上海高一數學學問點歸納

第一章集合及命題

集合及元素

(1)集合的概念

常把可以準確指定的一些對象看作一個整體，這個整體就叫做集合.

(2)集合中的元素

集合中的各個對象叫做這個集合的元素,集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(3)集合及元素間的關系

對象。及集合”的關系是aeM,或者。史M,兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字表達的形式來描繪集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合.

③描繪法：｛xx具有的性質｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.

②含有無限個元素的集合叫做無限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集(0).

(6)常用數集及其記法

N表示自然數集，N*或N.表示正整數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，/?表

示實數集.

集合及集合

名

記號意義性質不意圖

稱

(l)AcA

A^B⑵0qA

子(或A中的任一元素都⑶假設AqB且BqC,那么

或

集屬于BA^C

B")

(4)假設AqB且,那么

A=B

(D0uA(A為非空子集)

AczB*

真AcB,且B中至

(2)假設AuB且BuC，那么

子(或少有一元素不屬于**

集

BnA)A

*AuC

*

集

A中的任一元素都

合(l)AcB

A=B屬于B,B中的任一

相(2)BaA

元素都屬于A

等

重要結論：集合A有〃21)個元素，那么它有2"個子集，它有2"-1個真子集，它2”-1

個非空子集，它有2"-2非空真子集.

交集、并集、補集

名

記號意義性質示意圖

稱

(1)AfM=A

交(2)AQ0=0

{x\xe4,且工￡B}GD

集(3)AQBGA

(1)AUA=4

并(2)AU0=A

A\JB{x\xeA,或尤wB}

集(3)AU8"

補q(Ac8)=(c“A)5GB)

C.A且x史A}

集C〃(4u8)=(C"A)c(G/)%(7)

(1)命題

用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的陳述句假設〃，那么夕〃形式的命

題中的p稱為命題的條件，“稱為命題的結論.

(2)逆命題

對于兩個命題，假如一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這

兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題。假設原命

題為“假設P，那么q",它的逆命題為“假設q,那么p".

(3)否命題

“假設P，那么q",那么它的否命題為''假設那么「9”.

(4)逆否命題

對于兩個命題，假如一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否認和條件的

否認，那么這兩個命題稱為互為逆否命題。其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的

逆否命題。假設原命題為“假設p,那么4”,那么它的否命題為“假設「q’那么。

充分條件、必要條件、充要條件

假如Pn。，那么P是Q的充分條件，Q是P的必要條件。

假如PoQ,那么P是Q的充要條件。也就是說，命題P及命題Q是等價命題。

命題的非運算

命題的且運算

命題的或運算

第二章不等式

不等式的根本性質

1.假如a>b,b>c;那么。>c.

2.假如。>。,那么。+。>。+。.

3.假如a>b,c>0,那么ac>be:如果。>b,c<0,那么ac<be.

4.假如a>byc>d,那么a+c>b+d.

5.假如a>/?>0,c>d>0,那么ac>bd.

6.假如a>h>0f那么

7.假如那么a”>/（〃￡%*）.

8.假如a>b>0,那么校

一元二次不等式的解法

這個學問點很重要，可依據△及0的關系來求解，留意解的區間的表示，不等式組也是

一樣。解分式不等式的方法就是將它轉化為解整式不等式。

求一元二次不等式ajc+bx+o0（或<0）（a70,△=〃-4ac>0）解集的步驟：

一化：化二次項前的系數為正數.

二判：推斷對應方程的根.

三求：求對應方程的根.

四畫：畫出對應函數的圖象.

五解集：依據圖象寫出不等式的解集.

規律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊.

區間的概念及表示法

設是兩個實數，且a<b,滿意aWxWb的實數x的集合叫做閉區間，記做

滿意a<x<b的實數x的集合叫做開區間，記做（。,份；滿意aWx<6,或

的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別記做［a,6）,{a,b\；滿意

%24,%>。,“<仇》<人的實數了的集合分別記做［”,+00）,（4,+8）,（-8,/?］,（-00,。）.

留意：對于集合{x|a<x<3及區間（。,加，前者?？梢源笥诨虻扔诜?，而后者必需

。〈人，（前者可以不成立，為空集；而后者必需成立）.

（1）分式不等式的解法

先移項通分標準化，那么

里>0=/(x>g(x)>0

g(x)

(“<或4”時同理)

----2u<

g(x)-lg(x)*O

規律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.

