專題02銳角三角函數之余弦重難點專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海九年級一模）在中，，那么等于（）A． B． C． D．2．(2023·上海九年級專題練習）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內切圓半徑的倍，那么這個正多邊形的邊數是（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定3．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，則cosB==（）A． B． C． D．4．(2023·上海炫學培訓學校有限公司九年級期中）在△ABC中，∠C=90o，AC=3，AB=4，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．5．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如果把∠C為直角的各邊的長都擴大到原來的2倍，那么銳角A的各三角比的值（）A．都擴大到原來的2倍 B．都縮小到原來的一半C．都沒有變化 D．有些有變化第II卷（非選擇題）二、解答題6．(2023·上海浦東新區·九年級其他模擬）已知：如圖所示，P是∠MAN的邊AN上的一個動點，B是邊AM上的一個定點，以PA為半徑作圓P，交射線AN于點C，過B作直線使∥AN交圓與D、E兩點（點D、點E分別在點B的左側和右側），聯結CE并延長，交射線AM于點F．聯結FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求證：BG＝EG；（2）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）當△BEF是以BF為腰的等腰三角形時，求經過B、E兩點且半徑為的圓O與圓P的圓心距．7．(2023·上海九年級專題練習）如圖，中，，，，點為斜邊的中點，，交邊于點，點為射線上的動點，點為邊上的動點，且運動過程中始終保持．（1）求證：；（2）設，，求關于的函數解析式，并寫出該函數的定義域；（3）連接，交線段于點，當為等腰三角形時，求線段的長．8．(2023·上海炫學培訓學校有限公司九年級期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，點P由點D出發沿著DB方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度；同時，點M由點B出發沿著BA方向勻速運動，速度也是為每秒1個單位長度，且MN∥BC，交DB于點Q，交DC于點N，運動時間為x秒（0<x<2.5）（1）求證：△BMQ∽△DCB；（2）設△PMQ的面積為y，求y與x的函數關系式；（3）聯結PN在上述運動過程中，五邊形PNCBM的面積是否發生變化？①請直接寫出結論（改變或不改變）②如果“不變”，那么五邊形PNCBM的面積是多少？（直接寫出結果，不需要證明）9．(2023·上海浦東新區·九年級月考）已知，，，（如圖），點，分別為射線上的動點（點C、E都不與點B重合），連接AC、AE使得，射線交射線于點，設，.（1）如圖1，當時，求AF的長.（2）當點在點的右側時，求關于的函數關系式，并寫出函數的定義域.（3）連接交于點，若是等腰三角形，直接寫出的值.10．(2023·上海九年級專題練習）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動點P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延長線與射線OQ相交于點E、與弦CD相交于點F(點F與點C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝.設OP＝x，△CPF的面積為y.(1)求證：AP＝OQ；(2)求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)當△OPE是直角三角形時，求線段OP的長．11．(2023·上海靜安區·九年級二模）如圖，平行四邊形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．對角線AC、BD交于點O．動點P在邊AB上，⊙P經過點B，交線段PA于點E．設BP=x．（1）求AC的長；（2）設⊙O的半徑為y，當⊙P與⊙O外切時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；（3）如果AC是⊙O的直徑，⊙O經過點E，求⊙O與⊙P的圓心距OP的長．12．(2023·上海九年級專題練習）已知在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（2，2），對稱軸是直線x=1，頂點為B．