積分中值定理的推廣及其應(yīng)用研究摘要：本文討論了積分中值定理及其具體證明；并將定理從閉區(qū)間推廣到開區(qū)間，使定理更好的實際應(yīng)用；本文給出了定理在數(shù)學(xué)里的應(yīng)用以及求平均速度和平均作用力問題的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：積分中值定理；函數(shù)單調(diào)性；平均速度TOC\o"1-3"\h\u1前言 11.1研究背景 11.2文獻綜述 11.3主要研究內(nèi)容及成果 12積分中值定理基本內(nèi)容 22.1介質(zhì)定理 22.2積分中值定理及其證明 22.3積分第一中值定理及其證明 22.4積分第二中值定理及其證明 33積分中值定理的推廣 63.1積分中值定理的推廣 63.2積分第一中值定理的推廣 64積分中值定理的應(yīng)用 84.1積分中值定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 84.1.1求函數(shù)在某區(qū)間的平均值 84.1.2求含積分的極限 94.1.3估計積分值 94.1.4確定積分值符號 104.1.5證明函數(shù)單調(diào)性 114.1.6不等式證明 124.1.7其它定理證明 134.2生活中的積分中值定理 144.2.1求平均速度 144.2.2求平均作用力 145結(jié)束語 16參考文獻 17.1研究背景數(shù)學(xué)近些年得到飛躍的發(fā)展.微積分是近代數(shù)學(xué)的一大重要發(fā)現(xiàn)，它讓我們在研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題時更加方便，同時加速發(fā)展了其他學(xué)科的發(fā)展，廣泛運用于實踐當(dāng)中，提高了科技的飛躍發(fā)展和生活品質(zhì)的提高。1.2文獻綜述鄒樂強[2]說明了積分第一中值定理的定義和推廣，把它運用到解題過程中；余小飛[3]根據(jù)被積函數(shù)的性質(zhì)研究積分的一些性質(zhì)；肖勁森和林全文[4]改善混合積分中值定理，推導(dǎo)出滿足介值性條件下可積函數(shù)積分第一中值定理；陳杰[1]推廣了積分中值定理，并且運用進效能估算；劉三陽[5]給出定理的推廣和改進形式；閆春燕和曹軍芳證明了介值點在區(qū)間內(nèi)取得；方輝平和項明寅[6]分析了積分中值定理計算積分極限，含特殊點極限的求法就由他提出；陳玉[7]推導(dǎo)其他積分中值定理積分中值定理.1.3主要內(nèi)容本文對定理依次進行了定義解釋，在具體問題中的使用，文章的最后也進行了簡單的推廣。2.1介質(zhì)定理的推論定理2[9]閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可以在區(qū)間內(nèi)取得介于最大值和最小值之間的任何值.設(shè),是的最大和最小值，有，，證明：因為,是最大值和最小值，故：， 把等式兩邊積分， 同時積分：，即可證.2.2積分中值定理及其證明定理3[10]可得到，. 通過介質(zhì)定理知： ， 2.3積分第一中值定理及其證明定理4[2]可以得到，證明：在上不變號，在恒大于0，的最大值為，最小值為.即 對式（2-9）同乘，對任意的閉區(qū)間內(nèi)的，有： 在和之間必存在一個，有 在上連續(xù)，那么在上必存在，， 2.4積分第二中值定理及其證明定理5[11]可以得到在閉區(qū)間上中，有.在單調(diào)增加，在上，.其證明過程如下：設(shè)其中根據(jù)定理可知，存在在上，有 即定理得證.

