強化批判性思維——讓你領人一步[典例]定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是公積不為0的等積數(shù)列，且a1＝3，前24項和為44.則下列結論不正確的是

(

)A．an＋2＝anB．{an}的公積為2C．anan＋1an＋2＝6D．{an}的前20項之積為1024[新新點撥]新考法此題是數(shù)列的新定義問題，新定義問題能夠實現(xiàn)對考生獨立思考能力和運用所學知識分析問題、解決問題能力的考查，符合高考內容改革的方向新思路根據(jù)等積數(shù)列的定義，得出相鄰兩項遞推關系，用n＋1替代n，消去an＋1，即可判斷A；由前24項和解方程得公積，判斷B；對n為奇數(shù)與偶數(shù)分別討論，判斷C；分別求奇數(shù)項與偶數(shù)項之積，即可判斷D注重發(fā)散思維——讓你多人一招[典例]

(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)證明：a1＝b1；(2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的個數(shù)．[新新點撥]新考法數(shù)列與集合交匯新思路要求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的個數(shù)，可以聯(lián)系等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，得出k與m之間的關系，再根據(jù)m的取值范圍得結論[解]

(1)證明：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，將d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.(2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m，由題知1≤m≤500，所以2≤2m≤1000，所以k＝2,3,4，…，10，共9個數(shù)，即集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的個數(shù)為9.[針對訓練]已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，則(

)A．a1<a3，a2<a4 B．a1>a3，a2<a4C．a1<a3，a2>a4 D．a1>a3，a2>a4解析：法一：因為lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q<0.若q≤－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－1<q<0，所以a1－a3＝a1(1－q2)>0，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2<a4.法二：因為ex≥x＋1，a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，所以ea1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a3≥a1＋a2＋a3＋a4＋1，則a4≤－1，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q<0.以下同法一．答案：B

[新新點撥]新考法數(shù)列的存在性問題新思路數(shù)列中的存在性問題一般轉化為求不定方程正整數(shù)解的問題，往往涉及數(shù)論、函數(shù)、方程、不等式等知識，蘊含了豐富的數(shù)學思想，特別是解決3個字母存在性問題的關鍵是能通過研究方程兩邊范圍的策略來解不定方程整數(shù)解則2n＋1(2m－1)(2k－1)＝2m(2n－1)(2k－1)＋2k(2n－1)(2m－1)，等號兩邊同時除以2m得，2n－m＋1(2m－1)(2k－1)＝(2n－1)(2k－1)＋2k－m(2n－1)(2m－1)．(*)由m<n<k，m，n，k為正整數(shù)，得k－m≥2，n－m＋1≥2，k－m∈N*，n－m＋1∈N*，所以(2n－1)(2k－1)為奇數(shù)，而2n－m＋1(2m－1)(2k－1)與2k－m(2n－1)(2m－1)均為偶數(shù)，故(*)式不能成立，即不存在正整數(shù)m，n，k，且m<n<k，使得am，an，ak成等差數(shù)列．[針對訓練]1．(2022·南京聯(lián)考)等差數(shù)列{an}滿足：①每項均為正整數(shù)；②首項與公差的積大于該數(shù)列的第二項且小于第三項．寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項公式為________．解析：設{an}的公差為d，因此a2<a1d<a3，所以a1＋d<a1d<a1＋2d.因為a1，d為正整數(shù)，可取a1＝3，d