（1）求這條拋物線的表達式和點B的坐標；（2）點M在對稱軸上，且位于頂點上方，設它的縱坐標為m，聯結AM，用含m的代數式表示∠AMB的余切值；（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點C在x軸上．原拋物線上一點P平移后的對應點為點Q，如果OP=OQ，求點Q的坐標．13．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在中，上的一點在邊的垂直平分線上，．（1）求證：；（2）如果，，求的值．14．(2023·上海九年級專題練習）如圖，點A、B在第一象限的反比例函數圖像上，AB的延長線與y軸交于點C，已知點A、B的橫坐標分別為6、2，AB=．（1）求∠ACO的余弦值；（2）求這個反比例函數的解析式．15．(2023·上海九年級專題練習）拋物線經過點兩點．（1）求拋物線項點D的坐標．（2）拋物線與軸的另一交點為，求的值．16．(2023·上海市民辦新北郊初級中學九年級期中）如圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖2是小明鍛煉時上半身由位置運動到與底面CD垂直的位置時的示意圖，已知米，米，(參考數據：)（1）求的長（2）若米，求兩點的距離（精確0.01)17．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延長線上的一點，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．三、填空題18．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在，，，，是的中點，點在邊上，將沿直線翻折，使得點落在同一平面內的點處，線段交邊于點，聯結，當是直角三角形時，的長為_______．19．(2023·上海金山區·九年級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC繞著點B順時針旋轉，當點A與邊BC上的點A′重合時，那么∠AA′B的余弦值等于_____．20．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在△中，，，垂足為，若，，那么的值為______．21．(2023·上海楊浦區·九年級一模）如圖，已知在中，，點G是的重心，，，那么______．22．(2023·上海寶山區·九年級一模）已知等腰梯形上底為5，高為4，底角的余弦值為，那么其周長為______．23．(2023·上海閔行區·九年級一模）在直角坐標平面內有一點，點A與原點O的連線與x軸的正半軸的夾角為，那么_________．24．(2023·上海九年級專題練習）如圖，正六邊形的邊長為2，則的周長為__．25．(2023·上海市川沙中學南校九年級期中）已知中，則邊的長度為____________．專題02銳角三角函數之余弦重難點專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海九年級一模）在中，，那么等于（）A． B． C． D．答案:B分析：作出草圖，根據銳角的正弦=列式即可．【詳解】解：如圖，∵∠C=90°，

∴cosA=．

故選：B．

．【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，能熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．2．(2023·上海九年級專題練習）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內切圓半徑的倍，那么這個正多邊形的邊數是（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定答案:B分析：如圖，畫出簡圖，根據切線的性質可得∠OCA=90°，根據∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多邊形的中心角為90°，即可求出多邊形的邊數．【詳解】如圖，OA、OC分別為此多邊形的外接圓和內切圓的半徑，AB為邊長，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圓半徑是其內切圓半徑的倍，∴cos∠AOC==，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多邊形的中心角為90°，∴此多邊形的邊數=360°÷90°=4，故選：B．【點睛】本題考查正多邊形和圓及三角函數的定義，熟練掌握余弦的定義并熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．