《立體幾何》專題23-1垂直證明3：涉等腰三角形

（7套7頁）

知識點：

等腰三角形:（注意：以下題目只需要做垂直證明部分，二面角等內容不做。）

等腰三角形三線合一，底邊上的中線，垂直于底邊。

典型例題：_

1.已知如下左圖正四面體SABC的側面積為486，0為底面正三角形ABC的中心.（1）

求證：SA±BC；。）

2.（2021年江蘇G04南京六校聯考）如下右圖，在四棱錐P—ABC。中，已知PC,底面

ABCD,AB±AD,

AB//CD,AB=2?AD=CD=\,BC=PC,E是尸B的中點.

（1）求證:尸平面EAC（"）

（2）求二面角尸一AC—E的大小.

隨堂練習：

1.如下左圖，A,B,C,D為空間四點，在△ABC中，AB=2,AC=BC=V2,等邊三角形

ADB以AB為軸運動。當平面ADB_L平面ABC時，求CD；（而）

2.如下右圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD,底面ABCD,側棱PA=PD=0,底

面ABCD為直角梯形，

其中BC〃AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點，求證：PO_L平面ABCD；

《立體幾何》專題23-2垂直證明3：涉等腰三角形

1.如下左圖，已知四棱錐P—A5CD的底面ABCD是菱形，ZBAD^60°,PA^PD,0

為邊的中點.

證明：平面P05_L平面*

2.(2021年江蘇G12鹽城)如下右圖，在三棱錐尸一4BC中，APAC為等腰直角三角形,

NAPC=90°,AABC為正三角形，AC=2.

(1)證明：PB±AC；(vi)

(2)若平面PAC,平面ABC,求二面角ATC—2的余弦值.

3.（2021年江蘇G13泰州）（本小題滿分12分）如下左圖，在三棱柱ABC-4B1C1中，底

面是邊長為石的等邊三角形ABC,AAi=2,點4在底面上的射影是△ABC的中心O.

（1）求證：平面平面BCG?；（疝）

（2）求二面角G-AB-C的余弦值.

4.（2021年新高考模擬5）如下右圖，在直三棱柱ABC-A4G中，A5i=ACi=21

CC1=2A/3,ZBAC=120°,。為線段與G的中點，尸為線段CG上一動點（異于

點、C、G），。為線段3c上一動點，且QPLOP.

（1）求證：平面4PQ，平面A0P；

⑵若BO〃PQ,求直線OP與平面4PQ所成角的正弦值.（viii）

《立體幾何》專題23-3垂直證明3：涉等腰三角形

1.如圖，三棱柱ABC—45G中，CA=CB,AB^AAi,ZBAAi=60°,證明：AB±AiC；

cc

2.（2021年新高考模擬12）（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形,

PA，底面ABCD,PA=AB,￡為線段PB的中點.

（1）證明：點戶在線段BC上移動時，4AEF為直角三角形；

（2）若尸為線段BC的中點，求二面角A-EF-D的余弦值.C）

3.在三棱錐S-ABC中，AABC是邊長為4的正三角形,平面SAC_L平面ABC,SA=SC=2百,

M、N分別為AB,SB的中點.證明：ACXSB；

《立體幾何》專題23-4垂直證明3：涉等腰三角形

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,PA=AB=AD=2,四邊形ABCD滿

足AB_LAD,

BC〃AD且BC=4,點M為PC中點.求證：平面ADMJ_平面PBC；（xi）

2.（2021年河北G06滄州G09唐山）（12分）如圖，在四棱錐PABC。中，底面ABCD

是邊長為2的正方形，ZADP=90°,PD=AD,二面角尸—A。—3為60。，E為

尸。的中點.

（1）證明：CE1.平面BID（西）

（2）求平面ADE與平面ABE所成銳二面角的余弦值.

3.（2021年江蘇002）（本小題滿分12分）如圖，三棱錐S—ABC的底面ABC和側面SBC

都是等邊三角形，且平面SBC_L平面ABC,點P在側棱SA上.

