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文檔簡介

連續與間斷

初等函數的連續性

閉區間上連續函數的性質§1-5函數的連續性內容提要函數連續的概念一為了準確地描述函數連續的概念，我們首先引入函數增量的概念，如圖1-9所示。圖1-9設函數在x0點及其附近有定義，我們把x0

附近的x記作，并稱為自變量由x0

變到x時自變量的增量（或改變量），這時相應地函數值由變到，我們稱

為函數值的增量（或改變量），記作，即引例1【植物的生長高度】大家都知道植物的生長高度h是時間t的函數，而且h隨著t的變化而連續變化。事實上，當時間t的變化很微小時，植物的生長高度h的變化也很微小，即當時，

。引例2【圖形得出的啟示】觀察圖1-9不難看出，函數在點x0處連續時，越小，點N越靠近點M，對應的函數增量也越小；當

時，點N沿曲線無限接近于點M，這時。從以上兩個引例可以看出，函數在某點連續具有以下數學特征：即因為，所以當時，，這時上式可以寫為根據連續的定義，函數在點處連續必須滿足三個條件：定義1設函數在點x0

及其近旁有定義，若或

，則稱函數在點x0連續。點稱為函數的連續點。注意（1）在x0點有定義，且存在；（2）在x0點極限存在，即；（3）。如果函數在點x0處不滿足連續的條件，則稱函數在點x0

不連續或間斷，點x0稱為函數的不連續點或間斷點。解因為在0點有定義，且，而，所以

。例1判斷函數在點的連續性。由定義可知，函數在點連續。解例2判斷函數在點的連續性。因為在1點有定義，且，又因為，所以在1點右連續；而，所以在點不左連續，從而函數在點不連續。解例3討論函數在定義域內連續性。設任意一點。因為。所以，由定義1可知，函數在點x0連續。由點x0

的任意性可得，函數在定義域內連續。基本初等函數的連續區間就是其定義域。根據極限的四則運算法則和函數連續的定義，得出如下結論：（1）若函數和在點x0

處連續，則函數，

，在點x0

處也連續。初等函數的連續性二（2）若函數在點x0

處連續，而函數在對應的點u0

處也連續（其中），則復合函數在點x0處連續。根據結論2可得即

連續的復合函數求極限時，極限符號可以與函數符號交換順序。例4求極限：解例5求極限：解因為，所以。一切初等函數在其定義區間內是連續的。初等函數的連續區間就是它的定義區間。求初等函數定義區間內某一點的極限值等于求該點的函數值。例6求下列函數的極限：（1）（2）解（1）因為是初等函數，時函數有定義，所以（2）因為是初等函數，時函數有定義，所以閉區間上連續函數的性質三性質2（介值定理）若函數在閉區間上連續，且

，對于與之間的任意數C，則在開區間

內至少存在一點ξ，使。性質的幾何意義是：閉區間上的連續曲線與水平直線至少相交于一點，如圖1-10所示有三個這樣的相交點，即。圖1-10性質3（零點定理）若函數在閉區間上連續，且

，則在開區間內至少存在一點ξ

，使。性質的幾何意義是：閉區間上的連續曲線，當兩端點不在x軸同側時與x至少相交于一點，如圖1-11所示。圖1-11例7證明方程在區間內至少有一個實根。解令，它在閉區間上連續，并且，

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