3．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，則cosB==（）A． B． C． D．答案:C分析：直接利用勾股定理得出BC的長，再利用銳角三角函數關系得出答案．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數的定義，正確掌握邊角關系是解題關鍵．4．(2023·上海炫學培訓學校有限公司九年級期中）在△ABC中，∠C=90o，AC=3，AB=4，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．答案:B分析：按照銳角三角函數的定義求各函數值即可．【詳解】解：如圖，由勾股定理可得BC=選項A，，故錯誤；選項B，，故正確；選項C，，故錯誤；選項D，，故錯誤；故應選：B【點睛】本題考查了銳角三角函數定義，解答關鍵是按照相關銳角三角函數定義解題．5．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如果把∠C為直角的各邊的長都擴大到原來的2倍，那么銳角A的各三角比的值（）A．都擴大到原來的2倍 B．都縮小到原來的一半C．都沒有變化 D．有些有變化答案:C分析：根據正弦、余弦、正切的定義即可得．【詳解】在中，，，，則當各邊的長都擴大到原來的2倍，銳角A的各三角比的值都沒有變化，故選：C．【點睛】本題考查了正弦、余弦、正切的定義，熟記定義是解題關鍵．第II卷（非選擇題）二、解答題6．(2023·上海浦東新區·九年級其他模擬）已知：如圖所示，P是∠MAN的邊AN上的一個動點，B是邊AM上的一個定點，以PA為半徑作圓P，交射線AN于點C，過B作直線使∥AN交圓與D、E兩點（點D、點E分別在點B的左側和右側），聯結CE并延長，交射線AM于點F．聯結FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求證：BG＝EG；（2）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；（3）當△BEF是以BF為腰的等腰三角形時，求經過B、E兩點且半徑為的圓O與圓P的圓心距．答案:（1）見解析；（2）y＝x﹣3+，定義域是x＞；（3）圓O與圓P的圓心距為或．分析：（1）證明△FBG∽△FAP，得出比例線段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，則可得出結論；（2）過點P作PK⊥DE于K，過點A作AQ⊥DE于點Q，連接PE，由銳角三角函數的定義及勾股定理可求出答案；（3）由等腰三角形的性質得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分兩種情況畫出圖形，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）證明：∵BGAP，∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，∴△FBG∽△FAP，∴，∵GEPC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，△FEG∽△FCP，∴，∴，∵AP＝PC，∴BG＝EG；（2）解：過點P作PK⊥DE于K，過點A作AQ⊥DE于點Q，∴∠AQK=∠QKP=90°，∵DEAP，∴AQ⊥AP，∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，∴四邊形APKG為矩形，∴PK＝AQ，AP＝QK，∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，∴BQ＝AB?cos∠ABQ＝×5＝3，∴AQ＝，∴PK＝4，∵AP＝x∴PE=AP=x，∴KE＝，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，∴BE＝BK+EG＝，∴y＝，當圓P過點B時，點D與點B重合，過B作BH⊥AP于H，∵AQ⊥AP，QBAH，∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，∴四邊形QAHB為矩形，∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，在Rt△BHP中，由勾股定理即解得,∴AP＝，∴定義域是x＞；（3）當△BEF是以BF為腰的等腰三角形時，連結OG，直線OG交AC于V，當BF=EF時，點D與點B重合，不成立，∴BF＝BE，∴∠BFE=∠FEB，∵BEAC，∴∠ACF=∠BEF，∴∠AFC=∠ACF，∴AF=AC，∴y+5＝2x，∵y＝，∴2x﹣5＝，整理得,兩邊平方得,整理得,∴x＝5，∴BE＝5，∴BG=EG＝，∵圓O的半徑為，在Rt△BOG中，BO=，根據勾股定理∴OG＝，∴EK=∴PV＝KG=3-GE=3-=，當圓心O在BE下方時，在Rt△PO2V中，由勾股定理∴O2P＝，當圓心O在BE上方時，∴OP＝．