（1）當P為側棱SA的中點時，求證：SAL平面PBC；

PA

（2）若二面角P—BC—A的大小為60。，求一的值.（xiii）

SA

B

《立體幾何》專題23-5垂直證明3：涉等腰三角形

1.（2020年湖南G301理）（本小題滿分12分）如下左圖，在四棱錐P-ABCD中，PA，底

面ABCD,AD1AB,AB//CD,AD=DC=AP=2,AB=1.點E為棱PC的中點。

（1）證明：PDlffiABE；GV）

（2）若F為棱PC上一點，滿足BFLAC,求二面角F-AB-D的余弦值。

2.（2021年廣東G14汕頭）（本小題滿分12分）如下右圖，在四棱錐P—ABCD中，

叢，底面ABC。，AD±AB,AB//CD,AD=DC^AP^2,AB=1.點、E

為棱PC的中點.

（1）證明：PD,平面ABE；（xv）

（2）若尸為棱PC上一點，滿足面_LAC,求二面角尸—A5—。的余弦值.

3.（2021年山東G01濟南）（12分）如圖1,在等腰梯形ABCD中，E為CD的中點，

AB=BC=CE,將AADE,ABCE分另ij沿AE,BE折起，使平面ADEJ_平面ABE,平面

BCEJ_平面ABE,得到圖2.

（1）證明：AB//CD；（x，）

(2)記平面ADE與平面BCE的交線為I,求二面角D/C的大小。

《立體幾何》專題23-6垂直證明3：涉等腰三角形

1.如下左圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=2,AB±AD,AE_L平面ABD,M為線段

BD的中點，_

MC〃AE,且AE=MC=〈I求證：平面BDC_L平面CDE；(xvii)

2.(2021年廣東G02普寧)如下右圖，在三棱柱一□/口/口/中，□□/_L平面ABC,

D,E,F,G分別為口口，AC,□□/的中點，□口=□□=V5>□□==2.

(1)求證：平面BEF；0頜)

(2)求二面角口一口□一口/的余弦值.

3.(2021年新高考模擬4)(12分)如下左圖，在三棱錐尸—ABC中，平面PAC,平面

ABC,2\上4c為等邊三角形，AB±AC,。是3C的中點.

(1)證明：AC±PD；

(2)若=求二面角￡)—平面角的余弦值.。加)

4.（2021年湖南G09郴州）（本小題滿分12分）如下右圖2,四棱錐P-ABCD中，PAB

是邊長為2的

正三角形，底面ABCD為菱形，且平面以如平面ABCD,48俏60°,￡為"上

一占

八、、,

uur1uim

滿足PE=—ED.（I）證明：AB1PC;（立）（H）求二面角P-AC-E的余弦值

2

BC

圖2

《立體幾何》專題23-7垂直證明3：涉等腰三角形

1.如下左圖，已知平面AC。，￡>EJ_平面ACO,△AC。為等邊三角形，

AD=DE=2AB,歹為CD的中點.

(1)求證：AF〃平面3CE；

(2)求證：平面3CE，平面CDE；(")

2.(2021年湖南G08長郡中學)(本小題滿分12分)如下右圖，在四棱錐P-ABCD中，底

面ABCD是邊長為20的正方形，平面以C_L底面ABC。，PA=PC=2y/2.

(1)求證：PB=PD；Oxii)

(2)點M,N分別在棱R4,PC,PM=AM,PN=CN,求直線PB與平面QMN所成

角的正弦值.

C

3.(2021年湖南G09郴州)(本小題滿分12分)如下圖2,四棱錐P-ABCD中，山小是

邊長為2的

正三角形，底面ABCD為菱形，且平面為跳平面ABCD,ZABO^a，石為如上

—八占、、,

ULT1uum

滿足PE=—ED.

