專題03相似三角形的判定重難點專練第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海浦東新區·九年級期末）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點E在BC上，點F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點B與點D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．2．(2023·上海徐匯區·）下列說法中，正確的是（）A．兩個矩形必相似 B．兩個含角的等腰三角形必相似C．兩個菱形必相似 D．兩個含角的直角三角形必相似3．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在正方形中，為中點，．聯結．那么下列結果錯誤的是()A．與相似B．與相似C．與相似D．與相似4．(2023·上海九年級專題練習）下列命題中的真命題是（）A．兩個直角三角形都相似B．若一個直角三角形的兩條邊和另一個直角三角形的兩條邊成比例，則這兩個直角三角形相似C．兩個等腰三角形都相似D．兩個等腰直角三角形都相似5．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，D為AB上一點，過點D作一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線可以作（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條6．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）將一張矩形紙片對折后裁下，得到兩張大小完全一樣的矩形紙片，已知它們都與原來的矩形相似，那么原來矩形長與寬的比為（）A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:17．(2023·上海九年級專題練習）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列條件判定△ABC∽△DEF的是（）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）已知△ABC和△ADC均為直角三角形，點B、D位于AC的兩側，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）．A． B． C． D．9．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．10．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列能判定△ABC和△DEF相似的是（）A．∠A=40°，∠B=∠E=58°，∠D=82° B．∠A=∠E，C．∠A=∠B，∠D=∠E D．AB=BC=DE=EF11．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，點P是△ABC邊AB上一點（AB>AC），下列條件不一定能使△ACP∽△ABC的是（）A． B．C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB12．(2023·上海民辦蘭生復旦中學九年級月考）下列各命題中，真命題的個數是（）①兩邊成比例的兩個直角三角形相似；②兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似；③兩邊及其中一邊上的高對應成比例的兩個三角形相似；④三條直線被兩條直線所截，截得的對應線段成比例，那么這三條直線平行；⑤如果一條直線截三角形兩邊的延長線，所得對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個13．(2023·上海九年級專題練習）下列命題中正確的是（）．A．所有等腰三角形都相似 B．兩邊成比例的兩個等腰三角形相似C．有一個角相等的兩個等腰三角形相似 D．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似14．(2023·上海九年級專題練習）如圖，點D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE與△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③15．(2023·上海）如圖，四邊形是正方形，是邊的中點，是邊上的一動點，下列條件中，，△ABP不與△ECP相似的是（）A． B．C． D．16．(2023·上海嘉定區·）下列命題是真命題的是（）A．有一個角相等的兩個等腰三角形相似B．兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似C．四個內角都對應相等的兩個四邊形相似D．斜邊和一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似17．(2023·上海九年級專題練習）下列判斷中，不正確的有（）A．三邊對應成比例的兩個三角形相似B．兩邊對應成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似C．斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似D．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似18．(2023·上海第二工業大學附屬龔路中學九年級月考）如圖，在中，點、分別在邊、上，平分，，與一定相似的三角形為（）A． B． C． D．19．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，圖中相似三角形共有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對20．（2017·上海宋慶齡學校九年級月考）下列命題中，說法正確的個數是（）（1）兩個等邊三角形一定相似；（2）有一個角相等的兩個菱形一定相似；（3）兩個等腰三角形腰上的高和腰對應成比例，則這兩個三角形必相似；（4）兩邊及第三邊上的中線對應成比例的兩三角形相似.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第II卷（非選擇題）二、填空題21．(2023·上海九年級專題練習）已知在中，，點分別在邊上，將沿直線對折后，點正好落在對邊上，且折痕截所成的小三角形（即對折后的重疊部分）與相似，則折折痕__________22．(2023·上海）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度23．（2017·上海）如圖，在直角三角形ACB中，，D為AC中點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，點F在CB的延長線上，且，聯結DF，交AB于點H，如果，，那么___________.24．（2017·上海）如圖，在△ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點，CD與BE交于點F，BE⊥CD，如果，，那么___________.25．(2023·上海上外附中九年級月考）的邊長分別為的邊長分別，則與____________（選填“一定”“不一定”“一定不”）相似26．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是兩條中線，F為其交點，那么CF=____cm．

27．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．28．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，D為AB上一點，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一點E，且△ADE與原三角形相似，則AE=________．29．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=______．30．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，E是□ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，圖中______對相似三角形．