綜合以上可得OP的長為或．【點睛】本題考查三角形相似判定與性質，銳角三角函數，勾股定理，列函數解析式，定義域，等腰三角形判定與性質，解無理方程，掌握三角形相似判定與性質，銳角三角函數，勾股定理，列函數解析式，定義域，等腰三角形判定與性質，解無理方程，圓心距，利用輔助線準確構圖是解題關鍵．7．(2023·上海九年級專題練習）如圖，中，，，，點為斜邊的中點，，交邊于點，點為射線上的動點，點為邊上的動點，且運動過程中始終保持．（1）求證：；（2）設，，求關于的函數解析式，并寫出該函數的定義域；（3）連接，交線段于點，當為等腰三角形時，求線段的長．答案:（1）證明見解析；（2）；（3）或分析：（1）根據，得，，即可得．（2）先根據相似三角形的性質、中點性質以及銳角三角函數的概念得出，求出，再根據，列出函數關系式，化簡即可．（3）先證，再分3種情況討論，分別求出的長．【詳解】解：（1），∴，，∴．（2），∴又點為斜邊的中點，∴，又在中，又，由勾股定理得：BC=10D為AB中點，∴BD=5，DE=，由勾股定理得：BE=，可得，，．（3），∴，又∵，∴，∴為等腰三角形時，亦為等腰三角形．若，，，解得．若，，解得．③若，，此種情況舍去．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質和判定，三角函數，正確和熟練應用相似三角形的性質得到各線段之間的數量關系是解決本題的關鍵．8．(2023·上海炫學培訓學校有限公司九年級期中）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=3，BC=2，DB=DC=5，點P由點D出發沿著DB方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度；同時，點M由點B出發沿著BA方向勻速運動，速度也是為每秒1個單位長度，且MN∥BC，交DB于點Q，交DC于點N，運動時間為x秒（0<x<2.5）（1）求證：△BMQ∽△DCB；（2）設△PMQ的面積為y，求y與x的函數關系式；（3）聯結PN在上述運動過程中，五邊形PNCBM的面積是否發生變化？①請直接寫出結論（改變或不改變）②如果“不變”，那么五邊形PNCBM的面積是多少？（直接寫出結果，不需要證明）答案:（1）見詳解，（2）當0<x≤2.5時PQ=5-2x，S△MPQ=；（3）①不變，②．分析：（1）由MN∥BC，可得NQ∽△DCB，由AB∥DC，可得△BMQ∽△DNQ，∴DNQ∽△BMQ，（2）過點C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，設BE=a，則DE=5-a，由勾股定理a=，再求CE，由△DNQ∽△DCB，可得,∵DC=DB，∴BM=BQ=x,DP=x，0<x≤2.5時PQ=5-2x，利用面積公式求S△MPQ即可，（3）①不變，作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，則∠GBQ=∠FPQ=，用BC為底，BC邊上的高BG求面積S平行四邊形BCNM=2BQ?cos，以MN為底，PH為高求面積S△MNP=，把它求和S五邊形PNCBM=S平行四邊形BCNM+S△MNP證明定值即可，②過D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，由勾股定理DK=，由DK∥PH∥BG，可推出∠BDK=∠QPH=∠GBQ=，用三角函數定義求即可．【詳解】（1）∵MN∥BC，∠DNQ=∠C，∠NDQ=∠CDB，∴△DNQ∽△DCB，∵AB∥DC，∴∠MBQ=∠NDQ，∠NQB=∠NQD，∴△BMQ∽△DNQ，∴DNQ∽△BMQ；（2）過點C作CE⊥BD于E，MF⊥BD于F，設BE=a，則DE=5-a，由勾股定理DC2-DE2=BC2-BE2，即25-（5-a）2=4-a2，a=，CE=，由△DNQ∽△DCB，，∵DC=DB，∴BM=BQ=x，DP=x，2x=5，x=2.5,當0<x≤2.5時PQ=5-2x，S△MPQ=，（3）①不變，作BG⊥MN于G，PH⊥MN于H，則∠GBQ=∠FPQ=，BG=BQ?cos，，S平行四邊形BCNM=BC×BG=2BQ?cos，S△MNP=，S五邊形PNCBM=S平行四邊形BCNM+S△MNP=2BQ?cosα+=（2BQ+PQ）?cos，∵BQ=DP，∴2BQ+PQ=DP+PQ+QB=AB=5，S五邊形PNCBM=5cos，與x無關，故五邊形面積不變，②過D作DK⊥BC于K，由于BD=CD，BK=CK=1，在Rt△DBK中，由勾股定理DK=，∵DK∥PH∥BG，∴∠BDK=∠QPH=∠GBQ=，，S五邊形PNCBM=5cos=．