2

⑴證明：ABLPC;(雙")

(n)求二面角產的余弦值

圖2

i答案：解：(1)證明：取的中點。，連結AO,SD

???AA6C是等邊三角形。是的中點,AD，BC

???AS8C是等邊三角形。是的中點SDL5c

,.-ADC\SD=D,AD,SD<=平面SAD：.BCJ_平面SAD

SAu平面SADSA_LBC

(2)解法一：由(1)可知5C_L平面SAD

?.?5Cu平面SBC,.?.平面SA￡>J_平面SBC

?.?平面SADA平面S3C=SD,過點。作OELSO,則OEL平面SBC

0E就是點。到側面SBC的距離.

由題意可知點。在AO上，設正四面體SABC的棱長為a

1八

5慚=萬S3?SC?sin60°=寧/

?.?正四面體S4BC的側面積為48百，；.3SASBC=3X曰/=48vL.?

.a=8

在等邊三角形ABC中，D是BC的中點

;.AD=AC-sinC=—a<同理可得SD=3a

22

為底面正三角形ABC的中心

AO=—AD=——a>OD=—AD=a

3336

.,.在HfAsA。中，SO=7SA2-AO2=—a

13

由LO?SO」SD.OE

22

得.1V3V61V3八萬

26322

.OE=^a=巫，即點。到側面SBC的距離為還.

-999

解法二：連結SO,則SO，平面ABC,由題意可知點。在AD上，

設正四面體S45C的棱長為a,，SASBc=gsRSCsin60°=4/

???正四面體S45c的側面積為486

2

3SASBC=3x^-a=48V3，'a=8

在等邊三角形ABC中，。是的中點

AD=AC-sinC=—?=4^/3

2

???0為底面正三角形ABC的中心

AO^-AD^—a,OD=-AD=—a=—

33363

.?.在R/ASAO中，SO=」S尺-AO?=￡=處

33

q_1?ncsn1Q46_16A/3

-=—-II-IOD1=-X8X

_116百8A/6_128V2

?v?匕—OBcC=］，|SO|=-X-=---

?1?SASBC=gX48百=16A/3,設點。到側面SBC的距離為h,

由Vs-OBC=^O-SBC得，-S^BC-h

128128亞

:.h=3一==巫,即點。到側面SBC的距離為強.

S詡c16V399

"19.【解】方法一：（1）PC，平面ABCD,ACu平面ABC。,得ACJLPC

又AT）=CD=1,在處AADC中，得AC=拒，

設AB中點為G,連接CG,

則四邊形AOCG為邊長為1的正方形，所以CGLA6,且BC=也，

因為=筋2,所以ACI.BC,........................3分

又因為6CcPC=C,所以AC,平面PBC,

又PBu平面尸BC,所以AC_LPB,.......................5分

因為3C=PC,E是QB的中點，

所以Pfi_LEC,因為ACcEC=C，又AC,ECu平面MC,

直線平面AEC.........................7分

（2）由（1）知AC,平面PBC,所以NPCE是二面角尸—AC—石的平面角，............

9分

因為AP3C是等腰直角三角形，且E是的中點，

所以NPCE=45。

所以二面角P—AC—￡的大小是45°........................12分

方法二：（1）以C為坐標原點，分別以射線CD、射線CP為》軸和z軸的正方向，建立如

圖空間直角坐標系，

則C(0,0,0),4(1,1,0),B(l,-l,o).2分

又AT>=CD=1,在HZAADC中，得AC=拒，

設AB中點為G,連接CG,

則四邊形ADCG為邊長為1的正方形，所以CG，,且8C=0，所以5C=PC=后,

所以P(0,0,VI),........................4分

因為E是P3的中點，所以￡(；,_}#),

所以五=(1,10),無=(1,-1,—),PB=(1-1-V2),

222

—?--11V211

C4CE=(1,1,0)?(-,——二)=lx—+lx(——)+0xJ=0,

222222

PB-CE=^-A-(1-1-V2)=1X1+(-1)X(-1)+X(-V2)=0,

222222

所以AC_LP8,PB_LEC,因為ACcEC=C，又AC,ECu平面AEC,

直線尸8_L平面AEC........................7分

(2)PCJ_平面ABCD,3Cu平面ASCO，得PC_L3c.

