PAGEPAGE1單元素養測評卷(三)函數的概念與性質一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．下列函數為奇函數的是()A．y＝|x|B．y＝2－xC．y＝x3＋xD．y＝－x2＋82．[2024·山東臨沂一中高一月考]函數f(x)＝eq\f(1,\r(x－2))－(x－3)0的定義域是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(2，3)∪(3，＋∞)D．[3，＋∞)3．下列各組函數表示相同函數的是()A．f(x)＝eq\r(x2)和g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝1和g(x)＝x0C．f(x)＝|x|和g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x<0))D．f(x)＝x＋1和g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)4．向高為H的水瓶內注水，始終到注滿為止，假如注水量V與水深h的函數圖象如圖所示，那么水瓶的形態大致是()5．下圖是函數y＝f(x)的圖象，f(6)的值為()A.3B．4C．5D．66．使冪函數y＝xα為偶函數，且在(0，＋∞)上是減函數的α值為()A．－1B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(1,2)D．27．某電影票單價30元，相關實惠政策如下：①團購10張票，享受9折實惠；②團購30張票，享受8折實惠；③購票總額每滿500元減80元．每張電影票只能享受一種實惠政策，現須要購買48張電影票，合理設計購票方案，費用最少為()A．1180元B．1230元C．1250元D．1152元8．[2024·河北張家口高一期末]設奇函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(2)＝0，則不等式eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0的解集是()A．{x|0<x<2}B．{x|x<－2或x>2}C．{x|x>2}D．{x|－2<x<0或0<x<2}二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)9．[2024·廣東湛江高一期末]下列函數中，在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞)的是()A．y＝xeq\f(1,2)B．y＝x2－2x＋1C．y＝eq\f(3,x)D．y＝x310．下列函數中，滿意f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|2x|B．f(x)＝xC．f(x)＝eq\r(x)D．f(x)＝eq\f(1,x)11．設函數f(x)、g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論正確的是()A．f(x)·g(x)是奇函數B．|f(x)|·g(x)是偶函數C．f(x)·|g(x)|是偶函數D．|f(x)·g(x)|是奇函數12．給定函數f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中較大者，記為M(x)＝max{f(x)，g(x)}，則下列錯誤的說法是()A．M(2)＝3B．?x≥1，M(x)≥2C．M(x)有最大值D．M(x)最小值為0三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．)13．[2024·廣東茂名高一期末]我國聞名的數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事休，在數學學習和探討中，常用函數的圖象來探討函數的性質．請寫出一個在(0，＋∞)上單調遞增且圖象關于y軸對稱的函數：________．14．[2024·湖南岳陽高一期末]若函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x≥0,x＋2，x<0))，則f(f(－1))＝________．15．[2024·清華附中高一期末]已知x∈[－3，－1]，則函數y＝x＋eq\f(4,x)＋2的最大值為________，最小值為________．16．若函數f(x)是定義在R上的偶函數，在(－∞，0)上是增函數，且f(2)＝0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是________．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分10分)[2024·湖南新化高一期末]已知函數f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2).(1)求f(x)的定義域和f(－3)的值；(2)當a>0時，求f(a)，f(a－1)的值．18．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)把函數y＝f(x)的解析式寫成分段函數的形式；(2)在坐標系中畫出y＝f(x)的圖象．19．(本小題滿分12分)[2024·山東棗莊高一期末]已知函數f(x)＝eq\f(mx＋1,1＋x2)是R上的偶函數．(1)求實數m的值，推斷函數f(x)在[0，＋∞)上的單調性(不必證明)；(2)求函數f(x)在[－3，2]上的最大值和最小值．20．(本小題滿分12分)[2024·河北秦皇島高一期末]已知函數f(x)＝x－eq\f(1,x).(1)推斷f(x)在區間(0，＋∞)上的單調性，并用定義證明；(2)推斷f(x)的奇偶性，并求f(x)在區間[－2，－1]上的值域．21．(本小題滿分12分)已知奇函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，當x>0時，f(x)＝eq\f(1－x,x).