直線的兩點式方程同步練習

一、選擇題

1.已知圓（％-4）2+⑶-1）2=25,則過點M（3,0）最長的弦所在的直線方程是

A.x+y—3=0B.x—y—3=0C.2%—y—6=0D.2%4-y—6=0

2.已知直線小女％+、一左一2=0恒過點"，直線%：y=x-l上有一動點P,點N

的坐標為（4,6）,當|PM|+|PN|取得最小值時，點尸的坐標為（）

A,27、n,23、Q八712、門,127、

A.（JOB.（7O>-7J）C.（三J百O）D.（yJ<J）

3.過點（2,1）的直線中，被圓d+y2_2x+4y=0截得的弦最長的直線的方程是（）

A.3x—y-5=0B.3x+y-7=0C.3%-y—1=0D.3x+y-5=0

4.下列說法中正確的是（）

A.言=卜表示過點Pi（M，yi），且斜率為人的直線方程

B.直線y=kx+b與y軸交于一點B（0力），其中截距b=|OB|

C.在x軸和y軸上的截距分別為a與b的直線方程是；+看=1

D.方程（孫——丫1）。一刈）表示過點Pi（xi，yD，。2（乂2，丫2）的直

線

5.給定圓的方程：（x-2）2+（y+8）2=9,則過坐標原點和圓心的直線方程為（）

A.4%-y=0B.4%4-y=0C.x-4y=0D.x+4y=0

6.已知4,B兩點分別在兩條互相垂直的直線y=2%和％+ay=0上，且線段AB的

中點為P（O，N），則直線48的方程為（）

QQQ2

A.y=--x4-5B.y=-x-5C.y=-%+5D.y5

4444

7.已知直線a6+bry+1=0和直線做無+b2y+1=0都過點4（2,1）,則過點

P1（Q逆1）和點「2（。2/2）的直線方程是（）

A.2x+y-1=0B.2x+y+1=0C.2x-y+1=0D.x+2y+l=0

8.已知△ABC的三個頂點坐標分別為4（2,6）、B（—4,3）、C（2,-3）,則點/到8C邊

的距離為（）

A.1B./C.迺D.4V3

225

9.下圖中表示的平面區域滿足的不等式組是（）

fx+y<5,(x+y<5,(x+y<5,(x+y>5,

l2x+y>4(2x+y<4[2x+y>4(2x+y<4

10.過兩點(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為()

A.-fB.1C.3D.-3

11.一條直線經過點（1,1）及直線2x-3y+6=0與x軸的交點，則這條直線的方程是

()

A.x+y-2=0B,x-4y+3=0C.2x-3y+1=0D.3x+2y-5=0

12.已知Z,8兩點分別在兩條互相垂直的直線y=2x和x+ay=0上，且線段48的

中點為尸（0片），則直線的方程為（）

A.y=-31+5B.y=3^-5c.y=3"+5D.y=—3-—5

4444

13.若直線經過4（1,0）,B（4,-遮）兩點，則直線48的傾斜角為（）

二、填空題

14.光線由點尸(2,3)射到直線%+丫=一1上，反射后過點則反射光線方程為

15.設4B是x軸上兩點，點尸的橫坐標為2,且|PA|=|PB|,若直線PN的方程為x-y+

1=0,則直線PB的方程為。

16.若三點4(1,一5),B(a,-2),C(-2,-l)共線，則實數a的值為.

17.已知A4BC三個頂點的直角坐標為分別為4(0,2),8(4,0),C(-l,-l),貝U邊

上的中線CM所在的直線方程為.

18.已知兩點4(1,一1)、8(3,3),點C(5,a)在直線48上，則實數a的值是.

三、解答題

19.已知直線/的方程為x+2y—1=0,4(1,4),B(3,2).

(1)求直線NB的方程；

(2)在直線/上求一點M,使得|4M|+|BM|最?。?/p>

(3)在直線/上求一點N,使得|4N|-|BN|最大.

20.已知直線/過點P(4,l).

(1)若直線/過點Q(-1,6),求直線/的方程.

(2)若直線/在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求直線/的方程.

21.已知△4BC的三個頂點分別為4(2,3),5(-1,-2),C(一3,4),求

(1)BC邊上的中線所在的直線方程；

(2)△ABC的面積.

22.已知△ABC的三個頂點分別為4(一3,0),B(2,l),C(-2,3),求:

(1)BC邊所在直線的方程；

(2)BC邊的垂直平分線DE的方程.

答案和解析

解：???((x-4)2+(y-l)2=25.

.,.己知圓的圓心坐標為(4,1),

又”(3,0)是圓。一4)2+3—1)2=25內一點，

???過”點最長的弦所在的直線為經過M與圓心的直線,

直線方程為咨=浮，

1—04—3

整理得：x—y—3=0.

故選8.

2.C

解：直線"：kx+y-k-2=0,即k(x-1)+y-2=0,令x-l=0,

求得x=l,y=2,可得該直線恒過點直線2y=%-1上有一動點尸，點N

的坐標為(4,6),

故A/、N都在直線G：y=x—l的上方.點M(l,2)關于直線%:y=x-l的對稱點為

”(3,0),

則MW直線方程為＜=評，即y=6x—18.

6-04-3

把M'N直線方程和直線%：y=x-l聯立方程組，

求得＜；2,可得當IPM+IPNI取得最小值時，

點P的坐標為(孩,￡).

故選C.

3.A

解：x2+y2-2x+4y=0的圓心為(1,一2),截得弦最長的直線必過點(2,1)和圓心(1,-

2).