31．(2023·上海九年級專題練習）如圖，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中項．32．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點E是DC上一點，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．33．(2023·上海市閔行區七寶第二中學九年級期中）在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是邊AB的中點，過點O的直線將分割成兩個部分，若其中的一個部分與相似，則滿足條件的直線共有____________條34．(2023·上海第二工業大學附屬龔路中學九年級月考）中，，，點在上，且，若要在上找一個點，使與相似，則__．三、解答題35．(2023·上海九年級專題練習）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點放在點P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF(如圖1).(1)當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖2).①求證：△APB∽△DCP；②求PC、BC的長.(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中(圖1是該過程的某個時刻)，觀察、猜想并解答：①tan∠PEF的值是否發生變化？請說明理由.②設AE=x，當△PBF是等腰三角形時，請直接寫出x的值.36．(2023·上海普陀區·）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點放置BC中點E處，三角板繞點E旋轉，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F．（1）求證：△GBE∽△GEF．（2）設AG=x，GF=y，求Y關于X的函數表達式，并寫出自變量取值范圍．（3）如圖2，連接AC交GF于點Q，交EF于點P．當△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．37．(2023·上海浦東新區·）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；如圖1，在四邊形ABCD中，，對角線BD平分，求證：是比例三角形．如圖2，在的條件下，當時，求的值．38．(2023·上海黃浦區·中考模擬）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點C為射線DP上一點，BE平分∠ABC交線段AD于點E（不與端點A、D重合）．（1）當∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時，求四邊形ABCD的面積；（2）當△ABE與△BCE相似時，求線段CD的長；（3）設CD=x，DE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域．39．(2023·上海中考模擬）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，聯結DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，聯結EF．（1）如圖1，當DE⊥AC時，求EF的長；（2）如圖2，當點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯結CD交EF于點Q，當△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長．40．（2017·上海第二工業大學附屬龔路中學九年級期中）從三角形一個頂點引出一條射線于對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的優美線．（1）如圖，在△ABC中，AD為角平分線，∠B=50°，∠C=30°，求證：AD為△ABC的優美線；（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的優美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，求∠BAC的度數；（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的優美線，且△ABD是等腰三角形，直接寫出優美線AD的長．41．（2014·上海普陀區·）如圖，在正方形中，，點是邊上的任意一點，是延長線上一點，聯結，作交的平分線上一點，聯結交邊于點．（1）求證：；（2）設點到點的距離為，線段的長為，試求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當點是線段延長線上一動點，那么（2）式中與的函數關系式保持不變嗎？如改變，試直接寫出函數關系式．42．（2014·上海）已知：如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜邊AB的長為4，過點C作射線CP//AB，D為射線CP上一點，E在邊BC上（不與B、C重合），且∠DAE=45°，AC與DE交于點O．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）設CD=x，BAE=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）如果△COD與△BEA相似，求CD的值．43．(2023·上海崇明區·九年級二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當BP＝5時，CQ＝_____．44．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點E、F，求證：CD是DF和DA的比例中項．45．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖,DF為RtABC斜邊AB的中垂線,交BC及AC的延長線于點E、F,已知CD=6,DE=4,求DF的長．46．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，試找出圖中的一對相似三角形，并加以證明．47．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，一張長8cm，寬6cm的矩形紙片，將它沿某直線折疊使得A、C重合，求折痕EF的長．48．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點，F是BC的延長線上的一點，且CE=CF，BE的延長線交DF于點G，求證：△BGF∽△DCF．49．(2023·上海九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，BP⊥PQ．（1）求證：△ABP∽△DPQ；（2）寫出對應邊成比例的式子．50．(2023·上海市黃興學校九年級月考）如圖，AD⊥BC于點D，點E在邊AB上，CE與AD交于點G，EF⊥AD于點F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的長．