因為4。2+臺。2=筋2,所以ACLBC,又&ccPC=C，

所以直線3C-L平面aC,所以而是平面24c一個法向量，...........9分

由(1)可知而是平面AEC一個法向量,

PB=(1-1,-V2),CB=(1-1,0),

PBCB[x]+(-l)x(-D+(-VI>0_VI

所以PB,CB>=

cos<H分

PB\\CB2V22

所以二面角P—AC—￡的大小是45°..............12分

山(文)解：(1)取AB的中點E,連結DE,CE,

因為AD3是等邊三角形，所以DELA3.

當平面ADB±平面ABC時，

因為平面AZMCI平面ABC=AB,

所以DEL平面ABC,_

可知DELCE.由已知可得=EC=1,

在Rt/YDEC中，CD=^DEr+EC2=2.

(2)當AADB以AB為軸轉動時，總有AB±CD.

證明：①當。在平面ABC內時，因為AC=3C,AD=BD,

所以C,。都在線段A3的垂直平分線上，即

②當。不在平面A3C內時，由(1)知A3LQE.

又因AC=3C,所以A3_LCE.

又DE,CE為相交直線，所以A3,平面CDE,

由CDu平面CDE,得ABLCD.

綜上所述，總有ABLCD.

iv(I)面PAD_L底面ABCD,又尸O_LAD,所以「。，面人臺。。

v答案：(1)證明：連接30,因為底面A3CD是菱形，ZBAD=6Q0,

所以A4BD是正三角形，所以因為。為A。的中點，PA=PD,

所以ADLP0,且R?n3O=O,所以ADJ_平面P0B,

又ADu平面QAD,所以平面P0B_1_平面。，4。；

(2)因為AB=26,AAB。是正三角形，所以08=3,

在RtAZ4O中，P4=J7,AO=G，所以P0=2,又尸5=而，所以OB2+PO2=PB2,

所以NPO3=90°,即PO_LOB,又ADLP0,且03nAe>=O,所以P0,平面

ABCD,

1/2

因為s"8=2x—x(2百)~xsin60°=6用，所以四棱錐P—ABCD的體積為

口/"LOLAy\J

V」x64x2=4技

3

s(1)證：取AC的中點D,連結PD,BD

QAPAC為等腰直角三角形，。為中點，.?.PZ)LAC,

又???AA3C為正三角形，。為中點，.?.3DLAC,

又PDcBD=D,平面pg。，

AC_L平面PBD,又：P5u平面P3D,.,.P3_LAC

⑵解：

平面PAC±平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,PD＜=平面PAC,尸。±AC

平面ABC,由(1)知BD'AC

以。為坐標原點，建立空間直角坐標系。一孫z,

則4(1,0,0),8(0,j3,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),

)

.?.加=(o,G,o),CP=(i,o,i),CB=(I,43,0,

CP-n=0x+z—0

設［=(%,yz)為平面尸3c的一個法向量，則＜——，即Vr，

CB-n=0[x+j3y=0

A/3(A、

令％=i,得＜丫3,「.〃=i,---,-i

Z=~11

-DB-nV7

又麗是平面PAC的一個法向量，；.cos(麗

網PT7，

由圖可知二面角A—PC—8的平面角為銳角，；.二面角A—PC—5的余弦值為

7

vii

解：（1）證明：在下底面上的射影是A48C的中心O

4。J_底面

:.A,OLBC,為A43c的中心，8c

A}Or\AO=O,.?.8C_L平面4/0

,/BCu平面3CC1A,，平面A}AO_L平面BCC\B「

（2）取AB的中點為點E,連結OE,如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz

'1'A—-^-,0,B—,-^-,0,C(—1,0,0)

4(0,0,V3),.-.c,-1,y,>/3，不=(2,-AM),而=(0,30)

