Page110.3圓的方程課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.駕馭確定圓的幾何要素．2.駕馭圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．該專(zhuān)題一般不單獨(dú)命題，但與其它學(xué)問(wèn)結(jié)合考查數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象邏輯推理1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)方程x-a2+y-b2=r2r>0,表示圓心為a,b,半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)2.圓的一般方程方程x2+y(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程表示以-D2,-E2為圓心,以D2+1.直徑式方程:以Ax1,y1,Bx2,y21.【P80T14】在等腰梯形ABCD中,AD?//?BC,A(-3,1)，B(-2,-6)，C(6,-2),則△ACD外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.x2B.x-122D.(x-12.【P63T4】已知定點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段ABA.(x-1)2+y??2=1 B.(x-2考點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程【方法儲(chǔ)備】1.求圓的方程時(shí)，應(yīng)依據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：（1）幾何法，通過(guò)探討圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量，常用到的三特性質(zhì)：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線(xiàn)的直線(xiàn)上；②圓心在任一弦的中垂線(xiàn)上；③相切兩圓的連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；（2）代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解，若由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或須要用圓心坐標(biāo)列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；假如已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)干脆關(guān)系，常選用一般方程．2.確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟：3.解決圓問(wèn)題時(shí)，可將一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，快速確定圓心與半徑.【典例精講】例1.(2024·全國(guó)乙卷理科)過(guò)四點(diǎn)(0,0)，(4,0)，(-1,1)，(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

．【名師點(diǎn)睛】圓過(guò)其中三點(diǎn)共有四種狀況，解題關(guān)鍵是三點(diǎn)中的兩條中垂線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心，圓心到任一點(diǎn)的距離為半徑，每種狀況逐一求解即可．【靶向訓(xùn)練】練1-1(2024·山東省模擬)過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線(xiàn)x-y-1=0相切于點(diǎn)B(2,1)，則圓C的方程為

．練1-2(2024·吉林省吉林市模擬)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線(xiàn)4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.(x-2)2+(y考點(diǎn)二關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程【方法儲(chǔ)備】1.有關(guān)圓的對(duì)稱(chēng)：圓的大小不變，即不變，只變更圓的位置，只要利用有關(guān)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的方法確定圓心的位置即可.【典例精講】例2.(2024·河南省鄭州市模擬)圓x2+y2-2x-1=0關(guān)于直線(xiàn)2x-y+3=0A.(?x+3?)2+(?y-2)2=1【名師點(diǎn)睛】利用點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率之積為-1,點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上,【靶向訓(xùn)練】練2-1(2024·江蘇省南京市模擬)圓C：x2+y2-2x-2y+1=0關(guān)于直線(xiàn)l：x-y=2對(duì)稱(chēng)的圓的方程為

．練2-2(2024·江蘇省蘇州市期中)圓C:x-32+y+62=81關(guān)于點(diǎn)A-1,2考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題【方法儲(chǔ)備】1.與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用解法：【典例精講】例3.(2024·山東省菏澤市模擬)已知兩條直線(xiàn)l1：2x-3y+2=0，l2：3x-2y+3=0，有一動(dòng)圓(圓心和半徑都在變動(dòng))與l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圓內(nèi)的兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度分別是定值26，A.(y-1)2-x?2=65【名師點(diǎn)睛】主要考查圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.分析題意，設(shè)動(dòng)圓圓心P為(x,y)，半徑為r，則P到l1的距離d1=|2x-3y+2|13，P到l2的距離d2=|3x-2y+3|13;再結(jié)合已知l1、l2被圓截得的弦長(zhǎng)分別是定值26和24，依據(jù)勾股定理和垂徑定理可得2r【靶向訓(xùn)練】練3-1(2024·廣東省茂名市聯(lián)考)已知圓C:x-12+y-12=1，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，AM與圓相切，且AM=2，則點(diǎn)A.y2=4x B.x2+練3-2(2024·重慶市聯(lián)考)已知點(diǎn)P在圓C：x2+y2+2x-4y+1=0上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q(3,0)，線(xiàn)段PQ(1)求曲線(xiàn)Γ的方程；(2)過(guò)點(diǎn)N(2,3)是否存在直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Γ有且只有一個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．核心素養(yǎng)系列直觀想象、邏輯推理——阿波羅尼斯圓【方法儲(chǔ)備】已知平面上兩定點(diǎn)A、B，則全部滿(mǎn)意PAPB=λ（λ≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以定比m:n內(nèi)分和外分定線(xiàn)段AB的兩個(gè)分點(diǎn)的連線(xiàn)為直徑例4.(2024·湖南省益陽(yáng)市期末)阿波羅尼斯是古希臘聞名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線(xiàn)有深刻而系統(tǒng)的探討，主要探討成果集中在他的代表作《圓錐曲線(xiàn)》一書(shū)，阿波羅尼斯圓就是他的探討成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，其中，定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-13,0)，A.10 B.11 C.15 D.17【名師點(diǎn)睛】以聞名的阿波羅尼斯圓為背景，提升數(shù)學(xué)邏輯思維、解題策略等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在視察中提取信息，分析問(wèn)題。【靶向訓(xùn)練】練4-1(2024·浙江省模擬)波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地．他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0，且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，則當(dāng)△練4-2(2024·山東省菏澤市模擬.多選)古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺(jué)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱(chēng)為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),B(4,0)，點(diǎn)?P?滿(mǎn)意|PA||PB|=12.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為A.軌跡C的方程為x+42+y2=9