(1)若a>0，求f(－a)；(2)當x<0時，求f(x)的解析式；(3)若f(m)＝eq\f(1,2)，求m的值．22．(本小題滿分12分)某企業開發生產了一種大型電子產品，生產這種產品的年固定成本為2500萬元，每生產x百件，需另投入成本c(x)(單位：萬元)，當年產量不足30百件時，c(x)＝10x2＋100x；當年產量不小于30百件時，c(x)＝501x＋eq\f(10000,x)－4500；若每件電子產品的售價為5萬元，通過市場分析，該企業生產的電子產品能全部銷售完．(1)求年利潤y(萬元)關于年產量x(百件)的函數關系式；(2)年產量為多少百件時，該企業在這一電子產品的生產中獲利最大？單元素養測評卷(三)1．答案：C解析：由y＝|x|，可得f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，x∈R，即f(x)＝|x|為偶函數；由y＝2－x，可得f(－x)＝2＋x≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，x∈R，所以f(x)＝2－x既不是奇函數也不是偶函數；由y＝x3＋x，可得f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，x∈R，所以f(x)＝x3＋x是奇函數；由y＝－x2＋8，可得f(－x)＝－(－x)2＋8＝－x2＋8＝f(x)，x∈R，所以f(x)＝－x2＋8是偶函數．2．答案：C解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2>0,x－3≠0))，解得x>2且x≠3.∴函數f(x)＝eq\f(1,\r(x－2))－(x－3)0的定義域為(2，3)∪(3，＋∞).3．答案：C解析：對A：因為f(x)＝eq\r(x2)＝|x|定義域為R，g(x)＝(eq\r(x))2定義域為[0，＋∞)，所以f(x)與g(x)不是相同函數；對B：因為f(x)＝1定義域為R，g(x)＝x0定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f(x)與g(x)不是相同函數；對C：因為f(x)＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x<0))，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x<0))，所以f(x)與g(x)定義域和對應關系相同，所以f(x)與g(x)是相同函數；對D：因為f(x)＝x＋1定義域為R，g(x)＝eq\f(x2－1,x－1)定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，所以f(x)與g(x)不是相同函數．4．答案：B解析：當容器是圓柱時，容積V＝πr2h，r不變，V是h的正比例函數，其圖象是過原點的直線，∴選項D不滿意條件；由函數圖象可以看出，隨著高度h的增加V也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢變緩，∴容器平行于底面的截面半徑由下到上漸漸變小，∴A、C不滿意條件，而B滿意條件．5．答案：A解析：由圖象可知x∈[3，9]時，y＝f(x)為一次函數，且過點(3，6)，(9，0)，設x∈[3，9]時，f(x)＝kx＋b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＝3k＋b,0＝9k＋b))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝9))，則f(x)＝－x＋9，因此f(6)＝－6＋9＝3.6．答案：B解析：A選項，y＝eq\f(1,x)是奇函數，不符合題意．B選項，y＝eq\f(1,\r(3,x2))為偶函數，且在(0，＋∞)上是減函數，符合題意．C選項，y＝eq\f(1,\r(x))是非奇非偶函數，不符合題意．D選項，y＝x2，在(0，＋∞)上遞增，不符合題意．7．答案：A解析：由第③種方案可知，500÷30≈16.7，17×30＝510，510－80＝430，430÷510≈0.84，則第③種方案約為84折，所以先以第②種方案購票30張：30×30×0.8＝720(元)，再以第③種方案購買余下的18張：18×30－80＝460(元)，所以共須要720＋460＝1180(元).8．答案：D解析：∵f(x)為奇函數，∴f(－x)＝－f(x)；又f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，f(2)＝0，∴f(x)在(－∞，0)上單調遞增，f(－2)＝0；eq\f(f（x）－f（－x）,x)＝eq\f(2f（x）,x)<0，即eq\f(f（x）,x)<0；當x>0時，f(x)<0，∴0<x<2；當x<0時，f(x)>0，∴－2<x<0，∴eq\f(f（x）－f（－x）,x)<0的解集為{x|－2<x<0或0<x<2}．9．答案：ACD解析：A.y＝xeq\f(1,2)在(0，＋∞)上是增函數，所以函數的值域為(0，＋∞)，所以該選項正確；B．y＝x2－2x＋1在(0，＋∞)上的值域是[0，＋∞)，所以該選項錯誤；C．y＝eq\f(3,x)在(0，＋∞)上是減函數，所以函數的值域為(0，＋∞)，所以該選項正確；D．y＝x3在(0，＋∞)上是增函數，所以函數的值域為(0，＋∞)，所以該選項正確．10．答案：AB解析：f(x)＝|2x|，f(2x)＝4|x|，2f(x)＝4|x|，∴A正確；f(x)＝x，滿意f(2x)＝2x＝2f(x)，∴B正確；f(x)＝eq\r(x)，f(2x)＝eq\r(2x)，2f(x)＝2eq\r(x)，不滿意f(2x)＝2f(x)，∴C不正確；f(x)＝eq\f(1,x)，f(2x)＝eq\f(1,2x)，2f(x)＝eq\f(2,x)，∴D不正確．11．答案：AB解析：∵f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，故f(x)·g(x)是奇函數，A正確；|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，故|f(x)|·g(x)為偶函數，B正確；f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，故f(x)·|g(x)|是奇函數，C錯誤；|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，故|f(x)·g(x)|為偶函數，D錯誤．