(2)含肯定值不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a]

Ix|>a(a>0)x\x<-a^Lx>a}

把ax+8看成一個整體，化成|x|<a,

|ax+h|<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來求解

兩個根本不等式：。和"有/+人2當且僅當。=人。和仇有，當且僅當。=人時等

號成立。我們把分別叫做正數a、8的算術平均數和幾何平均數。

(3)無理不等式的解法

方法：將無理不等式轉化為有理不等式求解，

⑴"(x)>a(a〉0)=.-°2

/(x)>a

⑵歷J<a(a>0)o**°2

f(x)<a-

f(x)>0

―r—(x)>0

⑶J/(x)>g(x)o,g(x)20或，

/(x)>[g(x)]2,8g(x)<0

/W>0

⑷"(x)<g(x)<=><g(x)>0

J(X)<[g(X)]2

[/U)>0

⑸"(x)>&(x)o<g(x)20

JO)>g(x)

(4)高次不等式的解法

方法：穿根法

分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿〔奇穿偶切)，結合原式不等號的方向,

寫出不等式的解集.

1.c^+kr^lab{a,bwH),［當且僅當。=匕時取"="號).

2.(a,beR+),(當且僅當a=。時取到等號).

用根本不等式求最值時(枳定和最小，和定積最大),要留意滿意三個條件“一正、二定、

三相等”.

常用方法有：比較法(作差，作商法)、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.

常見不等式的放縮方法：

131

①舍去或加上一些項，如(a+二)2+±>(a+±)2;

242

②將分子或分母放大(縮小)，如

2_2_)_!_<2

2\[ky/k+s[k&\[k+y/k-\

12

---->----------,(keN*,k>D

yfky/k+〃+1

第三章.函數的根本性質

在某個改變過程中有兩個變量x,y，假如對于x在某個實數集合D內的每一個確定的

值，依據某個對應法那么/,y都有唯一確定的實數值及它對應，那么y就是x的函數.

記作：y=/(x)xeDx是自變量D是定義域及x對應的)值叫做函數值

函數值的集合是值域

函數的三要素:定義域、值域和對應法那么.

表示函數的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.

列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.

圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

函數的和：〃(x)=/(x)+g(x)

(1)函數的奇偶性

①定義及斷定方法

函數的

定義圖象斷定方法

性質

假如對于函數f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內隨意一個X,都有(a,f(a))先推斷定義域是否

f(—X)=—f(X),那么函「一關于原點對稱〕

oax

數f(x)叫做奇剪教.(2)利用圖象(圖

象關于原點對稱)

(~a,f(-a))

函數的

奇偶性假如對于函數f(x)定義(1)利用定義(要

yl

域內隨意一個X,都有先推斷定義域是否

(-a,f(-a))(a,f(a))

f(-x)=f(x),那么函數關于原點對稱)

f(x)叫做假剪第上二(2)利用圖象(圖

-aoa'象關于y軸對稱)

②假設函數/(X)為奇函數，且在x=0處有定義，那么/(0)=().

(2)函數的單調性

①定義及斷定方法

函數的

定義圖象斷定方法

性質

假如對于屬于定義域I內(1)利用定義

某個區間上的隨意兩個/(2)利用函數的單

自變量的值XI、X2,當個4RxJ調性

(3)利用函數圖象

孕時，都有1)

(在某個區間圖

那么就說f(x)在這個區

1x,x,X象上升為增)

間上是單國第

函數的(4)利用復合函數

單調性假如對于屬于定義域1內(1)利用定義

某個區間上的隨意兩個1y=f(x)(2)利用函數的單

調性

自變量的值Xi、X2,當Xi<f(x.)

(3)利用函數圖象

2時，都有？(城可侈),

(在某個區間圖

那么就說f(x)在這個區

DX.X?X象下降為減)

間上是減單數.

(4)利用復合函數

②在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去

一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數.

(3)函數的最值

①一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,假如存在實數M滿意:

(1)對于隨意的xe/,都有

(2)存在天€/,使得/(Xo)=M.那么，我們稱M是函數/(x)的最大值，記作

篇x(%)=”?

②一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,假如存在實數機滿意：

(1)對于隨意的xw/,都有/(x)2加；

(2)(2)存在不€/,使得/(不)=m.那么，我們稱加是函數/(x)的最小值，記

作工而(幻=加.

(4)函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數丁=/(x)(xeD),把使/(x)=0成立的實數x叫做

函數y=/W(xe。)的零點。

2、函數零點的意義：函數y=/(x)的零點就是方程/(幻=0實數根，亦即函數

y=/(x)的圖象及x軸交點的橫坐標。即：

方程/(幻=0有實數根=函數)=/(x)的圖象及x軸有交點。函數y=f{x)

有零點.