專題03相似三角形的判定重難點專練第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海浦東新區·九年級期末）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點E在BC上，點F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點B與點D重合．如果，那么的值是（）A． B． C． D．2．(2023·上海徐匯區·）下列說法中，正確的是（）A．兩個矩形必相似 B．兩個含角的等腰三角形必相似C．兩個菱形必相似 D．兩個含角的直角三角形必相似3．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在正方形中，為中點，．聯結．那么下列結果錯誤的是()A．與相似B．與相似C．與相似D．與相似4．(2023·上海九年級專題練習）下列命題中的真命題是（）A．兩個直角三角形都相似B．若一個直角三角形的兩條邊和另一個直角三角形的兩條邊成比例，則這兩個直角三角形相似C．兩個等腰三角形都相似D．兩個等腰直角三角形都相似5．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，D為AB上一點，過點D作一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線可以作（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條6．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）將一張矩形紙片對折后裁下，得到兩張大小完全一樣的矩形紙片，已知它們都與原來的矩形相似，那么原來矩形長與寬的比為（）A．2:1 B．:1 C．3:1 D．:17．(2023·上海九年級專題練習）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，由下列條件判定△ABC∽△DEF的是（）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）已知△ABC和△ADC均為直角三角形，點B、D位于AC的兩側，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）．A． B． C． D．9．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．10．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列能判定△ABC和△DEF相似的是（）A．∠A=40°，∠B=∠E=58°，∠D=82° B．∠A=∠E，C．∠A=∠B，∠D=∠E D．AB=BC=DE=EF11．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，點P是△ABC邊AB上一點（AB>AC），下列條件不一定能使△ACP∽△ABC的是（）A． B．C．∠ACP=∠B D．∠APC=∠ACB12．(2023·上海民辦蘭生復旦中學九年級月考）下列各命題中，真命題的個數是（）①兩邊成比例的兩個直角三角形相似；②兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似；③兩邊及其中一邊上的高對應成比例的兩個三角形相似；④三條直線被兩條直線所截，截得的對應線段成比例，那么這三條直線平行；⑤如果一條直線截三角形兩邊的延長線，所得對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊；A．0個 B．1個 C．2個 D．3個13．(2023·上海九年級專題練習）下列命題中正確的是（）．A．所有等腰三角形都相似 B．兩邊成比例的兩個等腰三角形相似C．有一個角相等的兩個等腰三角形相似 D．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似14．(2023·上海九年級專題練習）如圖，點D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，下列條件中：①∠ADE＝∠C；②；③．使△ADE與△ACB一定相似的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③15．(2023·上海）如圖，四邊形是正方形，是邊的中點，是邊上的一動點，下列條件中，，△ABP不與△ECP相似的是（）A． B．C． D．16．(2023·上海嘉定區·）下列命題是真命題的是（）A．有一個角相等的兩個等腰三角形相似B．兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似C．四個內角都對應相等的兩個四邊形相似D．斜邊和一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似17．(2023·上海九年級專題練習）下列判斷中，不正確的有（）A．三邊對應成比例的兩個三角形相似B．兩邊對應成比例，且有一個角相等的兩個三角形相似C．斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似D．有一個角是100°的兩個等腰三角形相似18．(2023·上海第二工業大學附屬龔路中學九年級月考）如圖，在中，點、分別在邊、上，平分，，與一定相似的三角形為（）A． B． C． D．19．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，圖中相似三角形共有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對20．（2017·上海宋慶齡學校九年級月考）下列命題中，說法正確的個數是（）（1）兩個等邊三角形一定相似；（2）有一個角相等的兩個菱形一定相似；（3）兩個等腰三角形腰上的高和腰對應成比例，則這兩個三角形必相似；（4）兩邊及第三邊上的中線對應成比例的兩三角形相似.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第II卷（非選擇題）二、填空題21．(2023·上海九年級專題練習）已知在中，，點分別在邊上，將沿直線對折后，點正好落在對邊上，且折痕截所成的小三角形（即對折后的重疊部分）與相似，則折折痕__________22．(2023·上海）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三角形相似但不全等，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線，在四邊形ABCD中，對角線BD是它的相似對角線，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度23．（2017·上海）如圖，在直角三角形ACB中，，D為AC中點，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，點F在CB的延長線上，且，聯結DF，交AB于點H，如果，，那么___________.24．（2017·上海）如圖，在△ABC中，D、E分別為邊AB、AC的中點，CD與BE交于點F，BE⊥CD，如果，，那么___________.25．(2023·上海上外附中九年級月考）的邊長分別為的邊長分別，則與____________（選填“一定”“不一定”“一定不”）相似26．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是兩條中線，F為其交點，那么CF=____cm．