B.在x軸上存在異于A,B的兩點(diǎn)D,E使得|PD||PE|=12

C.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)，射線(xiàn)PO是

易錯(cuò)點(diǎn)1．忽視圓的方程須要滿(mǎn)意的條件例5.(2024·天津市市模擬)若過(guò)點(diǎn)(1,2)總可以作兩條直線(xiàn)與圓x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是答案解析【教材改編】1.【解析】易知△ACD的外接圓即為等腰梯形ABCD的外接圓，故圓心E在線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)l上，

因?yàn)閗BC=-2+66+2=12，所以kl=-2可得直線(xiàn)l的方程為y=-2x，

設(shè)圓心坐標(biāo)為G(a,-2a)，則GA=GB，即(a+3)2+(-2a-1)2=(a+2)2+(-2a+6)2，解得a=1，2.【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)A(m,n)，則(m+1)2+n2=4．

∵M(jìn)是線(xiàn)段AB上的中點(diǎn)，∴(x-m,y-n)=(3-x,-y)，∴m=2x-3，n=2y，

∵(m+1)2【考點(diǎn)探究】例1.【解析】設(shè)點(diǎn)A(0,0)，B(4,0)，C(-1,1)，D(4,2)．

(1)若圓過(guò)A、B、C三圓圓心在直線(xiàn)x=2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，

則4+a2=9+(a-1)2?a=3，r=4+a2=13，所以圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=13;

(2)若圓過(guò)A、B、D三點(diǎn)，同(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a)，

則4+a2=4+(a-2)2?a=1，r=4+a2=5，所以圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5;

(3)若圓過(guò)A、C、D三點(diǎn)，則線(xiàn)段AC練1-1.【解析】法一：設(shè)圓C方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，

圓心(a,b)到直線(xiàn)x-y-1=0的距離d=a-b-12=r，

①

又圓C過(guò)點(diǎn)A(4,1)，B(2,1)，∴(4-a)2+(1-b)2=r2，②

(2-a)2+(1-b)2=r2，③

由①②③，得a=3，∴AB中垂線(xiàn)方程為x=3．

又∵圓C與直線(xiàn)x-y-1=0，相切于點(diǎn)B(2,1)，

所以圓心在過(guò)點(diǎn)B且與x-y-1=0垂直的直線(xiàn)y-1=-(x-2)即x+y-3=0上．

由x=3x+y-3=0得圓心C(3,0)，∴r=CA=3-42+練1-2.【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b)(a>0,b>0)，

由圓與直線(xiàn)4x-3y=0相切，可得圓心到直線(xiàn)的距離d=|4a-3b|5=r=1，化簡(jiǎn)得|4a-3b|=5①，

又圓與x軸相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1(舍去)，

把b=1代入①得4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-12(舍去)，∴圓心坐標(biāo)為(2,1)，例2.【解析】圓x2+y2-2x-1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x-12+y2=2，圓心為1,0，半徑為2，

設(shè)圓心1,0關(guān)于直線(xiàn)2x-y+3=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為a,b，則ba-1·2=-12·1+a2-b2練2-1.【解析】∵圓C：x2+y2-2x-2y+1=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1，

所以其圓心為：(1,1)，r=1

設(shè)(1,1)關(guān)于直線(xiàn)x-y-2=0對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：(a,b)

則有a+12-練2-2.【解析】圓C:x-32+y+62=81的圓心為C(3,-6)，半徑為9

圓心C(3,-6)關(guān)于點(diǎn)A(-1,??2)中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為C'(-5,10)，

又半徑為例3.【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心P為(x,y)，半徑為r，則P到l1的距離d1=|2x-3y+2|13，P到l2的距離d2=|3x-2y+3|13，

∵l1、l2被圓截得的弦長(zhǎng)分別是定值26和24，∴2r2-d12=26，練3-1.【解析】如圖設(shè)Ax,y，圓心為C1,1．則MC⊥MA，且MC=1，

又因?yàn)锳M=2，所以AC=|AM|2+|MC|2=5，

即AC2練3-2.【解析】(1)設(shè)M(x,y)，則P(2x-3,2y)，

∵P在圓C上，∴(2x-3)2+4y2+2(2x-3)-8y+1=0，

整理得：(x-1)2+(y-1)2=1，∴曲線(xiàn)Γ的方程為(x-1)2+(y-1)2=1則直線(xiàn)l與曲線(xiàn)Γ相切，

當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l：x=2符合條件;

當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l方程為y=k(x-2)+3，則|-k+3-1|1+k2=1，解得k=34，

∴滿(mǎn)意條件的直線(xiàn)l存在，直線(xiàn)l【素養(yǎng)提升】例4.【解析】由題意可得圓x2+y2=1是關(guān)于P，Q的阿波羅尼斯圓，且λ=3，則|MQ||MP|=3，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n)，M點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)，則(x-m)2+(y-n)2(x+13)2+y2=3，

整理得，x2+y2+6+2m8x+練4-1.【解析】法1：在△ABC中，sinC=2sinA，由正弦定理得ca=2．設(shè)AC邊上的高為h>0．

由余弦定理可得cosB=a2+4a2-162×a×2a

=54-4a2，

由面積公式可得S△ABC=12×a×2a×sinB=12×4×h.即S△ABC=a2sinB=2h，

因?yàn)閟in2B+cos2B=1，即有54-4a22+2ha22=1，整理可得：4h2=-916a4+10a2-16，

由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)a2=809時(shí)，4h2取最大值，同時(shí)△ABC的面積最大，此時(shí)h=故答案為

83練4-2.【解析】設(shè)點(diǎn)Px,y，則PA即x+42+y2=16，故A錯(cuò)誤；

假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩定點(diǎn)D