故答案為：S五邊形PNCBM=．【點睛】本題考查知識較多，難度比較大，涉及的知識有等腰三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，三角函數，勾股定理等，是動點中的綜合運用題型，掌握所學知識，并能靈活運用．9．(2023·上海浦東新區·九年級月考）已知，，，（如圖），點，分別為射線上的動點（點C、E都不與點B重合），連接AC、AE使得，射線交射線于點，設，.（1）如圖1，當時，求AF的長.（2）當點在點的右側時，求關于的函數關系式，并寫出函數的定義域.（3）連接交于點，若是等腰三角形，直接寫出的值.答案:（1）；（2）；（3）或或.分析：過點作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的長，利用勾股定理即可求出AN的長，根據線段的和差關系可得CN的長，利用勾股定理可求出AC的長，根據AD//BC，AD=BC即可證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得∠B=∠D，進而可證明△ABC∽△ADF，根據相似三角形的性質即可求出AF的長；（2）根據平行線的性質可得，根據等量代換可得，進而可證明△ABC∽△ABE，根據相似三角形的性質可得，可用x表示出BE、CE的長，根據平行線分線段成比例定理可用x表示出的值，根據可得y與x的關系式，根據x>0，CE>0即可確定x的取值范圍；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三種情況，根據BE=及線段的和差關系，分別利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.【詳解】（1）如圖，過點作于N，∵AB=5，，∴在中，=5×=3，∴AN===4，∵BC=x=4，∴CN=BC-BN=4-3=1，在中，，∵AD=4，BC=x=4，∴AD=BC，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵，∴△ABC∽△ADF，∴，∴解得：，（2）∵，∴，∵，∴，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△ABE，∴，∴，∵AD//BC，∴，∴，∵x>0，CE=>0，∴0<x<5，∴，（3）①如圖，當PA=PD時，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延長GP交BM于N，∵PA=PD，AD=4，∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，∵AD//BE，∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠AEB，∴PB=PE，∴BN=EN=BE=，∵，AB=5，∴BH=AB·cos∠ABH=3，∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，∴四邊形AHNG是矩形，∴HN=AG=2，∴BN=BH+HN=3+2=5，∴=5，解得：x=.②如圖，當AP=AD=4時，作AH⊥BM于H，∴∠ADB=∠APD，∵AD//BM，∴∠ADB=∠DBC，∵∠APD=∠BPE，∴∠DBC=∠BPE，∴BE=PE=，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BH=3，AH=4，∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，解得：x=，③如圖，當AD=PD=4時，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，∴∠DAP=∠DPA，∵AD//BM，∴∠DAP=∠AEB，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠AEB，∴BP=BE=，∵cos∠ABC=，AB=5，∴BH=3，AH=4，∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，∴四邊形AHND是矩形，∴DN=AH=4，HN=AD=4，中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，解得：x=，綜上所述：x的值為或或.【點睛】本題考查相似三角形的綜合，熟練掌握銳角三角函數的定義、平行線的性質、等腰三角形的性質及相似三角形的判定與性質，靈活運用分類討論的思想是解題關鍵.10．