六，2024年，5月

在實際識別時，由于樣本自相關函數rk是總體自相關函數

k的一個估計，由于樣本的隨機性，當k>q時，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明,當k>q時,rk服從如下漸近正態分布:

rk~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。則有95.5%的把握判斷原時間序列在q之后截尾。因此，如果計算的rk滿足

MA(q)模型的識別規則：若隨機序列的自相關函數截尾，即自q以后,

k=0(k>q)：而它的偏自相關函數拖尾,則此序列是移動平均MA(q)序列。第84頁,共115頁，星期六，2024年，5月

ARMA(p,q)的自相關函數，可以看作MA(q)的自相關函數和AR(p)的自相關函數的混合。當p=0時，它具有截尾性質；當q=0時，它具有拖尾性質；當p、q都不為0時，它具有拖尾性質;

從識別上看，通常：

ARMA(p,q)過程的偏自相關函數(PACF)可能在p階滯后前有幾項明顯的尖柱(spikes)，但從p階滯后項開始逐漸趨向于零；而它的自相關函數(ACF)則是在q階滯后前有幾項明顯的尖柱,從q階滯后項開始逐漸趨向于零。

3.ARMA(p,q)過程第85頁,共115頁，星期六，2024年，5月ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模式模型ACFPACF

k

k*AR(p)衰減趨于零(幾何型或震蕩型)p階后截尾：

k*=0，k>pMA(q)q階后截尾：

k=0，k>p衰減趨于零(幾何型或震蕩型)ARMA(p,q)q階后衰減趨于零(幾何型或震蕩型)p階后衰減趨于零(幾何型或震蕩型)第86頁,共115頁，星期六，2024年，5月ARMA(p,q)模型的ACF與PACF理論模式ACFPACF第87頁,共115頁，星期六，2024年，5月模型2:Xt=-0.7Xt-1

+

t模型3:Xt=

t

?0.7

t第88頁,共115頁，星期六，2024年，5月模型5:Xt=-0.7Xt-1+

t?0.7

t-1模型4:Xt=0.7Xt-1?0.49Xt-2+

t第89頁,共115頁，星期六，2024年，5月例1中GDP是一階單整的，ΔGDP是平穩序列：第90頁,共115頁，星期六，2024年，5月AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計方法較多，大體上分為3類：利用自相關函數的直接估計矩估計最小二乘估計結構階數模型識別確定估計參數四、隨機時間序列模型的估計第91頁,共115頁，星期六，2024年，5月1.AR(p)模型的YuleWalker方程估計

在AR(p)模型的識別中，曾得到利用

k=

-k，得到如下方程組：

此方程組稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數

1,

2,,

p與自相關函數

1,

2,,

p的關系。第92頁,共115頁，星期六，2024年，5月一般地，p階自回歸模型AR(p):Xt=

1Xt-1+

2Xt-2+…

pXt-p

+

tk期滯后協方差為:從而有自相關函數

:第93頁,共115頁，星期六，2024年，5月

利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關函數的估計值

然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數的估計值第94頁,共115頁，星期六，2024年，5月由于于是從而可得

2的估計值

在具體計算時,可用樣本自相關函數rk替代。第95頁,共115頁，星期六，2024年，5月2.MA(q)模型的矩估計

將MA(q)模型的自協方差函數中的各個量用估計量代替，得到：(*)

首先求得自協方差函數的估計值，(*)是一個包含(q+1)個待估參數的非線性方程組,可以用直接法或迭代法求解。

常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。第96頁,共115頁，星期六，2024年，5月（1）MA(1)模型的直接算法

對于MA(1)模型，（*）式相應地寫成或有于是有解

由于參數估計有兩組解，可根據可逆性條件|

1|<1來判斷選取一組。于是第97頁,共115頁，星期六，2024年，5月（2）MA(q)模型的迭代算法

對于q>1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計參數。由（*）式得第一步，給出的一組初值，比如代入（**）式，計算出第一次迭代值（**）第98頁,共115頁，星期六，2024年，5月

第二步，將第一次迭代值代入（**）式，計算出第二次迭代值

按此反復迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結果作為（**）的近似解。第99頁,共115頁，星期六，2024年，5月3.ARMA(p,q)模型的矩估計

在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數

1,

2,,

p與

1,

2,,

q以及

2，其估計量計算步驟及公式如下：

第一步，估計

1,

2,,

p

是總體自相關函數的估計值，可用樣本自相關函數rk代替。第100頁,共115頁，星期六，2024年，5月

第二步，改寫模型,求

1,

2,,

q以及

2的估計值.將模型:改寫為：令于是(*)可以寫成：

構成一個MA模型。按照估計MA模型參數的方法,可以得到

1,

2,,

q以及

2的估計值。第101頁,共115頁，星期六，2024年，5月4.AR(p)的最小二乘估計

假設模型AR(p)的參數估計值已經得到，即有殘差的平方和為：(*)

根據最小二乘原理，所要求的參數估計值是下列方程組的解：即j=1,2,…,p

(**)解該方程組，就可得到待估參數的估計值。第102頁,共115頁，星期六，2024年，5月

注意，在上述模型的平穩性、識別與估計的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數項。

如果包含常數項，該常數項并不影響模型的原有性質，因為通過適當的變形，可將包含常數項的模型轉換為不含常數項的模型。以一般的ARMA(p,q)模型為例，對含有常數項的模型：方程兩邊同減

/(1-

1--

p)，則可得到其中(*)第103頁,共115頁，星期六，2024年，5月如果估計的ARMA(p,q)模型正確，殘差應代表一白噪聲序列，否則說明模型的識別與估計有誤