3、函數零點的求法：

求函數y=/(x)的零點：

①(代數法)求方程/(x)=0的實數根；

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它及函數y=/(x)的圖象聯絡起來，

并利用函數的

第四章第函數、指數函數和對數函數

(1)幕函數的定義

一般地，函數丁=/叫做幕函數，其中x為自變量，a是常數.

（2）幕函數的圖象

（3）幕函數的性質

①圖象分布：基函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.暴函數是偶函

數時，圖象分布在第一、二象限（圖象關于y軸對稱）；是奇函數時，圖象分布在第一、三

象限（圖象關于原點對稱）；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限.

②過定點：全部的幕函數在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

③單調性：假如。>0,那么基函數的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數.假

如a<0,那么基函數的圖象在（0,+8）上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近x軸及y

軸.

④奇偶性：

當a為奇數時，哥函數為奇函數，當a為偶數時，哥函數為偶函數.

函數名稱指數函數

定義函數y=a*（a>0且axl）叫做指數函數

a＞10＜。＜1

圖象

定義域R

值域(。,+8)

過定點圖象過定點(0,1),即當x=0時，y=\.

奇偶性非奇非偶

單調性在R上是增函數在R上是減函數

函數值的

改變狀況

。改變對圖象的

在第一象限內，。越大圖象越高；在第二象限內，a越大圖象越低.(趨勢)

影響

(1)對數的定義

①假設"=N(a>0,且。。1),那么x叫做以“為底N的對數，記作x=log〃N,其

中。叫做底數，N叫做真數.

②負數和零沒有對數.

③對數式及指數式的互化：x=loguNo優=N(a>0,a#1,N>0).

(2)兒個重要的對數恒等式

log“l=0,log"=l,log“a"=b.

(3)常用對數及自然對數

常用對數：lgN,即logioN；自然對數：InN,即log?N(其中e=2.71828…).

⑷對數的運算性質假如。>0,。工1,例>0,N>0,那么

M

①加法：log“Af+log“N=log“(MN)②減法：log.M-log.Nnlog.x

③數乘：〃log“M=log“AT(〃wH)④a%"=N

@log,,M11=-log?M(b^0,n^R)⑥換底公式：log”N=座也(6>0,且"1)

"blogba

(1)反函數的概念

設函數y=/(x)的定義域為A,值域為C,從式子y=/(x)中解出x,得式子

x=(p(y).假如對于y在。中的任何一個值，通過式子x=e(y),x在A中都有唯一確

定的值和它對應，那么式子x=°(y)表示x是y的函數，函數x=Q(y)叫做函數

y=/(x)的反函數，記作x=/T(y),習慣上改寫成y=/T(x).

(2)反函數的求法

①確定反函數的定義域，即原函數的值域；

②從原函數式y=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=/-'(y)改寫成y=廣'(x)，并注明反函數的定義域.

反函數的性質：

①原函數y=/(x)及反函數y=f-\x)的圖象關于直線y=%對稱.

②函數y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數y=/T(x)的值域、定義域.

③假設P(a,6)在原函數y=/(x)的圖象上，那么P0M)在反函數y=/T(x)的圖象

上.

④一般地，函數y=/(x)要有反函數那么它必需為單調函數.

函數

對數函數

名稱

定義函數y=log,,x(a>0且。/1)叫做對數函數

a>10<a<l

X=1Jx=1

yy=iog“xy1y=log。x

圖象

二f，°),

0(1,0)0

/x

定義域(0,+8)

值域R

過定點圖象過定點(1,0),即當x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調性在(0,+8)上是增函數在(0,+00)上是減函數

函數值的

改變狀況

a改變對圖象的

在第一象限內，。越大圖象越靠低；在第四象限內，。越大圖象越靠高.

影響

指數方程：我們把指數里含有未知數的方程叫做指數方程.

3.嫻熟運用函數性質，留意換元法

對數方程：在對數符號后面含有未知數的方程叫做對數方程.

第五章三角比

⑴角的分類

1、正角：按逆時針方向旋轉形成的角

負角：按順時針方向旋轉形成的角

零角：不作任何旋轉形成的角

2、角a的頂點及原點重合，角的始邊及x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，那么

稱a為第幾象限角.

第一象限角的集合為{。k360<。<-360+90",ZeZ}

第二象限角的集合為{a|h360+90<k-360+180,kez}

第三象限角的集合為360°+180<a<A:-360+270°,女ez}

第四象限角的集合為{ak?3600+270=<a<k-360+360°,左ez}

假如角a的終邊落在坐標軸上，那么也可以稱為軸線角.