(2023·上海九年級專題練習）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動點P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ＝OP，AP的延長線與射線OQ相交于點E、與弦CD相交于點F(點F與點C、D不重合)，AB＝20，cos∠AOC＝.設OP＝x，△CPF的面積為y.(1)求證：AP＝OQ；(2)求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)當△OPE是直角三角形時，求線段OP的長．答案:（1）詳見解析；（2）y＝，x的取值范圍為<x<10；（3）線段OP的長為8.分析：（1）連接OD，根據兩直線平行，內錯角相等和等邊對等角的性質可得出∠AOC＝∠ODC，再利用邊角邊的判斷定理可證明△AOP≌△ODQ，根據全等三角形對應邊相等即可證明AP＝OQ.（2）過點P作PH⊥OA于點H，過點O作OG⊥CD于點G.根據兩直線平行，內錯角相等可證明△PFC∽△PAO，利用三角函數的計算公式和勾股定理可用x表示出△PAO的面積，再利用相似三角形面積之比等于相似比的平方即可用x表示出y，分別取點F與點D和點C重合時，利用垂徑定理和相似三角形的性質可求出x的值，因為點F與點C、D不重合，即可得出X的取值范圍．（3）根據題意可知，當△POE為直角三角形時，可分三種情況討論：即∠POE=90°、∠OPE=90°、∠OEP=90°，分別討論三種情況OP的長，并取符合（2）中x的取值范圍的結果．【詳解】(1)證明：連結OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵CD∥AB，∴∠AOC＝∠OCD，∴∠AOC＝∠ODC.在△AOP和△ODQ中，∴△AOP≌△ODQ，∴AP＝OQ.(2)作PH⊥OA，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G.由cos∠AOC=可得OH＝x，再RT△OPH中，由勾股定理可得：PH=，則S△AOP＝=3x.∵CD∥AB，∴△PFC∽△PAO，∴，∴=.當點F與點C重合時，OP＝10.當點F與點D重合時，∵cos∠OCG＝＝cos∠AOC＝，∴CG＝8，∴CD＝16.∵，∴解得x＝.又∵點F與點C、D不重合，∴x的取值范圍為<x<10.(3)解：當∠POE＝90°時，CQ＝，OP＝DQ＝CD－CQ＝3.5(舍去)；當∠OPE＝90°時，則∠APO＝90°，∴OP＝AO·cos∠COA＝8；當∠OEP＝90°時，此種情況不存在．∴線段OP的長為8.【點睛】本題結合三角形相似考查了幾何圖形中的動點問題，動點問題要注意運動的范圍，此外第三問中只是說△OPE是直角三角形，并未指明哪個角是直角，需要分類討論.11．(2023·上海靜安區·九年級二模）如圖，平行四邊形ABCD中，已知AB=6，BC=9，．對角線AC、BD交于點O．動點P在邊AB上，⊙P經過點B，交線段PA于點E．設BP=x．（1）求AC的長；（2）設⊙O的半徑為y，當⊙P與⊙O外切時，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；（3）如果AC是⊙O的直徑，⊙O經過點E，求⊙O與⊙P的圓心距OP的長．答案:（1）9；（2），定義域：0＜x≤3；（3）或解析：試題分析：（1）作AH⊥BC于H，根據已知條件和銳角三角函數的定義即可求得BH=2，根據勾股定理求得AH的長，在分局勾股定理求得AC的長即可；(2)作OI⊥AB于I，聯結PO，可得AO=4.5，Rt△AIO中，求得AI=1.5，IO=3，即可得PI=-x，在Rt△PIO中，根據勾股定理求得，又因⊙P與⊙O外切，可得，所以-x，因為動點P在邊AB上，⊙P經過點B，交線段PA于點E，即可得定義域為0＜x≤3；（3）分①當E與點A不重合時和②當E與點A重合時兩種情況求AP的長即可.試題解析：（1）作AH⊥BC于H，且，AB=6，那么BC=9，HC=9-2=7，，﹒（2）作OI⊥AB于I，聯結PO，AC=BC=9，AO=4.5，∴∠OAB=∠ABC，∴Rt△AIO中，，∴AI=1.5，IO=，∴PI=AB-BP-AI=6-x-1.5=，∴Rt△PIO中，，∵⊙P與⊙O外切，∴，∴=，∵動點P在邊AB上，⊙P經過點B，交線段PA于點E．∴定義域：0＜x≤3；（3）由題意得：∵點E在線段AP上，⊙O經過點E，∴⊙O與⊙P相交∵AO是⊙O半徑，且AO＞OI，∴交點E存在兩種不同的位置，OE=OA=①當E與點A不重合時，AE是⊙O的弦，OI是弦心距．∵AI=1.5，AE=3，∴點E是AB中點，，，，IO=，②當E與點A重合時，點P是AB中點，點O是AC中點，，∴或．點睛：本題是四邊形與圓的綜合題，考查的知識點有平行四邊形的性質、勾股定理、切線的性質，解決第（1）（2）問時，正確作出輔助線是解題的關鍵，解決第（3）問時，要注意分類討論數學思想的應用.12．(2023·上海九年級專題練習）已知在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（2，2），對稱軸是直線x=1，頂點為B．