第27講正切函數的性質與圖象1．了解正切函數圖象的畫法，理解并掌握正切函數的性質；2．能利用正切函數的圖象及性質解決有關問題。一、正切函數的圖象與性質1、定義域：，2、值域：R3、周期性：正切函數是周期函數，最小正周期是4、奇偶性：正切函數是奇函數，即．5、單調性：在開區間內，函數單調遞增二、正切函數型的性質1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、單調區間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數單調性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：三、求正切函數的定義域的方法及求值域的注意點1、求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數有意義，即。而對于構建的三角不等式，常利用三角函數的圖象求解，解形如的不等式的步驟如下：（1）作圖象：作在上的正切函數圖象；（2）求界點：求在上使成立的值；（3）求范圍：求上使成立的范圍；（4）定義域：根據正切函數的周期性，寫出定義域。四、求函數（都是常數）的單調區間的方法（1）若，由于在每一個單調區間上都是增函數，故可用“整體代換”的思想，令，解得的范圍即可；（2）若，可利用誘導公式先把轉化為，即先把的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可。考點一：正切函數的定義域例1．定義域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以.則定義域為故選：A.【變式訓練1】函數的定義域是___________.【答案】【解析】因為，所以，，解得，因為，所以故答案為：【變式訓練2】函數的定義域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正切函數的定義域，令，，即，所以函數的定義域為.故選:D．考點二：正切函數的值域例2．函數,的值域為______．【答案】【解析】由題知,根據函數圖象性質可知,在上單調遞增,所以函數在上單調遞增,因為,所以該函數的值域為.故答案為:【變式訓練1】函數的值域為______.【答案】【解析】設，因為，可得，因為正切函數在上的值域為，即函數在的值域為.故答案為：.【變式訓練2】函數，的值域為______．【答案】【解析】因為，所以，，則當時，，當時，，所以函數的值域為.故答案為：.考點三：正切函數的單調區間例3．已知函數，則（）A．增區間為，B．增區間為，C．減區間為，D．減區間為，【答案】C【解析】由，解得.因此，函數的單調遞減區間為，.故選：C.【變式訓練1】求函數y＝3tan的單調遞減區間．【答案】(k∈Z)【解析】y＝3tan可化為y＝－3tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函數的單調遞減區間為(k∈Z)．【變式訓練2】若函數在上為嚴格減函數，則實數的取值范圍是_____________．【答案】【解析】因為函數的單調遞增區間為，，且函數在上為嚴格減函數，所以，解得，即.故答案為：.考點四：比較正切函數值的大小例4．下列各式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A中，由，且，由正切函數性質，可得，且，所以，所以，所以A不正確；對于B中，由，由正切函數單調性可得，即，所以B錯誤；對于C中，由正切函數在上為單調遞增函數，因為，所以，所以C正確；對于D中，由，由正切函數的單調性，可得，即，所以D錯誤.故選：C.【變式訓練】（多選）下列結論正確的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】對于A，因為，函數在上單調遞增，所以．故A正確；對于B,．故B不正確；對于C，，．又，函數在上單調遞增，所以，即．故C不正確；對于D，，．又，函數在上單調遞增，所以，即．故D正確.故選：AD.考點五：正切函數的奇偶性例5．判斷函數的奇偶性．【答案】是奇函數【解析】由，得或，則或，；∴函數的定義域為，關于原點對稱．又，∴，∴是奇函數．【變式訓練】判斷下列函數的奇偶性.（1）；（2）.【答案】（1）奇函數；（2）偶函數【解析】（1）的定義域為關于原點對稱，，則函數為奇函數.（2）的定義域為關于原點對稱，，則函數為偶函數.考點六：正切函數的對稱性例6．下列是函數的對稱中心的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，，所以，函數的對稱中心的是，.對于A項，由，可得，故A項錯誤；對于B項，由，可得，故B項錯誤；對于C項，由，可得，故C項錯誤；對于D項，由，可得，故D項正確.故選：D.【變式訓練1】函數圖象的一個對稱中心為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，所以的對稱中心為，取時，得.故選：A【變式訓練2】已知，則“函數的圖象關于原點對稱”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】的圖象關于原點對稱，故，因為可以推出，但推不出，所以“函數的圖象關于原點對稱”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式訓練3】函數的圖像的一個對稱中心為點，則________.【答案】【解析】因為函數的圖像的對稱中心為點，，所以對稱中心橫坐標為，.代入得，，所以，，因為，所以當時，；當時，.所以或.故答案為：.考點七：正切函數的周期性例7．若的最小正周期為1，則的值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的周期為，，即，則，故選：D．