第二章實數1認識無理數（第一課時）數學八年級上冊BS版課前預習典例講練目錄CONTENTS數學八年級上冊BS版01課前預習

分數

數學八年級上冊BS版02典例講練

（1）以下各正方形的邊長中，不是有理數的是（

C

）A.

面積為49的正方形C.

面積為8的正方形D.

面積為1.21的正方形C【思路導航】根據正方形的面積，判斷正方形的邊長是不是

有理數，就是看面積能不能寫成一個整數或一個分數的平方

的形式.

（2）已知一個長方體的長、寬、高分別為

x

，

x

，3，體積為

60.根據長方體的體積公式，寫出關于

x

的方程，并說明

x

是否

是有理數.【思路導航】先根據長方體的體積公式得到關于

x

的方程，再判斷

x

是否是有理數即可.解：由題意，得3

x2＝60.所以

x2＝20.因為42＜

x2＜52，所以

x

不是整數.又因為分數的平方仍是分數，所以

x

也不是分數.所以

x

不是有理數.【點撥】（1）由題意得到某個數的平方是一個正數，要說明該

數不是有理數，需要說明該數既不是整數，也不是分數.解這類

問題的關鍵：若

x2＝

a

，則當

a

不能寫成一個整數或一個分數的

平方的形式時，

x

不是有理數.（2）整數的平方仍是整數，分數的平方仍是分數.

2

c

，

n

如圖，在邊長為1的小正方形拼成的網格圖中，連接這些小正方

形的若干頂點，得到5條線段：

AB

，

AC

，

AD

，

AE

，

AF

.

請你

找出其中長度是有理數的線段和長度不是有理數的線段.【思路導航】先求出在網格線上的各條線段的長度，利用勾股

定理求出不在網格線上的各條線段長度的平方，再分出長度是

有理數和不是有理數的線段即可.解：由圖可知，

AB

＝4，

BC

＝1，

BD

＝3.在Rt△

ABC

中，由勾股定理，得

AC2＝42＋12＝17.同理，得

AD2＝42＋32＝25＝52，

AE2＝22＋22＝8，

AF2＝22＋32

＝13.所以長度是有理數的線段有

AB

，

AD

；長度不是有理數的線段

有

AC

，

AE

，

AF

.

【點撥】在邊長為1個單位長度的小正方形拼成的網格中，計算

兩個端點都在小正方形的頂點上的線段的長度時，在網格線上

的線段（如

AB

）的長度是有理數；不在網格線上的線段（如

AC

，

AD

）應放在由網格線構成的直角三角形中，再利用勾股

定理求解，線段的長度可能是有理數，也可能不是有理數.

如圖1，我們可以在邊長為1的正方形網格中以這樣的方式畫出

面積為5的正方形.（1）請問：它的邊長是有理數嗎？（2）你能用類似的方法在圖2中畫出面積為8的正方形嗎？圖1圖2解：（1）設大正方形的邊長為

a

.由勾股定理，得

a2＝22＋12＝5.因為22＜

a2＜32，所以

a

不是整數.又因為分數的平方仍是分數，所以

a

也不是分數.所以

a

不是有理數.故它的邊長不是有理數.圖1（2）可構造兩條直角邊的長分別為2，2的直角三角形，則以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積為22＋22＝8，如圖

所示.

（1）試說明：

DE

＝

DF

，

DE

⊥

DF

；（2）連接

EF

，若

AC

＝10，求

EF2的值；（3）在（2）的條件下，線段

EF

的長是有理數嗎？【思路導航】（1）根據已知條件證明△

BDG

≌△

ADC

和∠

EDG

＋∠

FDA

＝90°即可得到結論；（2）利用勾股定理可求得

EF2的值；（3）由

EF2的值便可判斷線段

EF

的長是否是有理數.

（2）因為

AC

＝10，所以

DE

＝

DF

＝5.在Rt△

DEF

中，由勾股定理，得

EF2＝

DE2＋

DF2＝52＋52＝50.（3）因為72＜50＜82，所以

EF

的長不是整數.又因為分數的平方仍是分數，所以

EF

的長不是分數.所以線段

EF

的長不是有理數.【點撥】整數的平方仍然是整數，分數的平方仍然是分數.若一

個數的平方是整數，且又在兩個連續自然數的平方之間，則這

個數不是有理數.

如圖，在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，

AB

＝8，

BC

＝4，

DE

垂直平分斜邊

AC

交

AB

于點

D

，垂足為

E

，連接

CD

.

線

段

BD

，

AC

，

AD

，

CD

的長中，哪些是有理數，哪些不是

有理數？解：在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，

AB

＝8，

BC

＝4，所以

AC2＝

AB2＋

BC2＝82＋42＝80.因為82＜80＜92，所以

AC

的長既不是整數，也不是分數，即

AC

的長不是有理數.因為

DE

垂直平分斜邊

AC

，所以

AD

＝

CD

.

設

AD

＝

x

，則

CD

＝

x

，

BD

＝

AB

－

AD

＝8－

x

.在Rt△

BCD

中，由勾股定理，得

CD2＝

BD2＋

BC2，即