（1）求這條拋物線的表達式和點B的坐標；（2）點M在對稱軸上，且位于頂點上方，設它的縱坐標為m，聯結AM，用含m的代數式表示∠AMB的余切值；（3）將該拋物線向上或向下平移，使得新拋物線的頂點C在x軸上．原拋物線上一點P平移后的對應點為點Q，如果OP=OQ，求點Q的坐標．答案:（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．頂點B坐標為（1，3）．（2）cot∠AMB=m﹣2．（3）點Q的坐標為（，﹣）或（，﹣）．【詳解】試題分析：（1）依據拋物線的對稱軸方程可求得b的值，然后將點A的坐標代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值；（2）過點A作AC⊥BM，垂足為C，從而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用銳角三角函數的定義求解即可；（3）由平移后拋物線的頂點在x軸上可求得平移的方向和距離，故此QP=3，然后由點QO=PO，QP∥y軸可得到點Q和P關于x對稱，可求得點Q的縱坐標，將點Q的縱坐標代入平移后的解析式可求得對應的x的值，則可得到點Q的坐標．試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，∴x=﹣=1，即=1，解得b=2．∴y=﹣x2+2x+c．將A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+2．配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴拋物線的頂點坐標為（1，3）．（2）如圖所示：過點A作AC⊥BM，垂足為C，則AC=1，C（1，2）．∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．（3）∵拋物線的頂點坐標為（1，3），平移后拋物線的頂點坐標在x軸上，∴拋物線向下平移了3個單位．∴平移后拋物線的解析式為y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．∵OP=OQ，∴點O在PQ的垂直平分線上．又∵QP∥y軸，∴點Q與點P關于x軸對稱．∴點Q的縱坐標為﹣．將y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．∴點Q的坐標為（，﹣）或（，﹣）．考點：二次函數的綜合應用.13．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在中，上的一點在邊的垂直平分線上，．（1）求證：；（2）如果，，求的值．答案:（1）見解析；（2）分析：（1）由，得出，可證得，進而證得，再根據線段垂直平分線的性質可推得，根據等量代換即可解得；（2）作DE⊥AB于E，由垂直平分，求出，，由勾股定理求出AH，設，則，再由勾股定理求出AD，然后由三角函數定義即可得出結果．【詳解】解：（1）證：，，又，，，又是的垂直平分線，，，．（2）作垂直平分，垂直平分，，在中，在中，設，則．【點睛】本題考查了相似三角形的判斷和性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理以及三角函數的定義，難度不大，正確做出輔助線是解題的關鍵．14．(2023·上海九年級專題練習）如圖，點A、B在第一象限的反比例函數圖像上，AB的延長線與y軸交于點C，已知點A、B的橫坐標分別為6、2，AB=．（1）求∠ACO的余弦值；（2）求這個反比例函數的解析式．答案:（1）；（2）．分析：（1）如圖，分別過點A、B作AD⊥y軸，BE⊥x軸，可證∠ACO=∠ABH，由點A、B的橫坐標分別為6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；（2）設反比例函數的解析式為，根據點A、B在第一象限的反比例函數圖像上,則點A（6，），B（2，），由BH=2可得，求出k值，此題即可得解．【詳解】解：（1）如圖，分別過點A、B作AD⊥y軸，BE⊥x軸，垂足分別為D、E，AD、BE相交于點H．∵BE∥y軸，∴∠ACO=∠ABH，∠AHB=∠ADC=90°．∵點A、B的橫坐標分別為6、2，∴AH=4．在Rt△ABH中，∵BH=．∴．（2）設反比例函數的解析式為，設點A（6，），則B（2，），∴，∴，∴反比例函數解析式為．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質及求銳角的三角函數值，掌握反比例函數的圖象與性質并能結合反比例函數圖象上的點的坐標特點求出函數表達式與角的三角函數值是解題的關鍵．15．(2023·上海九年級專題練習）拋物線經過點兩點．