3.1.2概率的意義必備知識·自主學習1.對概率的正確理解隨機事件在一次試驗中發生與否是隨機的，但是隨機性中含有規律性.認識了這種隨機性中的規律性，就能使我們比較準確地預測隨機事件發生的可能性.概率只是度量事件發生的可能性的大小，不能確定是否發生.【思考】(1)這里的“規律性”是指什么？提示：在一定條件下，隨機事件發生的概率是一個固定值.(2)這里的“可能性”是指什么？提示：概率是描述隨機事件發生的可能性大小的一個數量，概率大的事件，在條件滿足時，發生的可能性就大；概率小的事件，在條件滿足時，發生的可能性就小.2.實際案例(1)游戲的公平性①裁判員用抽簽器決定誰先發球，不管哪一名運動員先猜，猜中并取得發球機會的概率均為0.5，所以這個規則是公平的.②在設計某種游戲規則時，一定要考慮這種規則即對每個人都是_____的這一重要原則.公平(2)決定中的概率思想如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務，那么“使得樣本出現的可能性最大”可以作為決策的準則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法，極大似然法是統計中重要的統計思想方法之一.(3)天氣預報的概率解釋：天氣預報的“降水概率”是_____事件的概率，是指明了“降水”這個隨機事件發生的可能性的_____.隨機大小(4)試驗與發現：概率學的知識在科學發展中起著非常重要的作用，例如，奧地利遺傳學家孟德爾用豌豆作試驗，經過長期觀察得出了顯性與隱性的比例接近3∶1，而對這一規律進行深入研究，得出了遺傳學中一條重要的統計規律.(5)遺傳機理中的統計規律：孟德爾通過收集豌豆試驗數據，尋找到了其中的統計規律，并用概率理論解釋這種統計規律.利用遺傳定律，幫助理解概率統計中的隨機性與規律性的關系，以及頻率與概率的關系.【思考】(1)在設計游戲規則時，如何做到“公平”？提示：使參加游戲的各方均有等可能的獲勝機會，即獲勝的概率相等.(2)決策中的“極大似然法”是什么，你能舉例說明嗎？提示：例如，同時向上拋1000個銅板，結果落地時1000個銅板朝上的面都相同，我們更有理由認為，這1000個銅板兩面相同.(3)你是怎樣理解概率天氣預報的？提示：概率天氣預報是用概率值表示預報量出現的可能性的大小，它所提供的不是某種天氣現象的“有”或“無”，某種氣象要素值的“大”或“小”，而是天氣現象出現的可能性有多大.【思考】(1)在設計游戲規則時，如何做到“公平”？提示：使參加游戲的各方均有等可能的獲勝機會，即獲勝的概率相等.(2)決策中的“極大似然法”是什么，你能舉例說明嗎？提示：例如，同時向上拋1000個銅板，結果落地時1000個銅板朝上的面都相同，我們更有理由認為，這1000個銅板兩面相同.(3)你是怎樣理解概率天氣預報的？提示：概率天氣預報是用概率值表示預報量出現的可能性的大小，它所提供的不是某種天氣現象的“有”或“無”，某種氣象要素值的“大”或“小”，而是天氣現象出現的可能性有多大.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)某醫院治愈某種病的概率為0.8，則10個人去治療，一定有8人能治愈. (

)(2)天氣預報中預報某地降水概率為10%，概率太小，不可能降水. (

)(3)一個游戲通過擲骰子決定輸贏，規定擲出骰子的點數不小于4點贏，這個游戲是公平的. (

)提示：(1)×.某醫院治愈某種病的概率為0.8，10個人去治療，可能有8人治愈，也可能大于或小于8人治愈.(2)×.概率值小是指可能性小，并不是一定不發生.(3)√.不小于4的點數有4，5，6，贏的概率為，公平.2.(教材二次開發：練習改編)在某場足球比賽前，教練預言說：“根據我掌握的情況，這場比賽我們隊有80%的機會獲勝.”那么下面四句話中，與“有80%的機會獲勝”意思最接近的是 (

