1.5.1全稱量詞與存在量詞課后·訓練提升基礎鞏固1.(多選題)下列命題是全稱量詞命題的是()A.一次函數的圖象都是上升的或下降的B.對隨意x∈R,x+1<0C.存在實數大于或者等于3D.菱形的對角線相互垂直答案ABD解析選項A,B,D中的命題都是全稱量詞命題,選項C中的命題是存在量詞命題.2.下列命題中,既是全稱量詞命題又是真命題的是()A.斜三角形的內角是銳角或鈍角B.至少有一個實數x,使x2>0C.隨意自然數的平方必大于0D.存在一個負數x,使1x>答案A解析只有A,C兩個選項中的命題是全稱量詞命題,且A中命題明顯為真命題.因為0是自然數,而02=0不大于0,所以C中命題為假命題.3.下列命題是假命題的是()A.對隨意的實數a,b,都有a2+b2-2ab≥0B.?x∈Z,x2=2C.二次函數y=x2-ax-1的圖象與x軸恒有交點D.偶數的平方還是偶數答案B解析對于A,因為a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故A為真命題;對于B,當x2=2時,x=±2為無理數,故B為假命題;對于C,因為方程x2-ax-1=0的判別式Δ=a2+4>0恒成立,所以函數y=x2-ax-1的圖象與x軸恒有交點,故C為真命題;易知D為真命題.4.若非空集合P,Q滿意P∩Q=P,則()A.?x∈Q,有x∈PB.?x?Q,有x?PC.?x?Q,使得x∈PD.?x∈P,使得x?Q答案B解析∵P∩Q=P,∴P?Q,如圖,∴A錯誤;B正確;C錯誤;D錯誤.故選B.5.(多選題)可以作為命題“?1≤x≤3,x2-a≤0”是真命題的一個充分不必要條件是()A.a≥9 B.a≥11 C.a≥10 D.a≤10答案BC解析當該命題是真命題時,只需當1≤x≤3時,a≥(x2)max.因為1≤x≤3時,y=x2的最大值是9,所以a≥9.因為a≥9a≥10,a≥10?a≥9,又a≥9a≥11,a≥11?a≥9,故選BC.6.下列命題是存在量詞命題且為假命題的是()A.存在兩個全等三角形,它們的周長不相等B.全部的三角形都不是鈍角三角形C.存在一個四邊形的四個頂點不共圓D.?m∈R,方程mx2+mx+1=0無實根答案A7.若命題“二次函數y=(a-1)x2+x-1(a≠1)的圖象開口向上”是真命題,則a的取值范圍是()A.a<1 B.a≤1C.a≥1 D.a>1答案D8.給出下列說法:①有些不相像的三角形的面積相等,是真命題;②?a∈R,b∈R,使函數y=ax+b的圖象經過第一、其次、第三象限,是假命題;③正數的平方根不等于0,是真命題;④對隨意的兩個非空集合,A∩B≠?,是假命題.其中正確說法的個數是()A.1 B.2C.3 D.4答案C9.已知命題p:?x∈R,-x2+1>a,若p是真命題,則實數a的取值范圍是()A.a<1 B.a≤1C.0<a≤1 D.a>-1答案A解析因為x∈R,所以-x2+1的最大值為1.所以a的取值范圍是a<1.10.若“?x∈{x|-1≤x≤1},x+1≤m”是真命題,求實數m的最小值.解由已知得m≥(x+1)max.因為-1≤x≤1,所以(x+1)max=2.所以m≥2,所以m的最小值為2.實力提升1.下列命題為真命題的是()A.?x∈R,x2+2x+1>0B.?x∈R,x2+1>0C.?x∈N,2x2=7D.?x∈R,x2-1<-1答案B解析對于A,當x=-1時,x2+2x+1=0,故為假命題;對于C,當2x2=7時,x=±142?N,故為假命題;對于D,因為x2≥0,所以x2-1≥-1,故為假命題2.已知“?x∈{x|0≤x≤2},m>x”和“?x∈{x|0≤x≤2},n>x”均為真命題,那么m,n的取值范圍分別是 ()A.m>0,n>0 B.m>0,n>2C.m>2,n>0 D.m>2,n>2答案C解析由“?x∈{x|0≤x≤2},m>x”是真命題,可得m>2;由“?x∈{x|0≤x≤2},n>x”是真命題,可得n>0.3.已知a>0,則“x0滿意關于x的方程ax=b”的充要條件是()A.?x∈R,12ax2-bx≥12B.?x∈R,12ax2-bx≤12C.?x∈R,12ax2-bx≥12D.?x∈R,12ax2-bx≤12答案C解析由于a>0,令函數y=12ax2-bx=12a(x-ba)2-b22a,故此函數圖象的開口向上,且當x=ba時,取得最小值-b22a,而x0滿意關于x的方程ax=b,那么x0=ba,故?x∈R,4.已知函數y=x2+bx+c,則“c<0”是“?x0∈R,使x02+bx0+c<0”的(A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析?x0∈R,使x02+bx0+c<0的充要條件是x2+bx+c<0有解,即b2-4c>0,4c<b2.所以當c<0時,肯定有4c<b2,即?x0∈R,使x02+bx0+c<0.反之,只要4c<b2,則?x0∈R,使x02+bx0+c<5.若?x∈R,函數y=mx2+x-1的圖象和x軸恒有公共點,求實數m的取值范圍.解當m=0時,函數y=x-1的圖象與x軸有交點.當m≠0時,由已知得函數y=mx2+x-1對應方程的判別式Δ=1+4m≥0,得m≥-14,且m≠0.綜上所述,m的取值范圍是m≥-16.已知函數y=x2-2x+5,若至少存在一個實數x,使不等式m-y>0成立,求實數m的取值范圍.解不等式m-y>0可化為m>y,若至少存在一個實數x,使不等式m>y成立,只需m>ymin.因為y=x2-2x+5=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以m>4.所以實數m的取