應力分量的坐標變換應力張量坐標變換包括平移、旋轉和反射。對右手坐標系，平移和旋轉變換后仍保持右手系，反射變換則變成左手系。對平移變換，一點的應力分量保持不變。本節主要討論坐標旋轉變換是應力分量的變化規律考察物體內任一點o，設oxyz為舊坐標系，其單位矢量為e1、e2、e3，相應的應力分量為xyze1e2e3z’x’y’e1’e2’e3’設ox’y’z’為新坐標，其單位矢量為e1’、e2’、e3’

。相應的應力分量為新舊坐標系下坐標軸間的方向余弦為xyzx’l1=a1’1m1=a1’2n1=a1’3y’l2=a2’1m2=a2’2n2=a2’3z’l3=a3’1m3=a3’2n3=a3’3作斜面abc垂直于x’軸，該斜面上的應力矢量為T。T在舊坐標系下的三個分量為T1，T2

和T3

，則xyzz’x’y’TT1T2T3由斜面應力(Cauchy)公式在新坐標系下，T在新坐標軸上的三個分量即為新系下該斜面上的三個應力分量。因為簡寫同理統一的變換式可見：應力分量在經坐標變換后，仍保持其對稱性統一的變換式數學上將滿足上式的一組量稱為二階張量，即決定一點應力狀態的9個應力分量是一個二階張量，稱為應力張量§5-2主應力與應力張量不變量已知一點的應力分量，則任意斜截面上的應力矢量斜截面上的應力矢量T不僅與該點的應力狀態有關，且與斜面的方向有關。問：是否存在一特定的斜截面，其上應力矢量T與截面法線同向。即T為該截面上的正應力，而剪應力為零。設斜截面法線方向余弦為：應力矢量T在坐標軸上的投影為：由斜面應力(Cauchy)公式故或將上式展開當斜面法線方向滿足上述方程時，該斜面上只有正應力，沒有剪應力，稱該平面為主平面；主平面上的正應力稱為主應力；主應力方向（即主平面法線方向）稱為主方向。上述方程為的齊次線性方程組，且常數項都為零。因為：，故不能同時為零，所以方程組的系數行列式應為零，即將行列式展開，得到求解主應力的三次方程，稱為應力張量的特征方程。式中設特征方程的三個根為，則展開后有比較上兩式，有對一個給定的應力狀態，其主應力的大小和方向是確定的，不隨坐標系的變換而變化。故是不隨坐標系的變換而變化的量，稱為應力張量不變量。（特征方程）

分別稱為應力張量的第一、第二、第三不變量。

主應力的重要性質1.主應力為實數；2.三個主應力相互垂直；即物體內任意一點，一定存在三個互相垂直的應力主平面，及對應的三個主應力。（1）當，有3個相互垂直的主應力；（2）當，與垂直的平面上的任意方向都為主應力方向，即該平面上任意方向都是主方向，且應力值相同。（3）當，空間任意方向都是主方向，且應力值相同。3.主應力的極值性；（1）最大（或最小）的主應力是相應點處任意截面上正應力的最大（或最小）值；設：，則（2）絕對值最大（或最小）的主應力是相應點處任意截面上全應力T的最大（或最小）值。§5-3最大剪應力將三個坐標軸取在三個相互垂直的主應力方向上，稱為應力主軸。則應力分量為：由斜面應力公式，斜面上應力矢量T的分量斜面上的正應力：斜面上的剪應力：教材93頁公式（3）有誤由

是m，n的函數，取極值（也取極值）的條件是即上式第一式除，第二式除，得（1）當對應主平面，其剪應力為零。第二組解：第一組解：對應于經過主軸之一，而平分其他兩主軸夾角（與主平面成45°）的平面，設，最大剪應力為：（2）兩主應力相等，設由第二式，得方程的解為

表示通過oz軸的平面，該組平面上，剪應力為零。

表示任一個與圓錐面相切的微分面。在該組面上剪應力取最大值。（3）三個主應力相等

空間任一方向都為主方向，即任一平面都是主平面，剪應力均為零。

該應力狀態稱為均勻受力狀態，也稱為靜水應力狀態。§5-4應力張量的分解描述一點應力狀態的9個應力分量構成一個對稱應力張量其中稱為應力張量的分量。引入平均應力則應力張量可分解為兩個張量之和簡寫為式中稱為應力偏量，為應力球形張量，為單位張量。球形張量是代表各向均勻拉伸或壓縮的應力狀態。

球形張量應力（靜水應力）作用下，物體只產生各向相同的線應變而無剪應變。對應物體的體積改變，而形狀不變。應力偏量代表各面正應力中偏離靜水應力的量，是正應力之和為零的應力狀態。該應力狀態下，物體的體積不改變而形狀改變。靜水壓力實驗研究表明，在均