27．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．28．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）在△ABC中，D為AB上一點，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一點E，且△ADE與原三角形相似，則AE=________．29．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE=______．30．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，E是□ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，圖中______對相似三角形．

31．(2023·上海九年級專題練習）如圖，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD和_____的比例中項．32．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點E是DC上一點，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．33．(2023·上海市閔行區七寶第二中學九年級期中）在中，∠ACB=90°，AC>BC，O是邊AB的中點，過點O的直線將分割成兩個部分，若其中的一個部分與相似，則滿足條件的直線共有____________條34．(2023·上海第二工業大學附屬龔路中學九年級月考）中，，，點在上，且，若要在上找一個點，使與相似，則__．三、解答題35．(2023·上海九年級專題練習）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點放在點P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF(如圖1).(1)當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖2).①求證：△APB∽△DCP；②求PC、BC的長.(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中(圖1是該過程的某個時刻)，觀察、猜想并解答：①tan∠PEF的值是否發生變化？請說明理由.②設AE=x，當△PBF是等腰三角形時，請直接寫出x的值.36．(2023·上海普陀區·）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點放置BC中點E處，三角板繞點E旋轉，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F．（1）求證：△GBE∽△GEF．（2）設AG=x，GF=y，求Y關于X的函數表達式，并寫出自變量取值范圍．（3）如圖2，連接AC交GF于點Q，交EF于點P．當△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．37．(2023·上海浦東新區·）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；如圖1，在四邊形ABCD中，，對角線BD平分，求證：是比例三角形．如圖2，在的條件下，當時，求的值．38．(2023·上海黃浦區·中考模擬）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點C為射線DP上一點，BE平分∠ABC交線段AD于點E（不與端點A、D重合）．（1）當∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時，求四邊形ABCD的面積；（2）當△ABE與△BCE相似時，求線段CD的長；（3）設CD=x，DE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域．39．(2023·上海中考模擬）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，聯結DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，聯結EF．（1）如圖1，當DE⊥AC時，求EF的長；（2）如圖2，當點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯結CD交EF于點Q，當△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長．40．（2017·上海第二工業大學附屬龔路中學九年級期中）從三角形一個頂點引出一條射線于對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的優美線．（1）如圖，在△ABC中，AD為角平分線，∠B=50°，∠C=30°，求證：AD為△ABC的優美線；（2）在△ABC中，∠B=46°，AD是△ABC的優美線，且△ABD是以AB為腰的等腰三角形，求∠BAC的度數；（3）在△ABC中，AB=4，AC=2，AD是△ABC的優美線，且△ABD是等腰三角形，直接寫出優美線AD的長．41．（2014·上海普陀區·）如圖，在正方形中，，點是邊上的任意一點，是延長線上一點，聯結，作交的平分線上一點，聯結交邊于點．（1）求證：；（2）設點到點的距離為，線段的長為，試求關于的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當點是線段延長線上一動點，那么（2）式中與的函數關系式保持不變嗎？如改變，試直接寫出函數關系式．42．（2014·上海）已知：如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，斜邊AB的長為4，過點C作射線CP//AB，D為射線CP上一點，E在邊BC上（不與B、C重合），且∠DAE=45°，AC與DE交于點O．（1）求證：△ADE∽△ACB；（2）設CD=x，BAE=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）如果△COD與△BEA相似，求CD的值．43．(2023·上海崇明區·九年級二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當BP＝5時，CQ＝_____．44．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°．過C作對角線BD的垂線交BD、AD于點E、F，求證：CD是DF和DA的比例中項．45．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖,DF為RtABC斜邊AB的中垂線,交BC及AC的延長線于點E、F,已知CD=6,DE=4,求DF的長．46．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，試找出圖中的一對相似三角形，并加以證明．47．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，一張長8cm，寬6cm的矩形紙片，將它沿某直線折疊使得A、C重合，求折痕EF的長．48．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，E是CD上的一點，F是BC的延長線上的一點，且CE=CF，BE的延長線交DF于點G，求證：△BGF∽△DCF．49．(2023·上海九年級專題練習）如圖，矩形ABCD中，BP⊥PQ．（1）求證：△ABP∽△DPQ；（2）寫出對應邊成比例的式子．50．(2023·上海市黃興學校九年級月考）如圖，AD⊥BC于點D，點E在邊AB上，CE與AD交于點G，EF⊥AD于點F，AE＝5cm，BE＝10cm，BD＝9cm，CD＝5cm，求AF、FG、GD的長．