由直線的兩點式方程可得胃=蕓，化簡得3x-y-5=0,

所以直線方程為3x—y-5=0.

故選4

4.D

解:對于小篇=上表示過點PM/,乃)且斜率為k的直線方程不正確,不含點匕(3,力),

故/不正確；

對于8,截距不是距離，是8點的縱坐標，其值可正可負，也可能為零，故8不正確;

對于C,經過原點的直線在兩坐標軸上的截距為0,不能表示為±+看=1,故C不正確;

aD

對于此方程即直線的兩點式方程變形，即(尤2-巧)3-丫1)=32-%)。一右)，

故。正確.

???正確的是：D.

5.B

解：由圓的標準方程，知圓心為(2,-8),

則過坐標原點和圓心的直線方程為y=-4x,即4x+y=0.

故選：B.

6.C

解：依題意，a=2,P(0,5).

設4(久0,2麗)，8(-2加必)，則由中點坐標公式，得慝■煞二b解得所

以4(4,8),3(-4,2).

由直線的兩點式方程，得直線48的方程是咨=口，即y=：x+5,

2-8-4-44

故選C.

7.B

解：把4(2,1)坐標代入兩條直線由久+61；/+1=0和&2%+人2丫+1=0，得

2al+b]+1=0,2a2+b?+1=0，

???2(%-a2)=b2~b1,

過點匕(%,瓦)，P2?2力2)的直線的方程是：皆=急，

???y-瓦=-2(%-%)，貝I」2%4-y-(2%+b。=0,

■:2%+比+1=0,**?2。]+b[=-1f

??.所求直線方程為：2x+y+l=0.

8.8

解：8c邊所在直線的方程為鋁=塞，即工+y+l=O,

—0—04+4

則d_|2xl+6xl+l|_9\/2

'—V2-2”

故選民

9.A

解：由圖知，一邊界過(0,4),(2,0)兩點，故其直線方程為2x+y-4=0,

另一邊界直線過(0,5),(5,0)兩點，故其直線方程為x+y—5=0,

由不等式與區域的對應關系知區域應滿足2x+y-420與x+y-5W0,

故區域對應的不等式組為E廣?：，4，

(Zx+y>4

故選4

10/

解：過兩點(一1,1)和(0,3)的直線方程為衿=甘生，

Q—iU—(一，)

即y=2%+3,令y=0得x=—|,

故選/.

11方

解：令y=0,解得％=—3,

所以直線2%-3)/+6=0與工軸的交點為(一3,0),

利用兩點式可得3=中，

14

即x-4y+3=0.

12.C

解：依題意，a=2,P(0,5).

設4%2殉)，B(-2y0,y0),則由中點坐標公式，得｛黑常二靠，解得所

以4(4,8),8(—4,2).

由直線的兩點式方程，得直線的方程是咨=轉，即y=：x+5,

2—8—4—4,4

故選C

13.。

解：若直線經過4(1,0),8(4,-遮)兩點，則直線的斜率等于匕理=-竺

1—43

設直線的傾斜角等于則有tan。=-皮.

3

再由040＜?？傻?=—,

6

故選D

14.4x-5y+1=0

解：因為點P(2,3)關于直線x+y=-1的對稱點P()(—4,—3),

而光線由點P(2,3)射到直線x+y=-l±.,反射后過點Q(l,l),

所以反射光線過點Q(l,l)和Po(-4,-3),

因此反射光線方程為：2二x-1

-4-19

整理可得：4x-5y+1=0.

故答案為4x—5y+1=0.

15.%+y-5=0

解：由條件得點4的坐標為(一1,0),點P的坐標為(2,3).

因為P4=PB,根據對稱性可知，點8的坐標為(5,0),

從而直線PB的方程為芍=蕓，整理得x+y-5=0.

-35—Z

故答案為％+y-5=0.

16.-7

4

解：方法一，????!、B、C三點共線，.?.點B在直線NC上,

兩點式得直線AC方程為筆=必，

即4x+3y+11=0,

將點8的坐標代入直線方程得，4a-6+ll=0,

5

???a

4

方法二，???/、B、。三點共線，，而〃前，

,**AB=(a-1,—2+5)=(Q—1,3)/C=(-2—1,—1+5)=(-3,4)

4(Q—1)=3X(—3),

Q=--5?

4

17.2x-3y-l=0

解：???4(0,2),B(4,0),C(-1,-1)，A/為Z8的中點

???由中點坐標公式得“(2,1),

???直線CM的方程為含■=券，即2x-3y-l=0,

故答案是2x-3y-l=0.

18.7

解：由題意，直線的斜率心8=與浮=汽,

3—15—3

解得a=7,

故答案為7.

19.解：(1)利用兩點式可得出=蕓，化為一般式方程得x+y—5=0.

(2)作點B關于直線/的對稱點B',連接4B',直線AB'與直線/的交點，即為所求的點

(2x(=)=-1

M.設點2關于直線/的對稱點B5，y0),則有七。：；：+2，解得夕舟一芳),

牡+2xQ-1=055

I22

A__27

所以直線AB'的方程17x—y-13=0,聯立CtyrW!。，解得『二手，所以當

點M的坐標為點，2)時，\AM\+|BM|最小.

(3)直線AB與直線/的交點，即為所求的點N.由(1)知直線AB的方程為

x+y-5=0,聯立《工匕=二°，解得4'所以當點7的坐標為(2一與時，

|4N|一|BN|最大.

20.解：(1)由題意，代入兩點式，得