設平面QAB的一個法向量為I=（x,y,z）

r—?一，.一?

lx.—>/3r—>/3z=0一

nxCXA=0r

_____=>l=>%=(6,0,2)

〃i?AB-0y[3y=0

且平面ABC的一個法向量生=（0,0,1）

設二面角G-55-C平面角為。，或，元所成角為°,顯然。為銳角

22手

cos3=|cos(p\=尸卜任

?答案：（1）證明見解析；（2）2叵；

19

【解析】（1）證明：因為A4=AG=2,。為線段BC1的中點,

所以A。，4G，

在直三棱柱ABC—4與￡中，易知cq，平面44G，

而CGnBC=G，平面。班6，.?.QPJ.A。，

又因為QP^OP,AlOC[OP=O,所以QP，平面4。2，

又QPu平面4PQ,所以平面A。。，平面.

(2)由(1)可建立如圖空間直角坐標系。一孫z,

因為NR4c=12。。，所以。4=oq=百，

則0(0,0,0),G(0,6,0),4(o,—G,o),B(O,-A2A/3),A(T0,0)，

設尸(o,6a),Q僅仇2⑹，

所以行=(0,6—仇”一26)，礪=(0,—6,2石)，

因為QPLOP,BO//PQ,所以切?加=0,OB//QP,

C-b\#>+a(a-2#))=06用

：?'廠/二、'-，l、，解得a=^，8=^(P異于點CG)，

2—(6—0)=—6(4—2@24

、/

...仍jl,6當，QP=[o,3733面，吁一。，后「勿卜

42

77k7

A尸=0

設平面AQP的法向量為n=(x,y,z),則，

n?QP=0

x+6y+^-z=0

即《l%,可取〃=(—5g,4,2),

3V33V3'

-----y--------z=0M

L42

設直線OP與平面AQP所成角為e,

\n-OP\4舟62M

則sind=

?OP\19

直線OP與平面AQP所成角的正弦值為2叵.

19

（1）證明：取AB的中點O,連結OC,OAi,A\B.

因為CA=CB,所以OCULAR

由于AB=AAi,ZBAAi=6Q°,

故△AAiB為等邊三角形，

所以OA]_L4B.

因為OCnO4=O,所以■平面。41c.

又AiCu平面OAiC,故AB_LAiC

（2）解：由（1）知OC_LAB,OAi-LAB.

又平面ABCJ■平面AAiBB,交線為AB,

所以OCJ■平面AAiBB,

故。4,OAr,OC兩兩相互垂直.

以O為坐標原點，的方向為x軸的正方向，|。4|為單位長，建立如圖所示的空間

直角坐標系O-xyz.

由題設知41,0,0),4(0,0),C(0,0,5,B(-1,0,0).

則5。=(1,0,y/3),BB[=Ai4j=(-1,y/3,0),A1C=(0,—A/3,y/3).

設〃=(尤，y,z)是平面BBiGC的法向量，

n-BC=0,+由z=0,r

則〈一.即《可取”=(J3,1,-1).

n-BBX=0,-x+=0.

A/10

所以AC與平面BBiGC所成角的正弦值為

X答案：（1）證明見解析；（2）叵;

7

【解析】（1）證明：因為E4=AB，E為線段的中點，所以AELQB，

因為上4,底面ABCD,BCu平面ABCD,所以

又因為底面ABCD為正方形，所以

又上=所以平面已鉆，

,..4石匚平面^45,；.3。，4￡,

因為P5IBC=B,所以平面PBC,

因為EEu平面PBC，所以人石工歷，

所以點尸在線段5C上移動時，AAEF為直角三角形.