【變式訓練1】已知函數的最小正周期為，則的值是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由題意，.故選：B【變式訓練2】若，則等于（）A．-B．C．0D．-2【答案】C【解析】，；，，，，，，；故選：．考點八：利用正切函數解不等式例8．解不等式.【答案】.【解析】作出函數，的圖像，如圖所示．觀察圖像可得：在內，滿足條件的x為，由正切函數的周期性可知，滿足不等式的x的解集為.【變式訓練】寫出下列不等式的解集．（1）;（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題知,根據函數在上圖象可知,只需,根據的最小正周期,可得的解集為:;（2）根據函數在上圖象可知,只需,根據的最小正周期,可得的解集為:.1．函數的最小正周期是，則（）A．4B．2C．D．2或【答案】D【解析】的最小正周期是，所以，解得.故選：D2．設，則a，b，c的大小關系為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，函數在上單調遞增且，在上單調遞增且，因為，所以，所以.故選：A.3．函數（且）的值域為A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：且，且，由于正切函數的圖象及單調性，得：或，即故選B．4．函數的一個單調遞增區間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為在區間上單調遞增.所以所以的單調遞增區間為.當時:區間為：.故選：A.5．已知函數，的部分圖象如圖，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因為，所以，.又，所以，所以，所以，所以.故選：C.6．（多選）下列選項中結論正確的是（）A．函數在定義域內單調遞增B．函數的周期為C．函數是偶函數D．函數的單調遞增區間為【答案】BC【解析】對于A，函數在每個單調區間內單調遞增，在定義域內不單調遞增，A錯誤；對于B，由于正切函數的最小正周期為，故函數的周期為，正確；對于C，函數滿足，故為偶函數，正確；對于D,對于函數，令，則，即的單調遞增區間為，D錯誤，故選：BC7．（多選）下列關于函數的說法正確的是（）A．在區間上單調遞增B．最小正周期是C．圖像關于成中心對稱D．圖像關于直線成軸對稱【答案】BC【解析】因為，所以，又正切函數在和上單調遞增，但在上不是單調遞增，故A錯誤；函數的周期為，故B正確；由可知，當時，，即其圖像關于成中心對稱，故C正確；因為正切函數無對稱軸，故D錯誤；故選：BC8．函數的最小正周期為___________．【答案】【解析】由題意函數的最小正周期為，故答案為：9．函數的值域是________【答案】【解析】，，故答案為：10．已知函數的圖象關于點對稱，則__________.【答案】/【解析】因為的圖象關于點對稱，所以，所以，因為，所以.故答案為：．11．不等式的解集是______.【答案】【解析】，則，則，故答案為：.12．已知函數，則函數的定義域為______．【答案】【解析】由題得，所以.所以函數的定義域為.故答案為：1．下列函數最小正周期為的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于A，的最小正周期，故A錯誤；對于B：的最小正周期，故B正確；對于C：的最小正周期，故C錯誤；對于D：的最小正周期，故D錯誤；故選：B2．函數在一個周期內的圖像是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數的最小正周期，∵選項D的最小正周期，D錯誤；令，解得，故的單調遞增區間為，取，則的單調遞增區間為，故A正確，B、C錯誤；故選：A.3．已知函數，，其函數圖象的一個對稱中心是，則該函數的一個單調遞減區間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為是函數的對稱中心，所以，解得因為，所以，，令，解得，當時，函數的一個單調遞減區間是，故選：D4．函數，的值域為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設，因為，所以．因為正切函數在上單調遞增，且，，所以．故選：A．5．下列關于函數的說法正確的是（）A．最小正周期為B．圖像關于點成中心對稱C．在區間上單調遞增D．圖像關于直線成軸對稱【答案】B【解析】函數，當時，，所以圖象關于點成中心對稱，選項B正確；函數的最小正周期為，所以A錯誤；當時，，所以函數在上單調遞減，所以C錯誤；正切函數不是軸對稱函數，所以D錯誤．故選：B．6．已知函數（，為常實數），且，則______．【答案】【解析】因為，定義域關于原點對稱，設，，則是奇函數，因為，所以，所以．故答案為：.7．函數的定義域為______．【答案】【解析】函數要使函數有意義，則，即，，，即原函數的定義域為：.故答案為：8．函數的值域為____________【答案】【解析】因為令，則所以，所以，故函數的值域為故答案為：9．已知函數在內是減函數，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】∵已知函數在內是減函數,∴函數在內是單調增函數，∴，解得，經檢驗，滿足題意.∴的取值范圍是．故答案為：.10．利用函數的單調性，比較下列各組數的大小：（1），；（2），．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為在上單調遞增，而，所以（2）因為在上單調遞增，因為，而，所以，即.11．設函數．（1）求函數的單調區間；（2）求不等式的解集．【答案】（1）的單調增區間為；（2）【解析】（1）令，解得，所以的單調增區間為，不存在單調減區間.（2），所以，所以不等式的解集為，12．設函數，已知函數的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關于點對稱.（