2025屆高考數(shù)學模擬試題（卷）（一）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．抽樣統(tǒng)計某位學生10次的數(shù)學成績分別為86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，則該學生這10次成績的分位數(shù)為A．86.5 B．87.5 C．91 D．89【答案】A【解析】數(shù)學成績從小到大分別為84，85，86，86，87，88，89，89，90，92，共10個，又，故分位數(shù)為．故選：．2．設(shè)集合，若，則（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，又，所以當時，可得.故選：C.3．下列函數(shù)中，以為周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A：由，可知不是其周期，（也可說明其不是周期函數(shù)）故錯誤；對于B：，其最小正周期為，故錯誤；對于C：滿足，以為周期，當時，，由正切函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故錯誤；對于D，滿足，以為周期，當時，，由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故正確；故選:D4．已知向量，，則在上的投影向量是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，，則，所以在上的投影向量是.故選：B．5．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，且圓錐的底面積為4π，則此圓錐的體積為（

A．83π B．833π 【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為?，由題意可得：πr2=4π16．已知在上單調(diào)遞增，若為偶函數(shù)，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為為偶函數(shù)，則，所以關(guān)于對稱，所以，令，則，當時，，所以在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當x>1時，由得，，則，由上可得，又在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：A．7．已知等差數(shù)列中，，，又，，其中，則的值為（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，.又，，.，，，.故選：D.8．已知函數(shù)若，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；當時，所以在上單調(diào)遞增，且，所以的圖象如下所示：又，且，不妨令，結(jié)合圖象可知且，即，所以，即的取值范圍為.故選：A二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，可得因為復(fù)數(shù)z滿足，可得，則，可得且，由時，可得或，當時，可得，此時；當時，方程，無解；對于A中，當，可得，可得；當，可得，可得，所以A正確；對于B中，當，可得，且，則，所以B不正確；對于C中，當，可得，可得，所以C不正確；對于D中，當，可得，可得，則；當，可得，可得，則，所以D正確.故選：AD.10．已知如圖是函數(shù)，（，）的部分圖象，則（