（2）由題意，以A3,AD,AP所在直線分別為x，y，2軸建立空間直角坐標系,

令PA=2,

則4（0,0,0）,5（2,0,0）,￡（1,0,1）,-2,1,0）,￡＞（0,2,0）,

設平面DEF的法向量為%zj,貝?DE=n-DF=0,

可得%-2%+Z[=0,2%-y=0,

取”=(1,2,3)；

設平面AEF的法向量為m=(%2,y2,z2),則加.無聲=加.屈=0,

可得2%+>2=0，x2+z2-Q,

取zw=(1,—2,—1),

\n-m\_|1-4-3|_721

所以cos(肛=

n\-\m\y/14-y]67

由圖可知：二面角A-即-￡＞的平面角為銳角，因此余弦值為匕.

「答案：解：(1)取PB中點N,連結MN、AN,則

：M是PC中點，MNIIBC,MN=yBC=2，

又：BC〃AD,；.MN〃AD,MN=AD,

.??四邊形ADMN為平行四邊形，

VAPXAD,AB±AD,，AD_L平面PAB,

AAD±AN,AAN±MN,

VAP=AB,AANXPB,AN_L平面PBC,

VANc平面ADM,

平面ADM_L平面PBC.

R

(2)由(1)知，PN±AN,PN±AD,

；.PN_L平面ADM,即點P到平面ADM的距離為PN,

在RtZkPAB中，由PA=AB=2,得PB=2/，

江20.(1)證明：?.?四邊形ABCD為正方形，」.AD，CD.

?.?ZADP=90。，CDcDP=D,

平面PCD.

?.?。石(=平面尸。，..4￡>_16￡.

?.?二面角尸-AZXB為60°,.?.NPDC=60°.

:PD=AD,CD=AD,:.APCD為等邊三角形.

?.?E為PD的中點，.?.CELDP.

ADcDP=￡>,;.CE平面RID

(2)解：過尸作POLCD,垂足為。，易知。為CD的中點.

1.■平面PCD_L平面ABCD,

平面PCDc平面ABCD=CD,POu平面尸DC,

；.PO_L平面A2CD

設AB的中點為Q,連接OQ,

則。。〃4。，0。，平面PDC.

以O為坐標原點，麗的方向為x軸正方向，就的方向為y軸正方向，0P

的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.

?：正方形ABCD的邊長為2,

.-.4(2,-1,0),8(2,1,0),C(0,l,0),D(0,-l,0),P(0,0,6)

E\一事

I22J

.-.AB=(0,2,0),AE=|-2,-,—ICE=|0,--,—I

I22JI22J

?.?CE，平面PAD,

：.CE為平面ADE的一個法向量.

設法二(匹y,z)是平面ABE的法向量，

n-AB=2y=0

則一173

n?AE=-2x+—yH-----z=0

I22

令z=4,得元=(6,0,4).

K在,五2G2M

\CE\\n\gxM19

2J19

平面ADE與平面ABE所成銳二面角的余弦值為.

20.（1）證明：因為△48C為等邊三角形，所以48=.4C=8C.

因為ASBC為等邊三角形，所以SB=SC=BC,所以AB=SB.AC=SC.……I分

在等腰△8，IS和等腰aTS中,因為。為54的中點，所以SA_LBf\

又因為8PCCP=P.HP.CPU平面PBC,所以SA1平面PBC...........4分

（2）解：方法1（幾何法）：如圖.取8c的中點。，連接S".A〃.。〃，

則在等邊△48C和等邊△S8C中，有8dL4。.H（：±S（）.

所以乙AOS為二面角S-BC-A的平面角.

因為平面S8c，平面.48（；.所以Z.AOS=90。.

在等邊△48C■和等邊△S8CFI,50=§8c=40.

所以△.40S為等腰在角三角形.

設SA=a,Jill]SO=AO—~^a-.....................................7分

因為8C_LA〃.8C_LS0..4〃nSO=O.AO.S。仁平面￡40.所以8C_L平面$4。

因為U平面S.W,所以8C_LPO.

又因為8C_L40,所以￡AOP為二面角P-8c-4的平面角...............9分

在△4〃。中.Z.AOP=60°,Z.PAO=45°,A()=^fa,

J2

由正弦定理，得焉=而湍：4打解得/=￥，，?