)A.他這個隊肯定會贏這場比賽B.他這個隊肯定會輸這場比賽C.假如這場比賽可以重復進行10場，在這10場比賽中，他這個隊會贏8場左右D.假如這場比賽可以重復進行10場，在這10場比賽中，他這個隊恰好會贏8場【解析】選C.與“有80%的機會獲勝”意思最接近的是：假如這場比賽可以重復進行10場，在這10場比賽中，他這個隊會贏8場左右，但不是一定贏8場.3.某機器生產出的產品的合格率為99%，則從該機器生產出的產品中任意取一件，是不合格產品的概率為______.

【解析】某機器生產出的產品的合格率為99%就是合格產品的概率為0.99，則任意取一件是不合格產品的概率為0.01.答案：0.013.某機器生產出的產品的合格率為99%，則從該機器生產出的產品中任意取一件，是不合格產品的概率為______.

【解析】某機器生產出的產品的合格率為99%就是合格產品的概率為0.99，則任意取一件是不合格產品的概率為0.01.答案：0.01關鍵能力·合作學習類型一概率的意義(數學抽象)【題組訓練】1.下列說法正確的是 (

)A.由生物學知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩個小孩，則一定為一男一女B.一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎C.10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D.10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.12.有以下說法：①昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預報降水概率為95%”是錯誤的；②“彩票中獎的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會中獎；③做10次拋硬幣的試驗，結果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為；④某廠產品的次品率為2%，但該廠的50件產品中可能有2件次品.其中錯誤說法的序號是______.

3.試解釋下面情況中概率的意義：(1)某商場為促進銷售，舉辦有獎銷售活動，凡購買其商品的顧客中獎的概率為0.20；(2)一生產廠家稱，我們廠生產的產品合格的概率是0.98.【解析】1.選D.一對夫婦生兩個小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當摸5張票時，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確.2.①中降水概率為95%，仍有不降水的可能，故①錯誤；②中“彩票中獎的概率是1%”表示在設計彩票時，有1%的機會中獎，但不一定買100張彩票一定有1張會中獎，故②錯誤；③中正面朝上的頻率為，概率仍為，故③錯誤；④中次品率為2%，但50件產品中可能沒有次品，也可能有1件或2件或3件……次品，故④的說法正確.答案：①②③3.(1)指購買其商品的顧客中獎的可能性是20%；(2)指該廠生產的產品合格的可能性是98%.【解題策略】理解概率意義應關注的三個方面(1)概率是隨機事件發生可能性大小的度量，是隨機事件A的本質屬性，隨機事件A發生的概率是大量重復試驗中事件A發生的頻率的近似值.(2)由頻率的定義我們可以知道隨機事件A在一次試驗中發生與否是隨機的，但隨機中含有規律性，而概率就是其規律性在數量上的反映.(3)正確理解概率的意義，要清楚與頻率的區別與聯系.對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件.【補償訓練】老師講一道數學題，李峰能聽懂的概率是0.8，是指 (