參考答案1．B解析：∵EF是點B、D的對稱軸，∴△BFE≌△DFE，∴DE=BE．∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC．在等腰梯形ABCD中，∵=，∴設AD=1，BC=4，過A作AG⊥BC于G，∴四邊形AGED是矩形，∴GE=AD=1，∵Rt△ABG≌Rt△DCE，∴BG=EC=1.5，∴AG=DE=BE=2.5，∴AB=CD==，∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°，∴∠FDE+∠CDE=90°，∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，∴∠BDC=∠DFE，∵∠DEF=∠DBC=45°，∴△BDC∽△DEF，∴，∴DF=，∴BF=，∴AF=AB﹣BF=，∴=．故選B．2．D分析：根據相似多邊形、相似三角形的判定逐項判斷即可得．【詳解】A、兩個矩形的對應角相等，但對應邊不一定成比例，則不一定相似，此項錯誤；B、如果一個等腰三角形的頂角是，另一等腰三角形的底角是，則不相似，此項錯誤；C、兩個菱形的對應邊成比例，但四個內角不一定對應相等，則不一定相似，此項錯誤；D、兩個含角的直角三角形必相似，此項正確；故選：D．【點睛】本題考查了相似多邊形、相似三角形的判定，熟練掌握相似圖形的判定方法是解題關鍵．3．C分析：根據正方形的性質及勾股定理逆定理可以判斷△AEF是直角三角形，再根據三角形相似的判定可以選出結果錯誤的選項．【詳解】解：設正方形邊長為1，則由已知可得：，∴，∴△AEF是直角三角形，∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，∠B=∠C=∠AEF=∠D，，∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF兩兩相似，但是△ABE與△ADF不相似，∴A、B、D正確，C錯誤，故選C．【點睛】本題考查正方形與三角形相似的綜合應用，靈活運用正方形的性質和三角形相似的判定是解題關鍵．4．D分析：根據相似三角形的判定逐項判斷即可得．【詳解】A、如一個直角三角形的三個內角分別為，另一個直角三角形的三個內角分別為，這兩個直角三角形不相似，則此項是假命題；B、如一個直角三角形的三邊長分別為，另一個直角三角形的三個內角分別為，這兩個直角三角形不相似，則此項是假命題；C、如一個等腰三角形的三個內角分別為，另一個等腰三角形的三個內角分別為，這兩個等腰三角形不相似，則此項是假命題；D、等腰直角三角形的三個內角都是，滿足三角形相似的判定定理，則此項是真命題；故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．5．C分析：根據相似三角形的判定方法分析，即可做出判斷．【詳解】滿足條件的直線有4條，如圖所示：如圖1，過D作DE∥AC，則有△BDE∽△BAC；如圖2，過D作DE∥BC，則有△ADE∽△ABC；如圖3，過D作∠AED=∠B，又∠A=∠A，則有△ADE∽△ACB；如圖4，過D作∠BED=∠A，又∠B=∠B，則有△BED∽△BAC，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解答的關鍵是對相似三角形的判定方法的理解與靈活運用．6．B分析：先設出原矩形的長和寬，可根據對折表示出對折后的矩形的長和寬，再根據相似矩形對應邊成比例列出比例式，然后求解．【詳解】解：設原矩形長2a，寬b，則對折后的矩形的長為b，寬為a，∵對折后的矩形與原矩形相似，∴，∴，∴，∴．故選B．【點睛】此題主要考查了相似多邊形的性質，關鍵是掌握相似多邊形對應邊成比例．7．B分析：根據相似三角形的判定方法對各個選項進行分析即可．【詳解】解：如圖示，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，①，，故①是不正確的；，，，，，，，故③是正確的；，，，，，，；故④是正確的；∵，，，，∴，有一組角相等兩邊對應成比例，但該組角不是這兩邊的夾角，故不相似；故②是錯誤的；綜上所述③④是正確的，正確的有2個，故選：B．【點睛】此題主要要求學生熟練掌握相似三角形的判定定理：兩角對應相等，兩組邊對應成比例且夾角相等，三邊對應成比例．8．B分析：由△ADC和△ABC相似，可得到，從而完成求解．【詳解】∵△ADC和△ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°∴∴∴故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形和相似三角形的知識，求解的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質，從而完成求解．9．D分析：由題意可得一組對角相等，根據相似三角形的判定：（1）兩角對應相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似添加條件即可．【詳解】解：有兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故選項A不符合題意；兩角對應相等，兩三角形相似，故選項B不符合題意；由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC與△ADE相似，所以選項C不符合題意；而D不是夾角相等，故選項D符合題意；故選：D【點睛】相似三角形的判定：（1）兩角對應相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應成比例，兩三角形相似；（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．10．A分析：根據相似三角形的判定方法即可判斷．【詳解】A、由∠A=40°，∠B=58°知，∠C=∠D=82o，又∠B=∠E，可判定△ABC∽△FED，符合題意；B、由知，要使△ABC和△DEF相似，只需∠B=∠F,故此選項不能判定△ABC和△DEF相似；C、因為∠A=∠B，∠D=∠E是分別在同一三角形中相等的角，故此選項不能判定△ABC和△DEF相似；D、由AB=BC=DE=EF得，但還差一對角相等或AC=DF，故此選項不能判定△ABC和△DEF相似，故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關鍵．11．B分析：A．利用對應邊成比例,且夾角相等來判斷即可;B．對應邊成比例,但夾角不相等,不能證ACP與ABC全等;C．利用兩角對應相等,兩三角形全等,進行判定即可;D．利用兩角對應相等,兩三角形全等,進行判定即可．【詳解】解：A．∵,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．B．對應邊成比例,但夾角不相等,不能證ACP與ABC全等．C．∵∠ACP=∠B,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．D．∵∠APC=∠ACB,∠A=∠A．∴ACP∽ABC．故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定:兩組對應邊成比例且夾角對應相等的兩個三角形相似;有兩組角對應相等的兩個三角形相似．注意:兩邊對應成比例必須夾角相等．12．A分析：根據相似三角形的判定和平行線分線段成比例定理判斷選項的正確性．【詳解】①這兩條邊必須是對應的直角邊，錯誤；②這個角必須是兩邊的夾角，錯誤；③假如一個是銳角三角形，一個鈍角三角形，錯誤；④如果截得兩條直線是平行關系也成比例，錯誤；⑤兩邊的延長線應該在第三邊的同側，錯誤；一個都不對．故選：A．【點睛】本題考查相似三角形的判定和平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握這兩個性質定理．13．D分析：根據相似三角形進行判斷即可．【詳解】解：A、所有等腰三角形不一定都相似，原命題是假命題；