所以號=^^.....................................................12分

Z

方法2（向量法）：如圖.取8c.的中點。.連接SO.AO,則在等邊△A8C和等邊

△S8c中，有8cL4。，BC1SO,所以乙4OS為二面角S-8cx的平面角.

因為平面SSC_L平面ABC,所以Z.AOS=90。，即AO±SO.................4分

所以0A,0H,小兩兩垂直.

以點”為坐標原點，（出,AO,0S所在直線分別為x軸、y軸、：軸建立如圖所示

的空間直角坐標系.

p

設,48=。，

則4(0,-乎",0),0.0).C(0,0),S(0.0.冬).…6分

因為夕在SA上，設AP=AAS(0<A<1),P(0.y,z),

則.40=僅，y+￡",z),45=1)，W<i,李")，解得z=gha.

即可0,A-1)a,-Xa^-

顯然平面"(：的一個法向量"=(0,0,1).......................................................8分

設平面08c的一個法向量為帆=(X,.2,).

因為面=(―；“，A—1)a,~^A").C8=(a,0,0)

m■m=0,即戶=0

m-CB=0,1(A-1)y,+AZ1=

令>i=A,WJ2i=1-A,所以iw=(0,A.I-A).10分

因為二面角PBC-A的大小為60。,

n?m_____11-A|_____

所以|cos(n,

I"IIm?-、/T+(1-A)「

所以2A2-6A+3=0.又0<A〈l.解得人亙，即會=上把......12分

"V19.⑴證明見解析.(2)哈

詳解：依題意，以點A為原點，以48、AD、AP為軸建立空間直角坐標系如圖，

可得B(l,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)

由E為棱PC的中點，得E(l,l,l)

(1)向量就=(0,1,1),麗=(0,2,-2)

故荏,麗=O,BE1PD，又ABJ_面PAD.所以ABJ_面PD。故PDJ■面ABE

(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),屈=(1,0,0)

由點F在棱PC上，設CF=2CP,0W4W1

故而=BC+CF=JC+ACP=(1-2A,2-2A,2A)

由BF14C,得喬,前=0

因此，2(1-24)+2(2-24)=0,4=(

即而=（-步）

設/=（x,y,z）為平面FAB的法向量，則但."=0,即+=

,BF=0I2、十2y十2"

不妨令z=1,可得/=（0,3,-1）為平面FAB的一個法向量

取平面ABD的法向量/=（0,0,1）1則8s體為=系=忘=嘿

所以二面角F-AB-D的余弦值為嚕

點睛：本題主要考查利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般

步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直

線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法

向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.

20.xv【解析】解：依題意，以點A為原點，以A3、AD.AP為軸建立空間直角坐標系

如圖，

可得5(1,0,0),C(2,2,0),￡>(0,2,0),尸(0,0,2)

由E為棱PC的中點，得E(LLl)，

(1)向量麗=(0,1,1),7^=(0,2,-2)

UULUUUI

故BEPD=0,:.BE±PD，又AB,面ELD,PDu面所以ABLPZ).

又因為ABi面ME,BEu面ABE,AB[}BE=B,

所以。D,面ME.............................5分

(2)BC=(1,2,0),CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=(1,0,0)

由點R在棱尸C上，設醞=2麗,OW2W1

故而=前+麗=前+2方=(1_2尢2_242/1)

由得麗.衣=0

因此2(1—24)+2(2—22)=0,.-.2=^..............7分

即3尸=1—g,g'lj.............8分

r-.-Y—()

_n.?AB=0

設％=(蒼y,z)為平面E43的法向量，貝6二—.，即〈113八

n,■BF-0—x+—y+—z=0

I”L222

不妨令z=l，可得點=(0,3,—1)為平面E鉆的一個法向量，.......10分

%-n21y/10

取平面的法向量后=(0,0,1),則以)5〈&,%〉=

1nli?I%IA/1010

因為二面角尸-AB-D的平面角為銳角

所以二面角尸—AB—。的余弦值為典.......12分

10

XVI

19.【解析】

（1）證明：由題意可知，均為全等的等邊三角形:

分別過點C,。作CM18E,￡W_L/E,連接C0,M?V,

則M,N分別為8EME的中點，所以CM=DN.