)A.老師每講一題，該題有80%的部分能聽懂，20%的部分聽不懂B.在老師講的10道題中，李峰能聽懂8道C.李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%D.以上解釋都不對【解析】選C.概率的意義就是事件發生的可能性大小，即李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%.類型二游戲的公平性(數學運算)【典例】某校高二年級(1)(2)班準備聯合舉行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉盤游戲的方式進行，每個節目開始時，兩班各派一人先進行轉盤游戲，勝者獲得一件獎品，負者表演一個節目.(1)班的文娛委員利用分別標有數字1，2，3；4，5，6，7的兩個轉盤(如圖所示)，設計了一種游戲方案：兩人同時各轉動一個轉盤一次，將轉到的數字相加，和為偶數時(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝.該方案對雙方是否公平？為什么？【解析】該方案是公平的，理由如下：各種情況如表所示：45671567826789378910由表可知該游戲可能出現的情況共有12種，其中兩數字之和為偶數的有6種，為奇數的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1==，(2)班代表獲勝的概率P2==，即P1=P2，機會是均等的，所以該方案對雙方是公平的.【變式探究】1.在典例中，若把游戲規則改為：兩人各轉動一個轉盤一次，轉盤停止后，兩個指針指向的兩個數字相乘，如果是偶數，那么(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝.游戲規則公平嗎？為什么？【解析】不公平.因為乘積出現奇數的概率為=，而出現偶數的概率為=，概率不相等，故不公平.2.若在典例中，轉盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針指向的數字即為轉出的數字.游戲規則如下：兩個人參加，先確定猜數方案，甲轉動轉盤，乙猜，若猜出的結果與轉盤轉出的數字所表示的特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝.猜數方案從以下兩種方案中選一種：A.猜“是奇數”或“是偶數”；B.猜“是4的整數倍”或“不是4的整數倍”.請回答下列問題：(1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你會選哪種猜數方案？(2)為了保證游戲的公平性，你認為應選哪種猜數方案？【解析】(1)為了盡可能獲勝，應選擇方案B.猜“不是4的整數倍”，這是因為“不是4的整數倍”的概率為=0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B.(2)為了保證游戲的公平性，應當選擇方案A，這是因為方案A中猜“是奇數”和“是偶數”的概率均為0.5，從而保證了該游戲的公平性.【解題策略】游戲公平性的標準及判斷方法(1)游戲規則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的概率是否相同.若相同，則規則公平，否則就是不公平的.(2)具體判斷時，可以求出按所給規則雙方的獲勝概率，再進行比較.【跟蹤訓練】甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是 (

)A.拋一枚骰子，向上的點數為奇數則甲勝，向上的點數為偶數則乙勝B.同時拋兩枚相同的骰子，向上的點數之和大于7則甲勝，否則乙勝C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D.甲、乙兩人各寫一個數字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝【解析】選B.對于A，C，D，甲勝、乙勝的概率都是，游戲是公平的；對于B，點數之和大于7和點數之和小于7的概率相等，但點數等于7時乙勝，所以甲勝的概率小，游戲不公平.類型三概率的簡單應用(數學建模)

角度1極大似然法的應用

【典例】設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球和1個黑球，乙箱有1個白球和99個黑球，今隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球.問這球是從哪一個箱子中取出的.【思路導引】利用極大似然法作出判斷.【解析】甲箱中有99個白球1個黑球，故隨機地取出一球，得白球的可能性是；乙箱中有1個白球和99個黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是，由此看出，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多.由極大似然法知，既然在一次抽樣中抽到白球，當然可以認為是從概率大的箱子中抽出的.所以我們作出統計推斷該白球是從甲箱中抽出的.【發散·拓】極大似然法的應用似然法與極大似然法是“風險與決策”用到的基本決策準則思想.即在一些決策問題中，人們將概率的最大狀態作為決策的出發點，在概率最大的條件下，選取收益最大的方案作為最有利方案.【延伸·練】某產品的標準內徑為16mm，機器生產出內徑為(16±0.01)mm的產品視為合格產品.正常狀況下某臺機器生產出合格產品的概率為0.9974，一天檢驗員從這臺機器生產的零件中任意抽取5件，檢驗出有1件產品不合格，檢驗員立即要求該臺機器操作人員停機整頓，你覺得檢驗員的做法合理嗎？【解析】檢驗員的做法是合理的，因為正常狀況下，該機器生產出不合格產品的概率為0.0026，是幾乎不可能發生的事情，現在抽檢5件，檢驗出一件不合格產品，由極大似然法思想，我們有理由認為操作流程出現問題，應停機整頓.角度2頻率、概率、頻數的計算