（1）求拋物線項點D的坐標．（2）拋物線與軸的另一交點為，求的值．答案:（1）(1，4)；（2）分析：(1)拋物線y=ax2+2x+c經過點B(3,0)、C(0,3)兩點，可求解析式，把解析式配方變為頂點式，求頂點D，(2)讓y=0,求出A點坐標，過D作DE⊥x軸于E，則E點可求，連AD，在在Rt△ADE中AE，DE可求，用勾股定理求AD，利用正弦函數定義求即可．【詳解】(1)拋物線y=ax2+2x+c經過點B(3,0)、C(0,3)兩點，把B、C兩點代入得，解得，∴y=-x2+2x+3，∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴D(1,4)，(2)y=0,-x2+2x+3=0，∴(x+1)(x-3)=0，∴x+1=0或x-3=0，∴x=-1或x=3，∴A(-1,0)，過D作DE⊥x軸于E，則E(1,0)，在Rt△ADE中，AE=1-(-1)=2，DE=4，∴AD=，∴Sin∠DAE=．【點睛】本題考查拋物線頂點，∠DAB的正弦，關鍵是用待定系數法求拋物線解析式，確定拋物線頂點，會求與x軸交點，用對稱軸，AD及x軸圍成Rt△，用正弦定義解決問題．16．(2023·上海市民辦新北郊初級中學九年級期中）如圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖2是小明鍛煉時上半身由位置運動到與底面CD垂直的位置時的示意圖，已知米，米，(參考數據：)（1）求的長（2）若米，求兩點的距離（精確0.01)答案:（1）0.8；（2）1.04m分析：（1）已知AC與BD，求AB，為此過D作BE⊥AC于E，可求AE，由∠ABE已知，利用30角所對直角．邊等于斜邊的一半，可求AB即可，（2）過N作NF⊥MO交射線MO于F點，則FN∥EB，∠ONF=α=30°，利用外角有∠M=∠MNO=∠FON=30o，在30oRt△OFN中，OF=ON，易求MF，利用Rt△MFN中MN=即可．【詳解】（1）過B作BE⊥AC于E，則四邊形CDBE為矩形，CE=BD=0.26米，AC=0.66米，∴AE=AC-EC=0.66-0.26=0.40米，在Rt△AEB中，α=30°，AB=2AE=2×0.40=0.80米，（2）過N作NF⊥MO交射線MO于F點，則FN∥EB，∴∠ONF=α=30°，∵ON=0,6米，∴OF=ON=0,3米，∵OM=ON=0.6米，∴MF=0.9米，∴∠FON=90o-30o=60o，∴∠M=∠MNO=∠FON=30o，在Rt△MFN中，MN=．【點睛】本題考查求斜面長，MN長，關鍵是掌握把要求的線段置于Rt△中,用三角函數來解決問題．17．(2023·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）如圖，在Rt△ADC中，∠C=90°，B是CD的延長線上的一點，且AD=BD=5，AC=4，求cos∠BAD的值．答案:分析：利用勾股定理求得CD和AB的長，再利用三角函數的定義求得cos∠B的值，即可求解．【詳解】∵AD=BD，∴∠BAD=∠B，∵∠C=90°，AD=BD=5，AC=4，∴CD==3，∴BC=CD+BD=8，∴AB=，∴cos∠BAD=cos∠B=．【點睛】本題考查了解直角三角形，涉及勾股定理的應用，銳角三角函數的定義等知識，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．三、填空題18．(2023·上海九年級專題練習）如圖，在，，，，是的中點，點在邊上，將沿直線翻折，使得點落在同一平面內的點處，線段交邊于點，聯結，當是直角三角形時，的長為_______．答案:2或分析：分兩種情況討論，當時，則，利用銳角三角函數先求解，，，設，再表示，再利用勾股定理求解即可得到答案；當時，如圖，連接，過作于，先證明：，再證明設，利用的銳角三角函數可得利用勾股定理求解可得答案．【詳解】解：是的中點，當時，則，，設則，，即：當時，如圖，連接，過作于，同理可得：，，，，設由，當，不合題意，舍去．綜上：的長為或．故答案為：或【點睛】本題考查的是折疊的性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，掌握以上知識是解題的關鍵，要注意分情況討論．19．(2023·上海金山區·九年級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，把△ABC繞著點B順時針旋轉，當點A與邊BC上的點A′重合時，那么∠AA′B的余弦值等于_____．答案:．分析：作AD⊥BC于D，根據等腰三角形三線合一的性質得出BD＝DC＝BC＝3，利用勾股定理求出AD，再根據旋轉的性質可知，根據勾股定理可得，進而可得的余弦值．【詳解】解：如圖，作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝4，BC＝6，