【創新設計】-學年高中數學3.4函數的應用(Ⅱ)活頁練習新人教B版必修1eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時20分鐘)1．某種細菌在培養過程中，每15分鐘分裂一次(由一個分裂成兩個)，這種細菌由1個繁殖成4096個需經過 ()．A．12小時 B．4小時C．3小時 D．2小時解析設共分裂了x次，則有2x＝4096，∴2x＝212，又∵每次為15分鐘，∴共15×12＝180(分鐘)，即3個小時．答案C2．在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后再顯示的圖象如圖所示．現給出下面說法：①前5分鐘溫度增加的速度越來越快；②前5分鐘溫度增加的速度越來越慢；③5分鐘以后溫度保持勻速增加；④5分鐘以后溫度保持不變．其中正確的說法是 ()．A．①④ B．②④C．②③ D．①③解析因為溫度y關于時間t的圖象是先凸后平，即前5min每當t增加一個單位增量，則y相應的增量越來越小，而5min后y關于t的增量保持為0，故選B.答案B3．某種動物繁殖數量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，設這種動物第一年有100只，第7年它們發展到 ()．A．300只 B．400只C．500只 D．600只解析當x＝1時，y＝100，得a＝100，∴當x＝7時，y＝100·log28＝300.答案A4．一種產品的成本原來是a元，在今后m年內，計劃使成本平均每年比上一年降低p%，則成本y隨經過的年數x變化的函數關系式為________．解析由公式y＝N(1－p%)n可得，其中N＝a，n＝x.答案y＝a(1－p%)x(x∈N*，且x≤m)．5．工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿足關系y＝a·0.5x＋b，現已知該廠今年1月份、2月份生產該產品分別為1萬件、1.5萬件．則此工廠3月份該產品的產量為________萬件．解析∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝0.5a＋b,1.5＝0.25a＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝2))，∴y＝－2×0.5x＋2，把x＝3代入得y＝1.75.答案1.756．某型號的手機，經兩次降價，單價由原來2000元降到1280元，試求這種手機平均降價的百分率．解設降價的百分率為x%，則2000(1－x%)2＝1280，∴(1－x%)2＝64%，∴1－x%＝80%，∴x%＝20%.∴這種手機平均降價的百分率為20%.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．用清水洗衣服，若每次都洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要洗的次數是 ()．A．3 B．4C．5 D．6解析設至少要洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，因此至少要洗4次．答案B8．如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關系：y＝at，有以下敘述：①這個指數函數的底數為2；②第5個月時，浮萍面積會超過30m2；③浮萍從4m2蔓延到12m2需要再經過1.5個月；④浮萍每月增加的面積都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2，所經過的時間分別為t1、t2、t3，則t1＋t2＝t3.其中正確的是 ()．A．①② B．②⑤C．①②⑤ D．①②③④解析①顯然正確；當t＝5時，y＝25＝32>30，故②正確；當t＝2時，y＝4，當t＝3.5時，y＝11.31<12，故經過3.5個月并不能使浮萍的面積達到12m2，故③不正確；由圖象可知，經過第一個月時，面積增加2－1＝1m2，再經過一個月時，面積增加4－2＝2m2，故④不正確；當浮萍面積為2m2時，t1＝1，當浮萍面積為3m2時，t2＝log23，當面積為6m2時，t3＝log26，而1＋log23＝log26，故⑤正確．故選C.答案C9．某林場計劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林________畝．解析第四年造林10000×(1＋20%)3＝17280.答案1728010．如圖，開始時桶1中有a升水，如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指數衰減曲線y1＝a·e－nt(n為常數，t為注水時間)，那么桶2中的水就是y2＝a－a·e－nt.如果由桶1向桶2中注水5分鐘時，兩桶中的水相等，那么經過________分鐘桶1中的水只有eq\f(a,8).解析由于t＝5時兩桶中的水相等，所以a·e－n×5＝a－a·e－n×5，所以(e－n)5＝eq\f(1,2)，即由條件可得a·e－nt＝eq\f(a,8)，即，所以t＝15.答案1511．一片森林原來的面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今年最多還能砍伐多少年？解(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得(2)設經過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年為止，已砍伐了5年．(3)設從今年開始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，，eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．12．(創新拓展)某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y(μg)與服藥后的時間t(h)之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數y＝k·at(t≥1，a>0，k，a是常數)的圖象．(1)寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關于時間t的函數關系式；(2)據測定：每毫升血液中含藥量不少于2(μg)時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？(3)若按(2)中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后在過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？(精確到0.1μg)解(1)當0≤t<1時，y＝8t；當t≥1時，把A(1,8)，B(7,1)代入y＝k·at，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝8,ka7＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),2),k＝8\r(2)))，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8t，0≤t<1,8\r(2)\f(\r(2),2)t，t≥1)).(2)設第一次服藥最遲過t小時服第二次藥，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥1,8\r(2)\f(\r(2),2)t＝2))，解得t＝5，即第一次服藥后5h后服第二次藥，也即上午11：00服藥；(3)第二次服藥3h后，每毫升血