【典例】為了估計某自然保護區中天鵝的數量，可以使用以下方法：先從該保護區中捕出一定數量的天鵝，例如200只，給每只天鵝做上記號，不影響其存活，然后放回保護區，經過適當的時間，讓其和保護區中其余的天鵝充分混合，再從保護區中捕出一定數量的天鵝，例如150只，查看其中有記號的天鵝，假設有20只，試根據上述數據，估計該自然保護區中天鵝的數量.【思路導引】利用概率的規律性，結合樣本出現的概率估計總體的數目.【解析】設保護區中天鵝的數量約為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護區中任捕一只，設事件A={帶有記號的天鵝}，則P(A)=①，第二次從保護區中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的統計定義可知P(A)=②，由①②兩式，得，解得n=1500，所以該自然保護區中天鵝的數量約為1500只.【解題策略】(1)頻率估計概率.由于概率反映了隨機事件發生的可能性的大小，概率是頻率的近似值與穩定值，所以可以用樣本出現的頻率近似地估計總體中該結果出現的概率.(2)概率估算頻數.實際生活與生產中常常用隨機事件發生的概率來估計某個生物種群中個別生物種類的數量、某批次的產品中不合格產品的數量等.【題組訓練】1.為了估計水庫中魚的條數，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數量的魚，如2000條，給每條魚做上記號且不影響其存活，然后放回水庫.經過適當的時間，讓它們和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數量的魚，如500條，查看其中有記號的魚，設有40條.試根據上述數據，估計水庫中魚的條數.【解析】設水庫中魚的條數為n，從水庫中任捕一條，捕到標記魚的概率為.第二次從水庫中捕出500條，帶有記號的魚有40條，則捕到帶記號的魚的頻率(代替概率)為，由，得n≈25000，所以水庫中約有魚25000條.2.某中學為了了解初中部學生的某項行為規范的養成情況，在校門口按系統抽樣的方法：每2分鐘隨機抽取一名學生，登記佩戴胸卡的學生的名字.結果，150名學生中有60名佩戴胸卡.第二次檢查，調查了初中部的所有學生，有500名學生佩戴胸卡.據此估計該中學初中部共有多少名學生.【解析】設初中部有n名學生，依題意得，解得n=1250.所以該中學初中部共有學生大約1250名.課堂檢測·素養達標1.在給病人動手術之前，外科醫生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項是說這種手術的成功率大約是99%.下列解釋正確的是 (

)

A.100個手術有99個手術成功，有1個手術失敗B.這個手術一定成功C.99%的醫生能做這個手術，另外1%的醫生不能做這個手術D.這個手術成功的可能性大小是99%【解析】選D.成功率大約是99%，說明手術成功的可能性大小是99%.2.某班準備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是 (

)A.一定不會淋雨 B.淋雨的可能性為C.淋雨的可能性為 D.淋雨的可能性為【解析】選D.所有可能的事件有“下雨帳篷到”“不下雨帳篷到”“下雨帳篷未到”“不下雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為.3.(教材二次開發：練習改編)經過市場抽檢，質檢部門得知市場上食用油的合格率為80%，經調查，某市場上的食用油大約有80個品牌，則不合格的食用油品牌大約有 (

)A.64個 B.640個 C.16個 D.160個【解析】選C.由題意得80×(1-80%)=80×20%=16(個).4.某種病治愈的概率是0.3，那么10個人中，前7個人沒有治愈，后3個人一定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3？【解析】如果把治療一個病人作為一次試驗，對于一次試驗來說，其結果是隨機的，因此前7個人沒有治愈是可能的，對后3個人來說，其結果仍然是隨機的，有可能治愈，也可能沒有治愈.“治愈的概率是0.3”指隨著試驗次數的增加，即治療人數的增加，大約有30%的人能夠治愈，如果患病的有1000人，那么我們根據治愈的頻率應在治愈的概率附近擺動這一前提，就可以認為這1000個人中大約有300人能治愈.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應更堅強.勵志名言請您欣賞3.(教材二次開發：練習改編)經過市場抽檢，質檢部門得知市場上食用油的合格率為80%，經調查，某市場上的食用油大約有80個品牌，