B、兩邊成比例的兩個等腰三角形不一定相似，原命題是假命題；

C、有一個角相等的兩個等腰三角形不一定相似，原命題是假命題；

D、有一個角是100°的兩個等腰三角形相似，是真命題；

故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．14．C分析：由兩角相等的兩個三角形相似得出①正確，由兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似得出③正確；即可得出結果．【詳解】∵∠DAE＝∠BAC，∴當ADE＝∠C時，△ADE∽△ACB，故①符合題意，當時，∵∠B不一定等于∠AED，∴△ADE與△ACB不一定相似，故②不符合題意，當時，△ADE∽△ACB．故③符合題意，綜上所述：使△ADE與△ACB一定相似的是①③，故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定，兩角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵15．A分析：由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由E是CD的中點，易得CE:AB=1:2，然后分別利用相似三角形的判定定理，判定△ABP與△ECP相似．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=CD=BC，

∵E是CD的中點，

∴CE:CD=1:2，

即CE:AB=1:2，

A、∵BP=PC，

∴BP=PC=BC，

沒辦法判定△ABP與△ECP中各邊成比例，故A錯誤；

B、∵∠APE=90°，

∴∠APB+∠CPE=90°，

∵∠BAP+∠APB=90°，

∴∠BAP=∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，故B正確；

C、∵∠APB=∠EPC，

∴△ABP∽△EPC，故C正確；

D、∵BP=2PC，

∴PC:BP=1:2，

∴PC:BP=CE:AB=1:2，

∴△ABP∽△PCE，故D正確．

故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定以及正方形的性質．注意靈活應用判定定理是解題的關鍵．16．D分析：根據相等的角可能為頂角或底角可對A進行判斷；根據相似三角形的判定方法對B、D進行判斷；利用矩形和正方形不相似可對C進行判斷．【詳解】解：A、有一個頂角（或底角）對應相等的兩個等腰三角形相似，所以A選項錯誤；B、兩邊對應成比例且它們的夾角相等的兩個三角形相似，所以B選項錯誤；C、四個內角都對應相等的兩個四邊形不一定相似(四邊也必須對應成比例)，所以C選項錯誤；D、斜邊和一條直角邊對應成比例,根據勾股定理另一條直角邊也和斜邊成比例,這樣的兩個直角三角形相似，所以D選項正確．故選：D．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定,掌握相似三角形的各個判定方法是解決此題的關鍵.17．B分析：由相似三角形的判定依次判斷可求解．【詳解】解：A、三邊對應成比例的兩個三角形相似，故A選項不合題意；B、兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，故B選項符合題意；C、斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似，故C選項不合題意；D、有一個角是100°的兩個等腰三角形，則他們的底角都是40°，所以有一個角是100°的兩個等腰三角形相似，故D選項不合題意；故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練運用相似三角形的判定是本題的關鍵．18．B分析：由題意可得，根據三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和，可求，即可證．【詳解】平分，，又，且故選．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練運用相似三角形的判定解決問題是本題的關鍵．19．D解析：試題分析：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∵∠ACD=∠ABC，∴△EDC∽△DCB，同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，∴△ADE∽△ACD，∴共4對，故選D．考點：1．相似三角形的判定；2．平行線的判定．20．D分析：利用相似圖形的判定和性質，分別判斷即可.【詳解】解：（1）等邊三角形的內角都是60°，各邊相等，得到對應邊的比相等．所以一定相似，正確；（2）有一個角相等的兩個菱形，其余的角也必對應相等，菱形各邊相等，所以對應邊的比相等，所以一定相似，正確；（3）根據斜邊和一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似，可得這兩個等腰三角形的頂角相等，然后由腰對應成比例可得這兩個三角形必相似，正確；（4）理由：如圖，AD、A′D′分別是△ABC與△A′B′C′的中線，，延長AD到M，使DM＝AD，連結MC．在△ABD與△MCD中，AD＝MD，∠ADB＝∠MDC，BD＝CD，∴△ABD≌△MCD（SAS），∴AB＝MC，同理延長A′D′到M′，使D′M′＝A′D′，連結M′C′，那么A′B′＝M′C′，∴，在△ACM與△A′C′M′中，，∴△ACM∽△A′C′M′，∴∠MAC＝∠M′A′C′，同理可得∠MAB＝∠M′A′B′，∴∠MAC＋∠MAB＝∠M′A′C′＋∠M′A′B′，即∠BAC＝∠B′A′C′．在△ABC與△A′B′C′中，，∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴兩邊及第三邊上的中線對應成比例的兩三角形相似，正確.故選：D.【點睛】本題考查了相似多邊形的定義及相似三角形的判定，判定兩個三角形相似的方法有：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．21．或．分析：先畫草圖借草圖分析．如圖重疊的小三角形為，由對折知，所以要使△ABC和相似，只需，此時和C重合，N為AC中點，由三角形中位線定理易得MN的值；或只需，此時與B點重合，M=BM=AM=，再由相似的知識算得MN的值．【詳解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°據勾股定理得AB=5．下面分情況討論：第一種情況如圖1當∠MNC=90°時，折疊后A點落在C點．∵∠BCA=90°∴∠MNC=∠BCA又由對折知：∠MCN=∠A∴△MCN∽△ABC由對折知N為AC的中點，據三角形中位線定理得（㎝）；第二種情況如圖2當∠NMB=90°時，折疊后A點落在B點．∵∠C=90°∴∠C=∠NMB又由對折知∠A=∠NBM∴△ABC∽△BNM∴又由對折知∴（㎝）．綜上分析得MN=㎝或㎝．故答案為：或．【點睛】本題是折疊類問題，考查相似三角形的判定，兼考查分類討論的數學方法．關鍵之處在于緊抓折疊的圖形成軸對稱及全等解決之．22．145分析：先畫出示意圖，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一組對應角相等，若∠A=∠C，則△ABD與△DBC全等不符合題意，所以必定有∠A=∠BDC,再根據四邊形的內角和為360°列式求解.【詳解】解：根據題意畫出示意圖，已知∠ABD=∠CBD，△ABD與△DBC相似，但不全等，∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【點睛】對于新定義問題，讀懂題意是關鍵.23．解析：解：過B作BG∥CA交DF于G．∵AC=2，D為AC的中點，∴AD=DC=1，∵BF：AD=3：1，∴BF=3．∵BG∥CA，∴BG：CD=BF：CF=3：4，∴BG=．∵AC=2，BC=1，∴AB==.∵BG∥CA，∴BG：AD=BH：AH，∴=，∴=，∴AH=.在Rt△ADE和Rt△ABC中，∵∠A=∠A，∠AED=∠C=90°，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB，∴AE：2=1：，∴AE=，∴EH=AH-AE==.故答案為：．點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質的綜合運用，關鍵是通過做輔助線BG∥CA而把所有相關線段聯系起來．24．解析：解：連接ED．∵D、E分別為邊AB、AC的中點，∴ED∥BC，2ED=BC，∵ED∥BC，∴BF=2EF，CF=2FD．在Rt△BCF中，∵∠CBF=30°，BC=4，∴CE=2，BF=，∴EF=．在Rt△EFC中，EC===，∴AC=2EC=.點睛：本題考查了三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質，通過連接DE，由三角形中位線定理得出ED和CB的關系，進而得出EF的長．25．不一定分析：先求出兩個三角形三邊的比，再根據三邊對應成比例判斷兩個三角形相似即可．【詳解】解：∵的邊長分別為的邊長分別，∴兩個三角形對應邊的比分別為：，當a=b=c時，，這兩個三角形相似，當a≠b≠c時，，這兩個三角形不相似，∴與不一定相似，故答案為：不一定．【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關鍵．26．4分析：延長CF交AB于點H，連接DH．利用直角三角形斜邊中線的性質求出CH，再根據三角形中位線定理推出DH∥AC，AC=2DH，可得，推出FG=2FH，由此即可解決問題；【詳解】解：延長CF交AB于點H，連接DH．∵AF，BE是△ABC的中線，