3.1積分中值定理的推廣定理6，證明：，連續(xù). 在連續(xù)，在可微，.定理[7]可知：滿足內(nèi)，.，，得， ，即 ， 定理73.2積分第一中值定理的推廣定理8，證明：，連續(xù)，可積.不變號還可積.有，在上連續(xù)，，，，，，.通過定理[8]：即 由積分定義，可以得到其中

4.1數(shù)學(xué)里定理的作用4.1.1平均值在給定的區(qū)間內(nèi)求平均值使用定理過程更加方便.可以直接通過公式或者變換進行求解.在運用時要弄清楚定理的定義[11].例1求的平均值在上。解 在上的平均值為例2，求各點極徑平均值在上。解 在平均值為.4.1.2求含積分的極限積分的極限利用性質(zhì)和運算法則,把所要求解的問題簡化[6].例3求解：對于，屬于連續(xù)，通過定理可知 由于故 例4求解：連續(xù)，有： 滿足時，4.1.3估計積分值例7求解：根據(jù)積分第一中值定理： 因為 即 所以 例8估計的值解：由于 即 于是 4.1.4確定符號運用積分中值定理確定積分符號，在所給區(qū)間內(nèi)求得（）的式子，通過范圍確定積分符號[12].例9判斷正負.解 為正.例10：判斷正負.解 在不恒為零，有為正.4.1.5其他定理證明證明狄利克雷判別法[9]：有界，滿足有單調(diào)且當(dāng)時趨于，那么積分收斂.證明：因為當(dāng)時所以對于任意的存在,當(dāng)時.因為所以有： 就有： 可以得到收斂.4.2生活中的積分中值定理4.2.1求平均速度運用定理求解速度.速度在內(nèi)連續(xù)，記為，根據(jù)定理有： 位移則 即是平均速度[14].例14人開始速度時間為起跑的速度做勻加速運動，在時有速度最大，后面速度不變，時間為問平均速度為多少.在內(nèi)必有點使得： 4.2.2求平均作用力相對的平均作用力是不同的在不同的過程.力在時間內(nèi)做功，位移那么，根據(jù)定理： 即 從位移來看 即 求滿足時間位移內(nèi)的平均作用力.所以有由定理可得：

在平時學(xué)習(xí)中會學(xué)到的關(guān)于積分中值定理的知識幫助我對積分中值定理有著很深的印象；也閱讀了很多論文，知道了在解決問題時的不同種類積分中值定理優(yōu)缺點.在解決問題時，我們不能靈活的運用定理，因此我將定理所存在的問題改善.通過對積分中值定理的基礎(chǔ)理論進行討論，對它們也做出了證明、推廣和應(yīng)用，使我們清晰的了解定理.定理的核心就在于用點的值去替換區(qū)間的平均值，使求解過程變得易懂.在定理的應(yīng)用中，主要是在解決問題上的應(yīng)用討論，生活中的應(yīng)用也舉了例子.課題的內(nèi)容以理論研究為主，研究是為了更好的應(yīng)用，應(yīng)用是更好的生活，數(shù)學(xué)的魅力就在于此.[1]陳杰.微積分中值定理及其應(yīng)用[Ｊ].呂梁教育學(xué)院學(xué)報,2017,34(2):92-94.[2]鄒樂強．積分第一中值定理及其應(yīng)用[Ｊ].福建茶葉,2019,10:239-242.[3]余小飛.積分中值定理在積分不等式中的應(yīng)用[Ｊ].當(dāng)代教育實踐與教學(xué)研究,2017,(8):1.[4]肖勁森，林全文.一個推廣的積分中值定理[Ｊ].韶關(guān)學(xué)院學(xué)報.2017,38(6):1-3.[5]劉三陽.積分中值定理的推廣及其應(yīng)用[Ｊ].高等數(shù)學(xué)研究,2016,19(6):26-28.[6]方輝平，項明寅.利用積分中值定理求極限[Ｊ].黃山學(xué)院學(xué)報,2014,19(5):1-3.[7]陳玉.基于微分中值定理的積分中值定理[Ｊ].高等數(shù)學(xué)研究,2013,16(6):42-45.[8]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版上冊）[M].北京：高等教育出版社.1996.[9]樊映川．高等數(shù)學(xué)講義[M]．北京：高等教育出版社，1994.[10]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版上冊）[M].北京：高等教育出版社.2001.[11]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:高等教育出