）A．的圖象關(guān)于中心對稱B．在點處的切線方程為C．在單調(diào)遞增D．的圖象向左平移個單位長度后為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】由圖可得，即，而，可得，又，即，可得，，可得，，又，且，即，即，可得，，對于選項A，，，不是函數(shù)的對稱中心，故A不正確；對于選項B中，，，則在點處的切線方程為，故B正確；對于選項C，，可得，函數(shù)在上是單調(diào)遞增，故C正確；對于選項D中，將向左平移個單位后，可得，則為偶函數(shù)，故D正確.故選：BCD11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點為雙曲線右支上一點，且，若與一條漸近線平行，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．的面積為D．直線與圓相切【答案】ACD【詳解】不妨設(shè)直線平行于雙曲線的漸近線，從而可得是線段的垂直平分線，且直線的方程為，設(shè)直線與直線相交于點，聯(lián)立方程組，解得，即，又F1?c,0，結(jié)合中點坐標公式，可得，代入雙曲線，可得，整理得，，對于A，雙曲線的離心率，故A正確；對于B，雙曲線的漸近線，故B錯誤；對于C，的面積，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知a>0且a≠1，b>0，函數(shù)f(x)=logax，若f(b4)+f(【答案】23【解析】函數(shù)f(x)=loga簡化可得：4logab+12loga13．的展開式中，常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）【答案】252【解析】，展開式的通項公式為，令，解得，故常數(shù)項為．14．設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和，n≥2時，Sn+2=5Sn+1?8Sn+4S【答案】an=n×2n?1.【解析】當n≥2時，Sn+2=5Sn+1?8Sn+4Sn?1，即Sn+2?Sn+1=4(Sn+1?Sn)?4(Sn?Sn?1)，則an+2=4a四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本小題滿分13分）在中，角的對邊分別為，且.(1)求；(2)若，點在邊上，且是的平分線，求的面積.【解】（1）由，得，解法一：由正弦定理得，又中，，所以，所以，于是，…………3分又，所以，又，所以.…………6分解法二：由余弦定理得，化簡得，…………2分由余弦定理得，…………4分又，所以.…………6分（2）由是的平分線，得，解法一：，…………9分又，…………10分所以.…………13分解法二：由得.…………9分即，解得，…………11分所以.…………13分16．（15分）某校為了了解學情，對各學科的學習興趣作了問卷調(diào)查，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理得到表格：語文興趣數(shù)學興趣英語興趣物理興趣化學興趣生物興趣答卷份數(shù)350470380400300500興趣良好頻率0.70.90.80.50.80.8假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查一科，各類調(diào)查是否達到良好的標準相互獨立．（1）從收集的答卷中隨機選取一份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語興趣良好的概率；（2）從該校任選一位同學，試估計他在語文興趣良好、數(shù)學興趣良好、生物興趣良好方面，至少具有兩科興趣良好的概率；（3）按分層抽樣的方法從參與物理興趣和化學興趣調(diào)查的同學中抽取7人，再從這7人中抽取3人，記3人中來自化學興趣的人數(shù)為，求的分布列和期望．【解析】（1）設(shè)“這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語興趣良好”為事件，答卷總份數(shù)為，其中英語興趣良好有，從收集的答卷中隨機選取一份，這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語興趣良好的概率為．（2）設(shè)“語文興趣良好”“數(shù)學興趣良好”“生物興趣良好”分別為事件，，，（B），（C），（D），估計他在語文興趣良好、數(shù)學興趣良好、生物興趣良好方面，至少具有兩科興趣良好的概率為：．（3）從參與物理興趣小組和化學興趣小組的700人中，按分層抽樣的方法抽取7人，其中，參與物理興趣小組的抽取4人，參與化學興趣小組的取3人，再從中選取3人，則的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，的分布列為：0123．17．已知函數(shù)f(x)=(x?2)e(1)若f(x)的圖象在x=0處的切線l過點P(?4,?6)，求a的值及l(fā)的方程；(2)若f(x)有兩個不同的極值點x1，x2(x1<x【解析】（1）因為f(x)=(x?2)e所以f′(x)=(x?1)ex?2ax+2a設(shè)切線斜率為k，由導數(shù)的幾何意義得k=f則切線方程為y?(?2?4a)=(?1+2a)x，（3分）而切線l過點P(?4,?6)，得到?6?(?2?4a)=(?4)×(?1+2a)，解得a=23，此時l的方程為即y=13x?143，則l的方程為（2）因為f(x)=(x?2)e且f(x)<?4a，所以(x?2)e令g(x)=(x?2)e則g′因為g(x)有兩個不同的極值點x1，x2，（x1<所以當a≤0時，ex?2a>0，則當a>0且a≠e①當x1=ln2a，當0<x<1時，g(x)<0恒成立，即(ex?ax)(x?2)<0設(shè)?(x)=exx(0<x<1)所以?(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則?(x)>?(1)=e，則a≤e，故0<a<e2②當x1=1，x2當x∈(0,ln2a)時，g(x)<0恒成立，即若ln2a>2，則當x=2時，(所以ln2a≤2，此時ex?ax>0，即a<e設(shè)p(x)=exx(0<x<易得p(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在所以ln2a≤2a<p(1)=e，解得a<綜上，a的取值范圍是(0,e2)∪(e18．（17分）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標準方程；(2)連線l:x=?a22與x軸交于點Q，過焦點F（i）證明：Q點在以MN為直徑的圓外：（ii）在l上是否存在點E使得△EMN是等邊三角形.若存在，求出直線MN的方程，若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意得c=2,b=2，所以a=則橢圓C的標準方程為x26+y（2）（i）由題意得，Q?3,0當直線MN斜率為0時，此時以MN為直徑的圓的方程為x2+y當直線MN斜率不為0時，設(shè)直線MN的方程為x=my?2，由x26+Δ=16m2+8設(shè)Mx則y1QM==?2m2?2故Q在以MN為直徑的圓外.（9分）（ii）當MN斜率不存在時，MN=2b2a=263，此時當MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為x=my?2，設(shè)MN中點為GxG,yG=y1+y22=2m直線EG的斜率為?m，所以EG=MN=因為△EMN是等邊三角形，所以EGMN=32，則m解得m2=1，即故直線l的方程為y=x+2或y=?x?2.（17分）19．（17分）球面與過球心的平面的交線叫做大圓，將球面上三點用三條大圓弧連接起來所組成的圖形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個內(nèi)角.如圖（1），球O的半徑R=3,A,B,C,D為球O的球面上的四點.

(1)若球面三角形ABC的三條邊長均為3π(2)在球O的內(nèi)接三棱錐D?ABC中，DB⊥平面ABC,AB:AC:BC=3:2:1，直線DC與平面（i）若M,N分別為直線AD,BC上的動點，求線段MN長度的最小值；（ii）如圖（2），若P,Q分別為線段AC,BC的中點，G為線段BD上一點（與點B不重合），當平面OBC與平面GPQ夾角的余弦值最大時，求線段BG的長.【解析】（1）因為球面三角形ABC的三條邊長均為3π所以球面三角形每條邊所對的圓心角均為π3，所以四面體OABC取OA的中點E，連接BE,CE，則BE⊥OA,CE⊥OA，且BE=CE=3則∠BEC為二面角B?AO?C的平面角.（2分）由余弦定理可得cos∠BEC=所以此球面三角形一個內(nèi)角的余弦值為13.（4（2）因為DB⊥平面ABC，所以DB⊥AC,DB⊥AB.設(shè)BC=aa>0，則AB=3a,AC=由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又BD∩BC=B，所以AC⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以AC⊥CD，因為直線DC與平面ABC所成的角為π3，所以∠DCB=易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜邊AD的中點到點A,B,C,D的距離相等，即AD為球O的直徑，所以AD=6a=2以點C為坐標原點，直線CB,