∴CH是△ABC的中線，

∵∠ACB=90°，

∴CH=AB=6cm，

∵BD=CD，BH=AH，

∴DH∥AC，AC=2DH，

∴，

∴CF=2FH，

∴CF=CH=4cm．故答案為：4【點睛】本題考查三角形的重心，直角三角形斜邊中線的性質，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識可解決問題，屬于中考常考題型．27．分析：根據平行線的性質得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有兩個角對應相等的兩個三角形相似”證得△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質即可得出結論．【詳解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答的關鍵．28．或分析：根據△ADE與原三角形相似，得到∠A=∠A，故分類討論，根據相似性質即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，當△ADE∽△ABC時，，即：，∴；（2）如圖2，當△ADE∽△ACB時，，即：，∴．

故答案為：或【點睛】本題考查了相似三角形的性質，題目中沒有說明兩個三角形相似的對應點，故分類討論是解題關鍵．29．4分析：通過證明△AED∽△ABC，可得，即可求解．【詳解】∵AD=3，AE=2，AB=6，AC=9，∴，又∠A=∠A∴△ADE∽△ACB∴∴DE=故答案為：4【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．30．3分析：由□ABCD可得，，再由平行線性質推導而證明△AFE∽△CFD∽△BCE，從而完成求解．【詳解】∵□ABCD∴，∴，∵∴∵，∴△CFD∽△BCE∴△AFE∽△CFD∽△BCE故答案為：3．【點睛】本題考查了平行四邊形和相似三角形的知識；求解的關鍵是熟練掌握平行四邊形和相似三角形的性質，從而得到答案．31．AB．分析：利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD，進而利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】∵∠C＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB=∠ADC，又∠A=∠A∴△ABC∽△ACD，∴，即AC2＝AD?AB，∴AC是AD和AB的比例中項，故答案為：AB．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，關鍵是利用相似三角形的判定得出△ABC∽△ACD．32．【詳解】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=，∴EC=DC﹣DE=．點睛：本題考查的是相似三角形的判定和性質，相似三角形的對應邊成比例．33．3分析：由于三角形ABC是直角三角形，所以必須保證直線l與三角形的任意一邊能夠形成直角三角形，進而再判定其是否相似．【詳解】∵三角形ABC是直角三角形.∴只有創造出一個直角時，才有可能滿足題中相似的條件；①當l∥BC時，可得三角形相似；②當l∥AC時，亦可得三角形相似；③當l⊥AB時，三角形也相似，故滿足題中的直線L共有3條.【點睛】本題考查相似三角形的判定，對于沒有圖的題可根據題意畫出圖形，通過圖形得出小三角形與△ABC有一個角是公用角（也就是相等的）是解決此題的關鍵.34．5或分析：分兩種情況討論，由是公共角，當，即時，，當，即時，，可求的值．【詳解】是公共角，當，即時，解得：當，即時，解得：故答案為：5或【點睛】此題考查了相似三角形的判定．注意分類討論思想的應用．35．(1)①證明見解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不變；②x=或x=或x=.分析：（1）①由勾股定理求BP，利用互余關系證明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP,再根據BC=AD=AP+DP即可求得BC的長；（2）①tan∠PEF的值不變．理由為：過F作FG⊥AD，垂足為點G.則四邊形ABFG是矩形，同（1）的方法證明△APE∽△GFP，得相似比，再利用銳角三角函數的定義求值；②利用相似比求GP，再矩形性質求出BF，△PBF是等腰三角形，分三種情況討論：(Ⅰ)當PB=PF時，根據BF=2AP求值；當BF=BP時，(Ⅱ)根據BP=求值；(Ⅲ)當BF=PF時，根據PF=即可求出x值.【詳解】解：(1)①如圖3.2，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，∴在Rt△ABC中，∠1+∠2=90°，BP=.又∵∠BPC=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3.∴△APB∽△DCP.②由△APB∽△DCP.∴，即.∴PC=2，DP=4.∴BC=AD=AP+DP=5.(2)①tan∠PEF的值不變.理由如下：如圖3.1，過F作FG⊥AD，垂足為點G.則四邊形ABFG是矩形.∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3.∴△APE∽△GFP，∴.∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.∴tan∠PEF的值不變.②由△APE∽△GFP.∴.∴GP=2AE=2x，∵四邊形ABFG是矩形.∴BF=AG=AP+GP=2x+1.△PBF是等腰三角形，分三種情況討論：(Ⅰ)當PB=PF時，點P在BF的垂直平分線上.∴BF=2AP.即2x+1=2，∴x=.(Ⅱ)當BF=BP時，BP=BP=∴2x+1=.∴x=.(Ⅲ)當BF=PF時，∵PF=，∴(2x)2+22=(2x+1)2，∴x=.【點睛】本題是綜合題：熟練掌握線段垂直平分線的判定、矩形的性質和相似三角形的判定方法和性質；靈活運用相似三角形的性質表示線段之間的關系和計算線段的長；合理作平行線構建相似三角形是解決問題的關鍵．36．（1）見解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）當△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．解析：分析：（1）先判斷出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，進而得出∠BGE=∠EGF，即可得出結論；