12．答案：ABC解析：由f(x)－g(x)>0，即x＋1－(x＋1)2>0，可得－1<x<0，由f(x)－g(x)≤0，即x＋1－(x＋1)2≤0，可得x≤－1或x≥0，所以M(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1<x<0,（x＋1）2，x≤－1或x≥0))，當x＝2時，M(2)＝(2＋1)2＝9，A選項錯誤；當x≥1時，M(x)min＝M(1)＝(1＋1)2＝4，B選項錯誤；當x≥0時，M(x)為單調遞增函數，無最大值，C選項錯誤；因為M(x)在(－∞，－1]上單調遞減，在(－1，＋∞)上單調遞增，所以M(x)min＝M(－1)＝0，D選項正確．13．答案：y＝x2(答案不唯一)解析：∵函數在(0，＋∞)上單調遞增且圖象關于y軸對稱，∴函數可為y＝x2.14．答案：1解析：f(－1)＝(－1)＋2＝1，則f(f(－1))＝f(1)＝1.15．答案：－2－3解析：因函數y＝x＋eq\f(4,x)＋2在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2，0)上單調遞減，當x∈[－3，－1]時，函數y＝x＋eq\f(4,x)＋2在[－3，－2]上單調遞增，在[－2，－1]上單調遞減，即有當x＝－2時，ymax＝－2，而當x＝－3時，y＝－eq\f(7,3)，當x＝－1時，y＝－3，則ymin＝－3，所以函數y＝x＋eq\f(4,x)＋2的最大值為－2，最小值為－3.16．答案：{x|x>2或x<－2}解析：因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，在(－∞，0)上是增函數，所以f(x)在[0，＋∞)單調遞減，又f(2)＝0，所以f(－2)＝f(2)＝0，所以當x>2時f(x)<0，當0<x<2時f(x)>0，當x<－2時f(x)<0，當－2<x<0時f(x)>0，綜上可得當x>2或x<－2時f(x)<0，即不等式的解集為{x|x>2或x<－2}．17．解析：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,x＋2≠0))，則定義域為[－3，－2)∪(－2，＋∞)，且f(－3)＝eq\r(－3＋3)＋eq\f(1,－3＋2)＝－1.(2)由a>0，結合(1)知f(a)，f(a－1)有意義．所以f(a)＝eq\r(a＋3)＋eq\f(1,a＋2)，f(a－1)＝eq\r(a－1＋3)＋eq\f(1,a－1＋2)＝eq\r(a＋2)＋eq\f(1,a＋1).18．解析：(1)當x>eq\f(3,2)時，f(x)＝|x＋1|－|2x－3|＝x＋1－2x＋3＝4－x；當－1≤x≤eq\f(3,2)時，f(x)＝|x＋1|－|2x－3|＝x＋1＋2x－3＝3x－2；當x<－1時，f(x)＝|x＋1|－|2x－3|＝－x－1＋2x－3＝x－4.故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x，x>\f(3,2),3x－2，－1≤x≤\f(3,2),x－4，x<－1)).(2)函數圖象如圖所示：19．解析：(1)若函數f(x)＝eq\f(mx＋1,1＋x2)是R上的偶函數，則f(－x)＝f(x).即eq\f(m（－x）＋1,1＋（－x）2)＝eq\f(mx＋1,1＋x2)，解得m＝0.所以f(x)＝eq\f(1,1＋x2).函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減．(2)由(1)知函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，又函數f(x)是R上的偶函數，所以函數f(x)在(－∞，0]上為增函數，所以函數f(x)在[－3，0]上為增函數，在[0，2]上為減函數．又f(－3)＝eq\f(1,10)，f(0)＝1，f(2)＝eq\f(1,5)，所以f(x)min＝f(－3)＝eq\f(1,10)，f(x)max＝f(0)＝1.20．解析：(1)f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，證明如下：?x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝(x1－eq\f(1,x1))－(x2－eq\f(1,x2))＝(x1－x2)＋(eq\f(1,x2)－eq\f(1,x1))＝(x1－x2)＋eq\f(x1－x2,x1x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2＋1).因為x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，所以x1x2>0，x1－x2<0.于是eq\f(x1－x2,x1x2)(x1x2＋1)<0，即f(x1)<f(x2).故f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增．(2)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞).因為f(－x)＝－x＋eq\f(1,x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數．由(1)得f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，結合奇偶性可得f(x)在區間(－∞，0)上單調遞增．又因為f(－2)＝－eq\f(3,2)，f(－1)＝0，所以f(x)在區間[－2，－1]上的值域為[－eq\f(3,2)，0].21．解析：(1)因為f(x)是奇函數，∴f(－a)＝－f(a)；又a>0，且當x>0時，f(x)＝eq\f(1－x,x)，∴f(a)＝eq\f(1－a,a)，