終邊在x軸上的角的集合為{a[a=k?180\后ez}

終邊在y軸上的角的集合為{。,=-180+90°,keZ}

終邊在坐標軸上的角的集合為{a|a=h90MeZ}

3、及角a終邊一樣的角的集合為{4忸=Z?360+eZ}

12）角的弧度制

1、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.

2、半徑為/?的圓的圓心角a所對弧的長為/,那么角a的弧度數的肯定值是.

3、弧度制及角度制的換算公式：2萬=360。，，.

1、三角比定義

設角是一個隨意角，將角置于平面直角坐標系中，角的頂點及原點0重合，的

始邊及x軸的正半軸重合，

在的終邊上任?。ó愑谠c的）一點P（x,y），有點P到原點的間隔為：

C0t6Z=__________

seca=_______

csca=_______

2、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正,

第四象限余弦為正.

3、單位圓：圓心在坐標原點，半徑為1的圓(解決隨意角，三角比問題的利器).

4、三角函數線：sin?=MP,cosa=OM,tana=AT.

說明：三角函數線是有向線段(向量)，既有長度，又有方向，方向的正負及對應的三

角比值保持一樣.

(1)正弦線：無論a是第幾象限角，過。的終邊及單位圓的交點P作x軸的垂線，交x

軸于M,有向線段MP的符號及點P的縱坐標y的符號一樣，長度等于|y1.所以有

MP=y=sma.我們把有向線段M>P叫做角e的正弦線，正弦線是角a的正弦值的幾何

形式.

(2)余弦線：有向線段最叫做。的余弦線.

(3)正切線：過A(1,0)點作單位圓的切線(x軸的垂線)，設&的終邊或其反向延長

線及這條切線交于T點，那么有向線段A?叫做角a的正切線.

(l)sin2<z+cos2a=\(sin2a=1-cos2cr,cos2a=1-sin?a)

sina\

sina=tanacosa,cosa=2-----..(3)倒數關系：tanacota=l

tan?

(1)sin(2k7r+a)=sina,cos(2k/r4-?)=cosa,tan(2左7r+a)=tana(%￡Z).

(2)sin(乃+a)=-sina,cos(7r+a)=-cosa,tan(?+a)=tana.

⑶sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa，tan(-a)=Tana.

(4)sin(zr-cr)=sina,cos("-a)=-cosa，tan("-a)=-tana.

(5)sin[]-a=coscr

（6）sin=cosa，?

5.4兩角和及差的余弦，正弦及正切

⑴cos(a-尸)=cosacos尸+sinasin/?；(2)cos(a+〃)=cosacos尸一sinasin0；

(3)sin(a—=sinacos—cosasin/?；⑷sin(a+/?)=sinacos〃+cosasinB；

,/tana-tan3

(5)tan(?-/?)=----------------=>(tana-tan^=tan(a-/)(l+tanatan/?))；

1+tanatan/?

⑹tan(a+/)=tana+tan/=

(tancif+tan〃=tan(a+/)(1-tanatan0)

1-tantan0

二倍角的正弦、余弦和正切公式

⑴sin2a=2sinacosa.=>l±sin2?=sin2+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa『

⑵cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a

=>升基公式1+cosa=2cos2—,1-coscr=2sin2—

22

=＞降累公式,.

半角公式：

cos]=±.V/14^-CO^Sa；S.inQ2=±V〃一^COS^a

/1—cosasina1—cosa

tan—=±.

21+cosa1+cosasina

萬能公式:

a

2tan-1-tan~

si.na=----------7---;cosa=-----------2

a、a

1+tan9—14-tan-

22

5.6正弦定理，余弦定理和解斜三角形

1、正弦定理：在AABC中，。、b、。分別為角A、B、C的對邊，，那么有

=_L=_J=2K（R為AABC的外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

2、正弦定理的變形公式：①。=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2RsinC；

②…③a:＞：c=sinA:sinB:sinC；

3、二角形面積公式：S=—Z?csinA=—6zZ?sinC=—^zcsinB,

AMABB。C222

4、余弦定理：在AABC中，Wtz2=Z?2+c2-2/?ccosA,推論：

第六章三角函數

定義域RR{小。左乃,％ez}

值域[-M][-M]RR

當

當(ZeZ)時，

x=2k7r(kEZ)時，

>max=1；

Nmax=1；

當既無最大值也無最小既無最大值也無最小

最值

當％=2k/i+7i值值

(ZeZ)時，

(北Z)時,

Wn=-L

Xnin=T,

周期性2萬2萬7171

奇偶性奇函數偶函數奇函數奇函數

在