（2）先判斷出△BEG∽△CFE進而得出CF=，即可得出結論；

（3）分兩種情況，①△AGQ∽△CEP時，判斷出∠BGE=60°，即可求出BG；

②△AGQ∽△CPE時，判斷出EG∥AC，進而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出結論．【詳解】（1）如圖1，延長FE交AB的延長線于F'，∵點E是BC的中點，∴BE=CE=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=，由（1）知，BF'=CF=，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+當CF=4時，即：=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y關于x的函數表達式為y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ與△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=，∴AG=AB﹣BG=4﹣，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：當△AGQ與△CEP相似，線段AG的長為2或4﹣．【點睛】本題考核知識點：相似三角形綜合.解題關鍵點：熟記相似三角形的判定和性質.37．當或或時，是比例三角形；證明見解析；．【詳解】分析：根據比例三角形的定義分、、三種情況分別代入計算可得；先證∽得，再由知即可得；作，由知，再證∽得，即，結合知，據此可得答案．【詳解】是比例三角形，且、，當時，得：，解得：；當時，得：，解得：；當時，得：，解得：負值舍去；所以當或或時，是比例三角形；，，又，∽，，即，，，平分，，，，，是比例三角形；如圖，過點A作于點H，，，，，，，又，∽，，即，，又，，．【點睛】本題考查了相似三角形的綜合問題，理解比例三角形的定義，熟練掌握和運用相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．38．（1）16（2）當△ABE∽△EBC時，線段CD的長為2或（3）（0＜x＜4.1）解析：試題分析:(1)過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,則四邊形ABCD的面積=,(2)由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當△ABE∽△EBC時,∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,(3)延長BE交CD延長線于M,因為AB∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,由勾股定理可得:,則DM=CM-CD=,又因為DM∥AB,可得,即,即可得到:.試題解析:（1）過C作CH⊥AB與H,由∠A=90°,DP∥AB,得四邊形ADCH為矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,則四邊形ABCD的面積=,（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,當△ABE∽△EBC時,∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,于是在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延長CE交BA延長線于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,則在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,綜上,當△ABE∽△EBC時,線段CD的長為2或.（3）延長BE交CD延長線于M,由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,,則DM=CM-CD=,又DM∥AB,得,即,解得.39．（1）；（2）不變；（3）或3或.解析：試題分析：（1）由已知條件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；（2）過點作，，垂足分別為點、，由（1）可得DH=3，DG=4；再證，即可得出結論；（3）分三種情況討論即可.（1）∵，∴∵∴∵是邊的中點∴∵∴∴∴∴∵在中，∴∵∴又∵∴四邊形是矩形∴∵在中，∴（2）不變過點作，，垂足分別為點、由（1）可得，∵，∴又∵，∴四邊形是矩形∴∵∴即又∵∴∴∵∴（3）1°當時，易證，即又∵，D是AB的中點∴∴2°當時，易證∵在中，∴設，則，當時，易證，∴∵∴∴∴∵∴∴解得∴∴3°在BC邊上截取BK=BD=5，由勾股定理得出當時，易證∴設，則，∴∵∴∴∴∵∴∴解得∴∴40．（1）證明見解析；（2）113°.（3）優美線AD的長為4-4解析：試題分析:(1)根據三角形的優美線的定義,只要證明△ABD是等腰三角形,△CAD∽△CBA即可解決問題,(2)如圖2中,分兩種情形討論求解①若AB=AD,△CAD∽△CBA,則∠B=∠ADB=∠CAD,則AC∥BC,這與△ABC這個條件矛盾,②若AB=BD,△CAD∽△CBA,(3)如圖3中,分三種情形討論①若AD=BD,△CAD∽△CBA,則設BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可,②若AB=AD=4,由,設BD=AD=x,CD=y,可得,解方程即可,③若AB=AD,顯然不可能.(1)證明：∵∠B=50°，∠C=30°，∴∠BAC=100°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=50°，∴∠B=∠BAD=50°，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形，∵∠C=∠C，∠DAC=∠B=50°，∴△CAD∽△CBA，∴線段AD是△ABC的優美線．（2）若AB=AD，舍去，（理由若△CAD∽△CBA，則∠B=∠ADB=∠CAD，則AC∥BC，）若AB=BD，∠B=46°，∴∠BAD=∠BDA=67°，∵△CAD∽△CBA，∴∠CAD=∠B=46°，∴∠BAC=67°+46°=113°．（3）或.41．（1）證明見解析；（2）；（3）改變，.解析：試題分析：（1）欲證利用原圖無法證明，需構建三角形且使之全等，因此在邊上截取線段，使，連接，證明與全等即可．（2）由∽列式化簡即可得.（3）在延長線上取點，令，∴是等腰