因為平面8C￡_L平面/8￡，平面8CEPI平面,48E=8E，

所以CWJ"平面/8E：

同理DN1平面ABE：所以CMHDN-

所以四邊形CDVM為平行四邊形，

所以CD//MNx

又因為時，、分別為的中點，

所以MNHAB：

所以AB!/CD.

（2）連接8N，則8N_L/￡.由（?>可知ZWJ?平面48￡，所以DNLBN；

以N為坐標原點，MLNB,ND分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，

設/8=2,則M0,0,0）,/4（1,0,0）,5（0,73,0）,M（--,—,0）;

22

因為BN1AE-DNLBN，DN?\AE=N，

所以8N_L平面仞￡,

所以八:8=（0,有,0）為平面/￡>￡的法向量:

同理^^二-立^為平面如^的法向量：

22

設二面用O-/-C的平面角為6,由圖可知，該角為銳角,

3

咐”A\NB-MA\2?

所以cos"=-------------L=-z-=-.

\NB^MA\岳62

所以二面角0-/-C的大小為三

3

"v"（文）解：（1）：AB=AD=2,AB±AD,M為線段3。的中點,

：.AM=^BD=yf2,AM±BD,

\'AE=MC=y[2,；.AE=MC=；BD=巾,

：.BC-LCD,BD-LCM.

平面ABO,MC//AE,；.AfC_L平面ABO,

：.MC-LAM,平面CBD

又MC〃AE,AE=MC=y[2,

四邊形AMCE為平行四邊形，：.EC//AM,

:.ECL平面CBD,：.BC-LEC,

,：ECClCD=C,.?.2C_L平面CDE,

二平面平面CDE.

⑵為8。的中點，N為DE的中點、,

：.MN//BE.

由(1)佚口EC〃AM且AMCMN=M,

又BECEC=E,

平面AMN〃平面BEC.

xviii【答案】解：(/)證明：在三棱柱□□□一□/口/口中,

???口」_1平面ABC,

???四邊形為矩形.

又E,E分別為AC,□/」的中點，

?-?□□1

□□n□口=□

平面BEF.

(2)由(1)知口□1口口，□□1□□//□□；.

又□，平面ABC,□□，平面ABC.

■：□□u平面ABC,n□1nn.

如圖建立空間直角坐稱系口一口口口,

由題意得口(0,2,0),口(—1,0,0),口。,0,1),0(0,0,2),口(0,2,1).

H=(2,0,/),35=(1,2,0),

設平面BCD的法向量為==(□,□,□),

.m-nn=o.四+口=。

"(□,□D=0，--ID+2D=0'

令口=2,則口=-1,□=-4,

.??平面BCD的法向量可=(2,-1,-4),

又?.?平面□□□/的法向量為而=(0,2,0),

甘?比'V27

cos<□□>=

回?畫

由圖可得二面角口一口□一口/為鈍角，所以二面角口一口口一口/的余弦值為一號.

【解析】本題主要考查的是線面垂直的判定和性質，平面的法向量，二面角，線線垂直的判

定和性質等有關知識.

(1)先判定出四邊形□/□口□/為矩形.根據￡,歹分別為AC,」口［的中點，得到

根據□口=□］，得到□□，口□,進而解出此題；

(2)建立空間直角坐稱系□一口□□.由題意得口(0,2,0),□(-7,0,0),0(7,0,1),0(0,0,2),

□(0,2,1).設平面BCD的法向量為寸=(口，口口)，

令口=2,則□=—/,□=-4,得到平面的法向量可=(2,-1,一4),然后求出cos<

可，而>=二,=一經

I'l-innl21

X加答案：(1)證明見解析；(2)2互；

7

【解析】(1)如圖,

取AC的中點E